Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2000 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Diberikan persamaan :
$\left( \sqrt[3]{\frac{1}{243}} \right)^{3x} = \left( \frac{3}{3^{x-2}} \right)^2 . \sqrt[3]{\frac{1}{9}} $ .
Jika $ x_0 $ memenuhi persamaan, maka nilai $ 1- \frac{3}{4}x_0 = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \left( \sqrt[3]{\frac{1}{243}} \right)^{3x} & = \left( \frac{3}{3^{x-2}} \right)^2 . \sqrt[3]{\frac{1}{9}} \\ \left( 3^{-5} \right)^{\frac{3x}{x}} & = \left( 3^{1-(x-2)} \right)^2 . (3^{-2})^\frac{1}{3} \\ (3)^{-5x} & = \left( 3^{-x+3} \right)^2 . (3)^\frac{-2}{3} \\ (3)^{-5x} & = 3^{-2x+6} . (3)^\frac{-2}{3} \\ 3^{-5x} & = 3^{-2x+6+(\frac{-2}{3})} \\ 3^{-5x} & = 3^{-2x+\frac{16}{3}} \\ -5x & = -2x+\frac{16}{3} \\ -3x & = \frac{16}{3} \rightarrow x_0 = -\frac{16}{9} \end{align}$
Sehingga nilai :
$1- \frac{3}{4}x_0 = 1 - \frac{3}{4}. (-\frac{16}{9}) = 1 + \frac{4}{3} = 2\frac{1}{3} $
Jadi, nilai $ 1- \frac{3}{4}x_0 = 2\frac{1}{3} . \heartsuit $
Nomor 22
Sebuah bola pingpong dijatuhkan kelantai dari ketinggian 2 meter. Setiap kali setiap bola itu memantul ia mencapai ketinggian tiga per empat dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Panjang lintasan bola tersebut dari pantulan ke-3 sampai berhenti adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambar
umptn_matdas_6_2000.png
Pantulan awal dari pantulan ke-3 (suku ke-4) dengan $ a = 2, r = \frac{3}{4} $
$\clubsuit \, $ Menentkan panajang lintasan menggunakan deret tak hingga
Panjang lintasan dihitung dari setelah pantulan ke-3 (garis penuh). Karena lintasan naik dan turun panjangnya sama, serta bola berhenti sampai pantulan tak hingga, maka panjang lintasan (PL) :
$\begin{align} PL & = 2. S_\infty \\ PL & = 2. \frac{Suku pertama}{1-r} \\ & = 2. \frac{U_4}{1-r} \\ & = 2. \frac{ar^3}{1-r} \\ & = 2. \frac{2.(\frac{3}{4})^3}{1-\frac{3}{4}} \\ & = \frac{27}{4} = 6,75 \end{align}$
Jadi, panjang lintasannya adalah 6,75 m . $ \heartsuit $
Nomor 23
Jumlah 5 suku pertama sebuah deret geometri adalah -33. Jika nilai pembandingnya adalah -2, maka jumlah nilai suku ke-3 dan ke-4 deret ini adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan Geometri : $ U_n = ar^{n-1} \, $ dan $ \, S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $ dengan $ S_5=-33, \, r = -2 $
$\begin{align} S_5 = -3 \rightarrow \frac{a((-2)^5-1)}{-2-1} & = -33 \\ \frac{a(-32-1)}{-3} & = -33 \\ \frac{a(-33)}{-3} & = -33 \\ a & = -3 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ U_3 $ dan $ U_4 $
$ U_3 = ar^2 = -3(-2)^2 = -12 $
$ U_4 = ar^3 = -3(-2)^3 = 24 $
Sehingga : $ U_3+U_4 = -12 + 24 = 12 $
Jadi, nilai $U_3+U_4 = 12 . \heartsuit $
Nomor 24
Suku ke-6 sebuah deret aritmetika adalah 24.000 dan suku ke-10 adalah 18.000. Supaya suku ke-$n$ sama dengan 0, maka nilai $n$ adalah ....
$\clubsuit \,$ Barisan aritmetika : $ U_n = a + (n-1)b $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a $ dan $ b $
$\begin{array}{ccc} U_6=24000 \rightarrow & a + 5 b = 24000 & \\ U_{10} = 18000 \rightarrow & a+9b = 18000 & - \\ \hline & -4b = 6000 & \\ & b = -1500 & \end{array} $
pers(i) : $ a + 5b=24000 \rightarrow a+5(-1500) = 24000 \rightarrow a = 31500 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ n $ dengan $ U_n = 0 $
$\begin{align} U_n & = 0 \\ a + (n-1)b & = 0 \\ 31500 + (n-1).(-1500) & = 0 \\ 31500 -1500n + 1500 & = 0 \\ 1500n & = 33000 \\ n & = \frac{33000}{1500} = 22 \end{align}$
Jadi, nilai $ n = 22 . \heartsuit $
Nomor 25
Diketahui $ B = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right) $ dan $ C = \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right) $ . Determinan dari matriks $ B.C $ adalah K . Jika garis $ 2x-y = 5 $ dan $ x+y=1 $ berpotongan di titik A, maka persamaan garis yang melalui A dan bergradien K adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Determinan : $|A.B| = |A|.|B| $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $K$
$\begin{align} K & = |B.C| = |B|.|C| \\ K & = \left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right|. \left| \begin{matrix} 0 & 2 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right| \\ & = (3.0 - 2.1) . (0.6 - 3.2) \\ & = -2 . (-6) = 12 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik A dengan eliminasi
$\begin{array}{cc} 2x-y = 5 & \\ x + y = 1 & + \\ \hline 3x = 6 & \\ x = 2 & \end{array}$
pers(ii) : $ x+y = 1 \rightarrow 2 + y = 1 \rightarrow y = -1 $
Sehingga titik A(2,-1)
$\spadesuit \, $ Persamaan garis melalu ($x_1,y_1$) = (2,-1) dan gradien $ m = K = 12 $
$\begin{align} y-y_1 & = m (x-x_1) \\ y + 1 & = 12(x-2) \\ y+1 & = 12x - 24 \\ y -12x+25 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan garis lurusnya adalah $ y -12x+25 = 0 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2000 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+4} - \sqrt{2x+1}}{x-3} $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Kalikan sekawannya
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+4} - \sqrt{2x+1}}{x-3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+4} - \sqrt{2x+1}}{x-3} . \frac{\sqrt{x+4} + \sqrt{2x+1}}{\sqrt{x+4} + \sqrt{2x+1}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+4} - \sqrt{2x+1}}{x-3} . \frac{\sqrt{x+4} + \sqrt{2x+1}}{\sqrt{x+4} + \sqrt{2x+1}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{(x+4)-(2x+1)}{(x-3)(\sqrt{x+4} + \sqrt{2x+1}) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{-(x-3)}{(x-3)(\sqrt{x+4} + \sqrt{2x+1}) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{-1}{\sqrt{x+4} + \sqrt{2x+1}} \\ & = \frac{-1}{\sqrt{3+4} + \sqrt{2.3+1}} \\ & = \frac{-1}{\sqrt{7} + \sqrt{7}} \\ & = \frac{-1}{2\sqrt{7}} = -\frac{1}{14} \sqrt{7} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ -\frac{1}{14} \sqrt{7} . \heartsuit $
Nomor 17
Jika $x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan :
$(2\log x - 1 ) . \frac{1}{{}^x \log 10 } = \log 10 , \, x_1x_2 = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar logaritma :
Definisi : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
Sifat : $ {}^a \log b = \frac{1}{ {}^b \log a } $
$\clubsuit \, $ Misalkan $ p = \log x $
$\begin{align} (2\log x - 1 ) . \frac{1}{{}^x \log 10 } & = \log 10 \\ (2\log x - 1 ) . {}^{10} \log x & = \log 10 \\ (2\log x - 1 ) . \log x & = \log 10 \\ (2p-1).p & = 1 \\ 2p^2 - p - 1 & = 0 \\ (2p+1)(p-1) & = 0 \\ p = -\frac{1}{2} \rightarrow & \log x = -\frac{1}{2} \rightarrow x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} \\ p = 1 \rightarrow & \log x = 1 \rightarrow x_2 = 10^1 \end{align}$
Sehingga, $ x_1.x_2 = 10^{-\frac{1}{2}}. 10^1 = 10^{-\frac{1}{2} + 1} = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10} $
Jadi, nilai $ x_1.x_2 = \sqrt{10} . \heartsuit $
Nomor 18
Nilai $ x $ yang memenuhi :
$\log x = 4 \log (a+b) + 2\log (a-b) - 3\log (a^2-b^2) - \log \frac{a+b}{a-b} $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar logaritma
persamaan : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
Sifat : $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b , \, {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log bc $
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \log x & = 4 \log (a+b) + 2\log (a-b) - 3\log (a^2-b^2) - \log \frac{a+b}{a-b} \\ \log x & = \log (a+b)^4 + \log (a-b)^2 - \log (a^2-b^2)^3 - \log \frac{a+b}{a-b} \\ \log x & = \log \frac{(a+b)^4.(a-b)^2}{(a^2-b^2)^3.\frac{a+b}{a-b}} \\ \log x & = \log \frac{(a+b)^4.(a-b)^2.(a-b)}{[(a-b)(a+b)]^3.(a+b)} \\ \log x & = \log \frac{(a+b)^4.(a-b)^3}{(a-b)^3(a+b)^3.(a+b)} \\ \log x & = \log \frac{(a+b)^4.(a-b)^3}{(a-b)^3(a+b)^4} \\ \log x & = \log 1 \\ x & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = 1 . \heartsuit $
Nomor 19
Jika nilai maksimum fungsi $ y = x + \sqrt{p-2x} $ adalah 4, maka $ p = .... $
$\clubsuit \,$ Konsep dasar
Turunan : $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
Syarat nilai maks/min : $ f^\prime (x) = 0 $
$\clubsuit \,$ Menentukan turunannya
$\begin{align} y & = x + \sqrt{p-2x} \\ y^\prime & = 1 + \frac{-2}{2\sqrt{p-2x}} \\ y^\prime & = 1 + \frac{-1}{\sqrt{p-2x}} = 0 \\ \sqrt{p-2x} & = 1 \, \, \, \text{pers(i)} \\ p-2x & = 1 \rightarrow x = \frac{p-1}{2} \end{align}$
Artinya $ f(x) $ maksimum saat $ x = \frac{p-1}{2} $
$\clubsuit \,$ Substitusi $ x = \frac{p-1}{2} $ ke fungsi diperoleh nilai maksimum yaitu $ y_{maks} = 4 $
$\begin{align} y & = x + \sqrt{p-2x} \\ y_{maks} & = f\left( \frac{p-1}{2} \right) \\ 4 & = \frac{p-1}{2} + \sqrt{p-2.\frac{p-1}{2}} \\ 4 & = \frac{p-1}{2} + \sqrt{1} \\ 4 & = \frac{p-1}{2} + 1 \\ p-1 & = 6 \rightarrow p = 7 \end{align}$
Jadi, nilai $ p = 7 . \heartsuit $
Nomor 20
Fungsi $ f $ dengan $ f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x $ akan naik pada interval ....
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan
$ f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x \rightarrow f^\prime (x) = x^2 - 4 $
$\spadesuit \, $ Syarat fungsi naik : $ f^\prime (x) > 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ x^2 - 4 & > 0 \\ x^2 & = 4 \rightarrow x = \pm 2 \end{align}$
umptn_matdas_5_2000.png
Jadi, interval naiknya adalah $ HP = \{ x < -2 \vee x > 2 \} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2000 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi, setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg, sedangkan kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya boleh membawa bagasi 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp 150.000 dan kelas ekonomi Rp 100.000. Supaya pendapatan dan penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, jumlah tempat duduk kelas utama haruslah ....
$\spadesuit \, $ Model matematika
Misal : Utama = $ x $ dan ekonomi = $ y $
Kapasitas : $ x + y \leq 48 \rightarrow (0,48), \, (48,0) $
Bagasi : $ 60x+20 \leq 1440 \rightarrow 3x + y \leq 72 \rightarrow (0,72), \, (24,0) $
Fungsi tujuan : $ z = 150.000x+100.000y $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong kedua garis
$\begin{array}{cc} 3x + y = 72 & \\ x + y = 48 & - \\ \hline 2x = 24 & \\ x = 12 & \end{array} $
pers(i) : $ x+y =48 \rightarrow 12 + y = 48 \rightarrow y = 36 $
umptn_matdas_3_2000.png
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan
$A(24,0) \rightarrow z = 150000 \times 24 + 100000 \times 0 = 3.600.000 $
$B(12,36) \rightarrow z = 150000 \times 12 + 100000 \times 36 = 5.400.000 $
$C(0,48) \rightarrow z = 150000 \times 0 + 100000 \times 48 = 4.800.000 $
Sehingga pendapatan maksimumnya adalah Rp 5.400.000 saat penjualan kelas utama sebanyak 12 tiket dan kelas ekonomi sebanyak 36 tiket.
Jadi, jumlah penumpang kelas utama sebanyak 12 orang. $ \heartsuit $
Nomor 12
Diketahui segitiga ABC. Panjang sisi AC = $ b $ cm, sisi BC = $a$ cm, dan $a + b$ = 10 cm. Jika $\angle A = 30^\circ $ dan $ \angle B = 60^\circ $, maka panjang sisi AB = ....
$\clubsuit \, $ Gambar
umptn_matdas_4_2000.png
dengan $ a + b =10 \, \, $ .....pers(i)
$\clubsuit \, $ Aturan sinus
$\begin{align} \frac{a}{\sin A} & = \frac{b}{\sin B} \\ \frac{a}{\sin 30^\circ} & = \frac{b}{\sin 60^\circ} \\ \frac{a}{\frac{1}{2}} & = \frac{b}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} \\ b & = a \sqrt{3} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ b = a \sqrt{3} \, $ ke pers(i)
$ a + b = 10 \rightarrow a + a \sqrt{3} = 10 \rightarrow a = \frac{10}{\sqrt{3}+1} $
$\clubsuit \, $ Aturan sinus
$\begin{align} \frac{c}{\sin C} & = \frac{a}{\sin A} \\ \frac{c}{\sin 90^\circ} & = \frac{a}{\sin 30^\circ} \\ \frac{c}{1} & = \frac{\frac{10}{\sqrt{3}+1}}{\frac{1}{2}} \\ c & = \frac{20}{\sqrt{3}+1} \\ c & = \frac{20}{\sqrt{3}+1} . \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\ c & = \frac{20(\sqrt{3}-1)}{3-1} \\ c & = 10\sqrt{3}-10 \end{align}$
Jadi, nilai $ c = 10\sqrt{3}-10 . \heartsuit $
Nomor 13
$\cos ^2 \frac{\pi}{6} - \sin ^2 \frac{3\pi}{4} + 8\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{3\pi}{4} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : nilai $ \pi = 180^\circ $
$\sin ( 180^\circ - x ) = \sin x \, $ dan $ \, \cos ( 180^\circ - x ) = -\cos x \, $
Sehingga :
$\sin 135^\circ = \sin ( 180^\circ - 45^\circ ) = \sin 45^\circ $
$\cos 135^\circ = \cos ( 180^\circ - 45^\circ ) = -\cos 45^\circ $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} & \cos ^2 \frac{\pi}{6} - \sin ^2 \frac{3\pi}{4} + 8\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{3\pi}{4} \\ & = (\cos 30^\circ )^2 - (\sin 135^\circ )^2 + 8. \sin 45^\circ . \cos 135^\circ \\ & = (\cos 30^\circ )^2 - (\sin 45^\circ )^2 + 8. \sin 45^\circ . (- \cos 45^\circ ) \\ & = (\frac{1}{2} \sqrt{3} )^2 - (\frac{1}{2} \sqrt{2} )^2 + 8. \frac{1}{2} \sqrt{2} . (- \frac{1}{2} \sqrt{2} ) \\ & = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} - 4 \\ & = -3\frac{3}{4} \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ -3\frac{3}{4} . \heartsuit $
Nomor 14
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar : $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b} $
Jadi, solusinya adalah $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b} . \heartsuit $
Nomor 15
Jika $ f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-4} $ , maka $ \displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = .... $
Cara I
$\spadesuit \, $ Pemfaktoran
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2-2x}{x^2-4} & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x}{x+2} = \frac{2}{2+2} = \frac{1}{2} \end{align}$
Cara II
$\spadesuit \, $ Turunan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2-2x}{x^2-4} & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2x-2}{2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x-1}{x} = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2000 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diketahui $ f(x) = 2x+5 $ dan $ g(x) = \frac{x-1}{x+4} $ . Jika $ (f \circ g) (a) = 5 $ , maka $ a = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi komposisinya
$\begin{align} (f\circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f \left( \frac{x-1}{x+4} \right) \\ & = 2. \left( \frac{x-1}{x+4} \right) + 5 \\ (f\circ g) (x) & = \frac{7x+18}{x+4} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} (f\circ g) (a) & = 5 \\ \frac{7a+18}{a+4} & = 5 \\ 7a+18 & = 5(a+4) \\ 7a+18 & = 5a + 20 \\ a & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $
Nomor 7
Grafik fungsi $ y = ax^2+bx-1 $ memotong sumbu X di titik ($\frac{1}{2}, \, 0$) dan (1,0). Fungsi ini mempunyai nilai ekstrim ....
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a $ , $ b $ dengan substitusi ke $ y = ax^2+bx-1 $
$(1,0) \rightarrow 0 = a.1^2 + b.1 - 1 \rightarrow a+b = 1 $ ...pers(i)
$(\frac{1}{2},0) \rightarrow 0 = a.(\frac{1}{2})^2 + b.\frac{1}{2} - 1 \rightarrow a+2b = 4 $ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} a+2b = 4 & \\ a+b = 1 & - \\ \hline b = 3 & \end{array}$
pers(i) : $ a+b = 1 \rightarrow a+3 = 1 \rightarrow a = -2 $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = -2x^2 + 3x - 1 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai ekstrimnya
$\begin{align} y_p & = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2-4ac}{-4a} \\ y_p & = \frac{3^2-4.(-2).(-1)}{-4.(-2)} = \frac{1}{8} \end{align} $
karena nilai $ a = -2 $ (negatif), maka jenisnya maksimum.
Jadi, nilai ekstrimnya adalah maksimum sebesar $ \frac{1}{8} . \heartsuit$
Nomor 8
Fungsi $ y = (x-2a)^2 + 3b $ mempunyai nilai minimum 21 dan memotong sumbu Y dititik yang berordinat 25. Nilai $ a + b $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Nilai minimum fungsi adalah 21, artinya $y_p = 21 $ dengan $ y_p = \frac{D}{-4a} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ b $ dari $ y_p $
$\begin{align} y & = (x-2a)^2 + 3b \\ y & = x^2-4ax+4a^2+3b \\ \rightarrow a = 1, \, b = -4a, \, c & = 4a^2 + 3b \\ y_p & = 21 \rightarrow \frac{b^2-4ac}{-4a} = 21 \\ \frac{b(-4a)^2-4.1.(4a^2+3b)}{-4.1} & = 21 \\ \frac{16a^2-4(4a^2+3b)}{-4} & = 21 \\ -4a^2 + 4a^2 + 3b & = 21 \\ 3b & = 21 \rightarrow b = 7 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Fungsi memotong sumbu Y dengan ordinat 25, artinya titiknya (0,25). Substitusi titik (0,25) dan $ b = 7 $ ke fungsi
$\begin{align} y & = (x-2a)^2 + 3b \\ 25 & = (0-2a)^2 + 3.7 \\ 25 & = 4a^2 + 21 \\ 4a^2 & = 4 \\ a^2 & = 1 \rightarrow a = \pm 1 \end{align}$
Sehingga diperoleh :
$ a = 1 , \, b = 7 \rightarrow a+b = 1 + 7 = 8 $
$ a = -1 , \, b = 7 \rightarrow a+b = -1 + 7 = 6 $
Jadi, nilai $ a+ b $ adalah 8 atau 6 . $\heartsuit $
Nomor 9
Nilai dari $ \left| \frac{2x+7}{x-1} \right| \geq 1 $ dipenuhi oleh ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar : $ |x|^2 = x^2 $ dan $ p^2-q^2 = (p-q)(p+q) $
$\clubsuit \, $ Pertidaksamaan dikuadratkan
$\begin{align} \left| \frac{2x+7}{x-1} \right|^2 & \geq 1^2 \\ \left( \frac{2x+7}{x-1} \right)^2 & \geq 1^2 \\ \left( \frac{2x+7}{x-1} \right)^2 - 1^2 & \geq 0 \\ \left( \frac{2x+7}{x-1} -1 \right)\left( \frac{2x+7}{x-1} + 1 \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{2x+7-(x-1)}{x-1} \right)\left( \frac{2x+7+(x-1)}{x-1} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{x+8}{x-1} \right)\left( \frac{3x+6}{x-1} \right) & \geq 0 \\ x=-8, \, x = 1 , \, x & = -2 \end{align}$
umptn_matdas_1_2000.png
Jadi, solusinya $ HP = \{ x \leq -8 \vee -2 \leq x < 1 \vee x > 1 \} . \heartsuit$
Nomor 10
Pertaksamaan $ \frac{x^2-2x-3}{x-1} \geq 0 $ mempunyai penyelesaian ....
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \frac{x^2-2x-3}{x-1} & \geq 0 \\ \frac{(x-3)(x+1)}{x-1} & \geq 0 \\ x = 3, \, x = -1, \, x & = 1 \end{align}$
umptn_matdas_2_2000.png
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ -1 \leq x < 1 \vee x \geq 3 \} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30