2009 Pembahasan Program Linear UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai maksimum untuk $ z = 6x + 3y - 2 $ yang memenuhi sistem pertaksamaan
$ \, \, \, \, \, \, x + 2y \leq 4 $
$ \, \, \, \, \, \, x - y \leq 2 $
$ \, \, \, \, \, \, x + y \geq 1 $
$ \, \, \, \, \, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $
adalah ....
A). $ 4 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 13 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 19 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program Linear
*). Untuk Menyelesaikan Soal ini, kita menggunakan metode UJI TITIK POJOK dengan langkah-langkah :
1). Menggambar daerah penyelesaian (DHP),
2). Menentukan titik pojoknya,
3). Susbtitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan (sasaran),
4). Pilih nilai terbesar sebagai maksimum dan nilai terkecil sebagai minimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong garis terhadap sumbu-sumbu
Garis I : $ x + 2y \leq 4 \rightarrow (0,2), \, (4,0) $
Garis II : $ x - y \leq 2 \rightarrow (0,-2), \, (2,0) $
Garis III : $ x + y \geq 1 \rightarrow (0,1), \, (1,0) $
$\spadesuit \, $ Gambar daerah penyelesaiannya (DHP) :
 

*). Titik C , eliminasi pers(I) dan pers(II)
$ \begin{array}{cc} x + 2y = 4 & \\ x - y = 2 & - \\ \hline 3y = 2 & \\ y = \frac{2}{3} & \end{array} $
pers(II) : $ x - y = 2 \rightarrow x - \frac{2}{3} = 2 \rightarrow x = \frac{8}{3} $
Sehingga titik C$(\frac{8}{3}, \frac{2}{3}) $ .
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya : $ z = 6x + 3y - 2 $
$\begin{align} A(1,0) \rightarrow z & = 6.1 + 3.0 - 2 = 4 \\ B(2,0) \rightarrow z & = 6.2 + 3.0 - 2 = 10 \\ C(\frac{8}{3}, \frac{2}{3}) \rightarrow z & = 6.\frac{8}{3} + 3.\frac{2}{3} - 2 = 16 \\ D(0,2) \rightarrow z & = 6.0 + 3.2 - 2 = 4 \\ E(0,1) \rightarrow z & = 6.0 + 3.1 - 2 = 1 \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 16. \, \heartsuit $



2009 Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan UTUL atau UM UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Pertaksamaan $ \frac{4\sqrt{x}}{x^2+3} \leq \frac{1}{\sqrt{x}} $ mempunyai penyelesaian ....
A). $ 1 \leq x \leq 3 \, $ B). $ 1 \leq x \leq \sqrt{3} \, $ atau $ x \geq 3 $
C). $ x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 $ D). $ 0 < x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 $
E). $ 0 \leq x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 $

$\spadesuit $ Metode SUKA adalah suatu metode dimana kita akan langsung menggantikan variabelnya dengan angka tertentu.

$\clubsuit $ Pembahasan
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \frac{4\sqrt{x}}{x^2+3} & \leq \frac{1}{\sqrt{x}} \\ \frac{4\sqrt{0}}{0^2+3} & \leq \frac{1}{\sqrt{0}} \\ \frac{0}{3} & \leq \frac{1}{0} \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= 0 $ SALAH, opsi yang salah adalah C dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=\sqrt{3} \Rightarrow \frac{4\sqrt{x}}{x^2+3} & \leq \frac{1}{\sqrt{x}} \\ \frac{4\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}^2+3} & \leq \frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}}} \\ \frac{4\sqrt{\sqrt{3}}}{6} & \leq \frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}}} \\ \frac{2\sqrt{\sqrt{3}}}{3} & \leq \frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}}} \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= \sqrt{3} $ SALAH, opsi yang salah adalah A dan B.
Jadi, opsi yang benar adalah D (yang tersisa) yaitu
HP $ = 0 < x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 . \, \heartsuit $



2009 Pembahasan Pertidaksamaan UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Pertaksamaan $ \frac{4\sqrt{x}}{x^2+3} \leq \frac{1}{\sqrt{x}} $ mempunyai penyelesaian ....
A). $ 1 \leq x \leq 3 \, $ B). $ 1 \leq x \leq \sqrt{3} \, $ atau $ x \geq 3 $
C). $ x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 $ D). $ 0 < x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 $
E). $ 0 \leq x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan
*). Langkah-langkah dalam menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan ruas kanan pertidaksamaan,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Letakkan akar-akarnya dalam garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Mencari solusi syarat jika ada,
5). Iriskan semua HP yang diperoleh.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \frac{4\sqrt{x}}{x^2+3} & \leq \frac{1}{\sqrt{x}} \\ \frac{4\sqrt{x}}{x^2+3} - \frac{1}{\sqrt{x}} & \leq 0 \\ \frac{4\sqrt{x}.\sqrt{x} - (x^2+3)}{(x^2+3).\sqrt{x}} & \leq 0 \\ \frac{4x - x^2 - 3}{(x^2+3).\sqrt{x}} & \leq 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ \frac{x^2 - 4x + 3}{(x^2+3).\sqrt{x}} & \geq 0 \\ \frac{(x-1)(x-3)}{(x^2+3).\sqrt{x}} & \geq 0 \end{align} $ .
-). Akar-akarnya :
$(x-1)(x-3) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = 3 $
$ \sqrt{x} = 0 \rightarrow x = 0 $
$ x^2 + 3 = 0 \, $ tidak memiliki akar real karena $ D < 0 $.
-). Garis bilangannya :
 

Uji titik ke bentuk pertidaksamaan terakhir (yang sudah dimodifikasi).
Karena yang diminta $ \geq 0 \, $ (positif), maka solusinya :
$ HP_1 = \{ 0 \leq x \leq 1 \vee x \geq 3 \} $
*). Syarat akar dan penyebut :
syarat dalam akar : positif, syarat penyebut tidak boleh nol, sehingga
$ \sqrt{x} > 0 \rightarrow HP_2 = \{ x > 0 \} $.
*). Solusi Totalnya :
$ \begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ 0 \leq x \leq 1 \vee x \geq 3 \} \cap \{ x > 0 \} \\ & = \{ 0 < x \leq 1 \vee x \geq 3 \} \end{align} $ .
Jadi, penyelesaiannya adalah $ \{ 0 < x \leq 1 \vee x \geq 3 \} . \, \heartsuit $



2009 Pembahasan Persamaan Garis UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis $ (a+b)x + 2by = 2 $ dan garis $ ax - (b-3a)y = -4 $ berpotongan di $(1,-1) $ , maka $ a + b = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Garis Lurus
*). Substitusikan titik yang dilalui oleh persamaan garis

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $(1,-1) $ ke semua garis :
$ \begin{align} (x,y)=(1,-1) \rightarrow (a+b)x + 2by & = 2 \\ (a+b).1 + 2b.(-1) & = 2 \\ a+b -2b & = 2 \\ a - b & = 2 \\ \text{pers(i).... : } a & = b + 2 \\ (x,y)=(1,-1) \rightarrow ax - (b-3a)y & = -4 \\ a.1 - (b-3a).(-1) & = -4 \\ a + (b-3a) & = -4 \\ \text{pers(ii).... : } -2a + b & = -4 \end{align} $ .
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} a = b + 2 \rightarrow -2a + b & = -4 \\ -2(b+2) + b & = -4 \\ -2b - 4 + b & = -4 \\ -b & = -4 + 4 \\ b & = 0 \end{align} $ .
Pers(i) : $ a = b+ 2 = 0 + 2 = 2 $.
Sehingga nilai $ a + b = 2 + 0 = 2 $.
Jadi, nilai $ a + b = 2 . \, \heartsuit $