Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan kubus ABCD.EFGH dan P adalah titik tengah BC. Perbandingan luas segitiga APG dan luas segitiga DPG adalah .....
A). $ 1 : 1 \, $ B). $ \sqrt{3} : \sqrt{2} \, $ C). $ \sqrt{2} : 1 \, $ D). $ 3 : 2 \, $ E). $ \sqrt{3} : 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2}.a.t $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar, misalkan panjang rusuk kubus = 2
 

-). Panjang $ AG = s\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ (diagonal ruang)
$ AM = MG = \frac{1}{2}.AG = \sqrt{3} $
-). Panjang $ DG = s\sqrt{2} = 2\sqrt{2} $ (diagonal bidang)
$ DN = NG = \frac{1}{2}.DG = \sqrt{2} $
-). Segitiga ABP :
$ AP = \sqrt{AB^2 + BP^2} = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5} $
Panjang $ AP = DP = GP $.
-). Segitiga APG :
$ MP = \sqrt{PG^2 - MG^2} = \sqrt{\sqrt{5}^2 - \sqrt{3}^2} = \sqrt{2} $
-). Segitiga DPG :
$ NP = \sqrt{PG^2 - NG^2} = \sqrt{\sqrt{5}^2 - \sqrt{2}^2} = \sqrt{3} $
*). Menentukan luas segitiga APG :
$\begin{align} \text{Luas APG } & = \frac{1}{2}.AG.MP \\ & = \frac{1}{2}.2\sqrt{3} . \sqrt{2} \\ & = \sqrt{6} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga DPG :
$\begin{align} \text{Luas DPG } & = \frac{1}{2}.DG.NP \\ & = \frac{1}{2}.2\sqrt{2} . \sqrt{3} \\ & = \sqrt{6} \end{align} $
*). Menentukan perbandinan luasnya :
$\begin{align} \text{Luas APG } : \text{ Luas DPG } & = \sqrt{6} : \sqrt{6} \\ & = 1 : 1 \end{align} $
Jadi, perbandingan luasnya $ 1 : 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x^2+2xy+4x=-3 $ dan $ 9y^2+4xy+12y=-1 $. Nilai dari $ x + 3y $ adalah .....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa dengan metode eliminasi atau substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ x^2+2xy+4x=-3 \, \, $ ......(i)
$ 9y^2+4xy+12y=-1 \, $ ......(ii)
*). Jumlahkan kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} x^2+2xy+4x=-3 & \\ 9y^2+4xy+12y=-1 & + \\ \hline \end{array} $
$ x^2 + 6xy + 9y^2 + 4x + 12y = -4 $
*). Kita ubah bentuk persamaan terakhir :
Misalkan $ x + 3y = p $
$ \begin{align} x^2 + 6xy + 9y^2 + 4x + 12y & = -4 \\ x^2 + 6xy + 9y^2 + 4(x + 3y) & = -4 \\ (x + 3y)^2 + 4(x + 3y) & = -4 \\ p^2 + 4p & = -4 \\ p^2 + 4p + 4 & = 0 \\ (p + 2)^2 & = 0 \\ p + 2 & = 0 \\ p & = -2 \end{align} $
Artinya : $ p = -2 \rightarrow x + 3y = -2 $.
Jadi, nilai $ x + 3y = -2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 $ untuk $ \frac{\pi}{2}< x < \pi $ , maka $ \tan 2x = ... $
A). $ -\sqrt{3} \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -\frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus jumlah trigonometri :
$ \sin A + \sin B = 2\sin \left( \frac{A+B}{2} \right)\cos \left( \frac{A-B}{2} \right) $
*). Nilai trigonometri :
Untuk $ 90^\circ < x < 180^\circ $ berlaku :
$ \cos x = -\frac{1}{2} \rightarrow x = 120^\circ $.
Nilai $ \tan 240^\circ = \tan (180^\circ + 60^\circ ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} \sin x + \sin 2x + \sin 3x & = 0 \\ ( \sin 3x + \sin x ) + \sin 2x & = 0 \\ 2\sin \left( \frac{3x+x}{2} \right)\cos \left( \frac{3x-x}{2} \right) + \sin 2x & = 0 \\ 2\sin 2x \cos x + \sin 2x & = 0 \\ \sin 2x ( 2 \cos x + 1) & = 0 \\ \sin 2x = 0 \vee 2 \cos x + 1 & = 0 \\ \sin 2x = 0 \vee \cos x & = -\frac{1}{2} \end{align} $
Karena $ \frac{\pi}{2}< x < \pi $, maka yang memenuhi $ \cos x = -\frac{1}{2} $
Untuk $ \cos x = -\frac{1}{2} \, $ maka $ x = 120^\circ $
*). Menentukan nilai $ \tan 2x $ :
$ \begin{align} \tan 2x & = \tan 2\times 120^\circ \\ & = \tan 240^\circ = \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan 2x = \sqrt{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p>0 $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x^3+px^2+qx}{x-p}=12 $ , maka nilai $ p - q $ adalah .....
A). $ 14 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan Turunan pada limit (L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ memiliki penyelesaian $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Cek nilai limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x^3+px^2+qx}{x-p} & = 12 \\ \frac{p^3+p.p^2+q.p}{p-p} & = 12 \\ \frac{p^3+p^3+pq}{0} & = 12 \\ \frac{2p^3+pq}{0} & = 12 \end{align} $
-). Bentuk $ \frac{2p^3+pq}{0} $ jika kita hitung maka hasilnya $ \infty $, sementara hasil pada soal adalah 12, ini artinya bentuk limitnya harus tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ agar limitnya bisa kita proses lagi sehingga hasilnya menjadi 12.
$ \frac{2p^3+pq}{0} = \frac{0}{0} \rightarrow 2p^3+pq = 0 $
Bagi dengan $ p $, kita peroleh $ 2p^2 + q = 0 \rightarrow q = -2p^2 \, $ ......(i)
*). Turunan pada limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x^3+px^2+qx}{x-p} & = 12 \\ \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{3x^2+ 2px +q}{1} & = 12 \\ 3p^2+ 2p.p +q & = 12 \\ 5p^2 +q & = 12 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi $ q = -2p^2 $ ke pers(ii) :
$ \begin{align} 5p^2 +q & = 12 \\ 5p^2 + (-2p^2 ) & = 12 \\ 3p^2 & = 12 \\ p^2 & = 4 \\ p & = \pm 2 \end{align} $
Karena $ p > 0 $ , maka $ p = 2 $ yang memenuhi.
sehingga $ q = -2p^2 = -2(2)^2 = - 8 $
*). Menentukan nilai $ p - q $ :
$ \begin{align} p - q & = 2 - (-8) = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ p - q = 10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ dengan $ f(x)=(2x+1)^5 $ dan $ h=f\circ g $. Jika $ g(5)=-1 $ dan $ g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2$, maka $ h^\prime (5) = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 50 \, $ D). $ 60 \, $ E). $ 120 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus dasar turunan :
$ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[g(x)]^{n-1}. g^\prime (x) $
$ y = f(g(x)) \rightarrow y^\prime = f^\prime (g(x)) . g^\prime (x) $
*). Komposisi fungsi :
$ ( f\circ g)(x) = f(g(x)) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunannya $ f(x) $ :
$ \begin{align} f(x) & =(2x+1)^5 \\ f^\prime (x) & = 5(2x+1)^4. 2 \\ f^\prime (x) & = 10(2x+1)^4 \\ f^\prime (-1) & = 10(2.(-1)+1)^4 \\ & = 10(-11)^4 = 10 \end{align} $
*). Diketahui $ g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2 $, menentukan $ g^\prime (5) $ :
-). Menentukan nilai $ x $ agar menjadi $ g^\prime (5) $ :
$ \begin{align} \frac{x+1}{x-1} & = 5 \\ x + 1 & = 5x - 5 \\ 4x & = 6 \\ x & = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \end{align} $
-). Substitusi $ x = \frac{3}{2} $ ke $ g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2 $
Untuk $ x = \frac{3}{2} $, maka $ \frac{x+1}{x-1} = 5 $ :
$ \begin{align} x = \frac{3}{2} \rightarrow g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right) & =2x+2 \\ g^\prime (5) & =2 (\frac{3}{2}) +2 \\ & =3 +2 \\ & =5 \end{align} $
*). Bentuk $ h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x)) $ :
$ \begin{align} h(x) & = f(g(x)) \\ h^\prime(x) & = f^\prime (g(x)) . g^\prime (x) \\ h^\prime(5) & = f^\prime (g(5)) . g^\prime (5) \\ & = f^\prime (-1) . 5 \\ & = 10 . 5 \\ & = 50 \end{align} $
Jadi, nilai $ h^\prime(5) = 50 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan aritmetika. Diketahui $U_1\times U_2 = 10 $ dan $ U_1\times U_3 = 16 $. Jika suku-suku dari barisan aritmetika tersebut merupakn bilangan positif, maka $ U_{10} = .... $
A). $ 21 \, $ B). $ 23 \, $ C). $ 25 \, $ D). $ 27 \, $ E). $ 29 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, U_n = a+(n-1)b $
Sehingga penjabarannya :
$ U_1 = a , U_2 = a + b , U_3 = a + 2b, ...... $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaannya :
$ \begin{align} U_1.U_2 = 10 \rightarrow a (a+b) & = 10 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ U_1.U_3 = 10 \rightarrow a (a+2b) & = 16 \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Bagi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{align} \frac{a(a+b)}{a(a+2b)} & = \frac{10}{16} \\ \frac{a+b}{ a+2b} & = \frac{5}{8} \\ 8(a+b) & = 5(a + 2b) \\ 8a + 8b & = 5a + 10 b \\ 3a & = 2b \\ b & = \frac{3}{2} a \end{align} $
*). Substitusi $ 2b = 3a $ ke pers(ii) :
$ \begin{align} a (a+2b) & = 16 \\ a (a+3a) & = 16 \\ a (4a) & = 16 \\ a^2 & = 4 \\ a & = \pm 2 \end{align} $
Karena suku-suku positif, maka $ a = 2 $ yang memenuhi.
sehingga $ b = \frac{3}{2}a = \frac{3}{2}.2 = 3 $
*). Menentukan $ U_{10} $ :
$ \begin{align} U_{10} & = a + 9b \\ & = 2 + 9. 3 = 29 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_{10} = 29 . \, \heartsuit $