Pembahasan Basis Bilangan UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a_1, a_2, a_3, ... , a_n $ adalah bilangan-bilangan asli berlainan yang memenuhi $ 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3} + ... + 2^{a_n} = 2018 $ , maka nilai $ a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = ... $
A). $ 44 \, $ B). $ 45 \, $ C). $ 46 \, $ D). $ 47 \, $ E). $ 48 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Konsep Basis Bilangan :
*). Bilangan yang biasa kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari adalah dalam bentuk basis 10. Contoh sederhana : 123 adalah bentuk basis 10 yang bisa kita tulis $ [123]_{10} $ yang dapat kita jabarkan menjadi :
$ [123]_{10} = 1\times 10^2 + 2\times 10^1 + 3 \times 10^0 = 10^2 + 2 \times 10 + 3 $ .
Selain bentuk basis 10, ternyata masih ada bentuk basis lainnya dimana bisa saling kita konversikan, misalnya basis 10 bisa kita konversikan ke basis 2 atau basis lainnya.
*). Bentuk umum basis bilangan :
$ [a_na_{n-1}...a_2a_1a_0]_b = a_n \times b^n + a_{n-1} \times b^{n-1} + ... + a_2 \times b^2 + a_1 \times b^1 + a_0 \times b^0 $
dengan $ a_n, a_{n-1}, ..., a_3,a_2,a_1,a_0 $ semuanya kurang dari $ b $.
Contoh 1 :
$ [101101]_2 = 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 +1 \times 2^2 +0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 $ $ [101101]_2 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45 $
artinya $ [101101]_2 = [45]_{10} $
*). Cara mengubah basis 10 ke basis lain yaitu dengan cara dibagi dan kita daftarkan sisa pembagiannya.
Contoh :
bilangan $ 45 $ akan kita ubah menjadi basis 2 yaitu $ [45]_{10} = [.....]_2 $
Jawab:
-). karena akan diubah ke basis 2, maka kita bagi 2 bilangan 45.
$ 45 : 2 \rightarrow $ hasil = 22 dan sisa = 1
$ 22 : 2 \rightarrow $ hasil = 11 dan sisa = 0
$ 11 : 2 \rightarrow $ hasil = 5 dan sisa = 1
$ 5 : 2 \rightarrow $ hasil = 2 dan sisa = 1
$ 2 : 2 \rightarrow $ hasil = 1 dan sisa = 0
Urutan penulisannya adalah hasil terakhir dilanjutkan dengan sisa dari paling bawah, sehingga hasilnya :
$ [45]_{10} = [101101]_2 $
Catatan : Seingat saya materi ini dipelajari bagi siswa yang mau ikut olimpiade matematika.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatika bentuk $ 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3} + ... + 2^{a_n} = 2018 $, yang artinya kita harus mengubah angka 2018 ke dalam bentuk basis 2.
*). Proses mengubah 2018 ke dalam bentuk basis 2 :
$ 2018 : 2 \rightarrow $ hasil = 1009 dan sisa = 0
$ 1009 : 2 \rightarrow $ hasil = 504 dan sisa = 1
$ 504 : 2 \rightarrow $ hasil = 252 dan sisa = 0
$ 252 : 2 \rightarrow $ hasil = 126 dan sisa = 0
$ 126 : 2 \rightarrow $ hasil = 63 dan sisa = 0
$ 63 : 2 \rightarrow $ hasil = 31 dan sisa = 1
$ 31 : 2 \rightarrow $ hasil = 15 dan sisa = 1
$ 15 : 2 \rightarrow $ hasil = 7 dan sisa = 1
$ 7 : 2 \rightarrow $ hasil = 3 dan sisa = 1
$ 3 : 2 \rightarrow $ hasil = 1 dan sisa = 1
Sehingga hasilnya : $ 2018 = [11111100010]_2 $
*). Kita ubah menjadi bentuk pangkat :
$ \begin{align} 2018 & = [11111100010]_2 \\ 2018 & = 1 \times 2^{10} + 1 \times 2^9 + 1 \times 2^8+ 1 \times 2^7 + 1 \times 2^6 + 1 \times 2^5 \\ & = + 0 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 \\ 2018 & = 2^{10} + 2^9 + 2^8+ 2^7 + 2^6 + 2^5 + 0 + 0 + 0 + 2^1 + 0 \\ 2018 & = 2^{10} + 2^9 + 2^8+ 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^1 \end{align} $
*). Sesuai bentuk $ 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3} + ... + 2^{a_n} = 2018 $ dan bentuk pangkat di atas, maka kita peroleh :
$ a_1 = 10, a_2 = 9 , a_3 = 8 , a_4 = 7, a_5 = 6 , a_6 = 5, a_7 = 1 $
*). Menentukan jumlah pangkatnya :
$ \begin{align} \text{jumlah pangkatnya } & = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 1 = 46 \end{align} $
Jadi, jumlah pangkatnya adalah $ 46 . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linier UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai maksimum fungsi $ f(x,y) = 5 - 4x + 3y $ untuk $ x $ dan $ y $ yang memenuhi $ -x + y \leq 1 $ , $ x + 2y \geq 5 $ , dan $ 2x + y \leq 10 $ adalah ...
A). $ -15 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 11 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum Program Linier:
1). Menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP),
2). Menentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan, lalu pilih nilai terbesar sebagai nilai maksimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ -x + y \leq 1 \rightarrow (0,1) , \, (-1,0) $
Garis II : $ x + 2y \geq 5 \rightarrow (0,\frac{5}{2}), \, (5,0) $
Garis III : $ 2x + y \leq 10 \rightarrow (0,10) , \, (8,0) $
Pers(I) : $ -x + y = 1 \rightarrow y = x + 1 $
 

*). Menentukan titik pojok A, B dan C :
-). Titik $ A(5,0) $
-). Titik B, substitusi pers(I) ke pers III :
$ 2x + y = 10 \rightarrow 2x + (x+1) = 10 \rightarrow 3x = 9 \rightarrow x = 3 $
Pers(I): $ y = x + 1 = 3 + 1 = 4 $
Sehingga titik $ B (3,4) $.
-). Titik C, substitusi pers(I) ke pers II :
$ x + 2y = 5 \rightarrow x + 2(x+1) = 5 \rightarrow 3x = 3 \rightarrow x = 1 $
Pers(I): $ y = x + 1 = 1 + 1 = 2 $
Sehingga titik $ C (1,2) $.
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ f(x,y) = 5 - 4x + 3y $ :
$ \begin{align} A \rightarrow f & = 5 - 4.5 + 3.0 = 5 - 20 = -15 \\ B \rightarrow f & = 5 - 4.3 + 3.4 = 5 - 12 + 12 = 5 \\ C \rightarrow f & = 5 - 4.1 + 3.2 = 5 - 4 + 6 = 7 \end{align} $.
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logika UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang menyebabkan pernyataan : " Jika $ x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 $, maka pertidaksamaan $ x^2 + 3x - 3 < 0 $" bernilai SALAH adalah ...
A). $ 1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 1 \, $ dan $ - 2 $ E). $ -1 \, $ dan $ - 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Bentuk implikasi : Jika $ p $ maka $ q $ bernilai salah ketika $ p $ bernilai BENAR dan $ q $ bernilai SALAH.
*). Pemfaktoran beberapa bentuk :
$ab - b = b(a - 1 ) $.
$ a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan pernyataan berikut, dengan memisalkan :
Jika $ \, \underbrace{x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0}_{p} $ , maka $ \, \underbrace{x^2 + 3x - 3 < 0}_{q} $
Artinya pernyataan pada soal diubah menjadi : Jika $ p $ maka $ q $.
dengan $ p : x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 $ dan $ q : x^2 + 3x - 3 < 0 $ .
*). Pernyataan "jika $ p $ maka $ q $" bernilai salah ketika $ p $ bernilai BENAR dan $ q $ bernilai SALAH.
-). $ p $ bernilai benar, artinya kita cari nilai $ x $ (akar-akar) yang memenuhi persamaan $ x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 $.
$ \begin{align} x^3 + 2x^2 - x - 2 & = 0 \\ x^2(x + 2) - x - 2 & = 0 \\ x^2(x + 2) - (x + 2) & = 0 \\ (x + 2)(x^2 - 1) & = 0 \\ (x + 2)(x - 1)(x + 1) & = 0 \\ x = -2, x = 1, x & = -1 \end{align} $
sehingga nilai $ p $ akan BENAR untuk $ x = -2, x = 1, x = -1 $.
-). $ q $ bernilai SALAH jika $ x $ yang kita substitusi tidak memenuhi pertidaksamaan $ x^2 + 3x - 3 < 0 $ .
$ \begin{align} x = -2 \rightarrow x^2 + 3x - 3 & < 0 \\ (-2)^2 + 3.(-2) - 3 & < 0 \\ -5 & < 0 \, \, \, \text{(BENAR)} \\ x = 1 \rightarrow x^2 + 3x - 3 & < 0 \\ 1^2 + 3.1 - 3 & < 0 \\ 1 & < 0 \, \, \, \text{(SALAH)} \\ x = -1 \rightarrow x^2 + 3x - 3 & < 0 \\ (-1)^2 + 3.(-1) - 3 & < 0 \\ -5 & < 0 \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Sehingga yang membuat $ q $ salah adalah $ x = 1 $.
Jadi, nilai $ x $ yang dimaksud adalah $ x = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ tidak mempunyai akar real, maka grafik fungsi $ y = ax^2 + bx + c $ menyinggung garis $ y = -x $ bilamana ...
A). $ b < -\frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{2} < b < 0 $ C). $ b > -\frac{1}{2} $
D). $ 0 < b < \frac{1}{2} $ E). $ b > 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan kuadrat $ \, ax^2 + bx + c = 0 $ tidak memiliki akar real syaratnya $ D < 0 $
*). Grafik fungsi kuadrat dan garis bersinggungan memiliki syarat $ D = 0 $
dimana $ D = b^2 - 4ac $.
*). Ketaksamaan dibalik jika dibagi atau dikali bilangan negatif.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ tidak mempunyai akar real
$ \begin{align} \text{Syarat : } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). FK $ y = ax^2 + bx + c $ menyinggung garis $ y = -x $
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ ax^2 + bx + c & = -x \\ ax^2 + bx + x + c & = 0 \\ ax^2 + ( b + 1) x + c & = 0 \\ \text{ Syarat menyinggung : } D & = 0 \\ (b+1)^2 - 4.a.c & = 0 \\ 4ac & = (b+1)^2 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (ii) ke (i)
$ \begin{align} b^2 - 4ac & < 0 \\ b^2 - (b+1)^2 & < 0 \\ b^2 - (b^2 + 2b + 1) & < 0 \\ b^2 - b^2 - 2b - 1 & < 0 \\ - 2b - 1 & < 0 \\ - 2b & < 1 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -2)} \\ b & > -\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ b > -\frac{1}{2} . \, \heartsuit $