Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2015 Nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jika diketahui $ f(x-3) = \frac{x-6}{x+3}, \, $ maka $ f^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = .... $
$\spadesuit \, $ Definisi invers fungsi : $ f(A) = B \leftrightarrow A = f^{-1}(B) $
Misalkan hasil dari $ f^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = a \, $ maka
$ f^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = a \leftrightarrow f(a) = \frac{1}{2} $.
$\spadesuit \, $ Menyamakan bentuk $ f(x-3) = \frac{x-6}{x+3} \, $ dan $ f(a) = \frac{1}{2} $
$\begin{align} f(x-3) & = \frac{x-6}{x+3} \\ f(a) & = \frac{1}{2} \end{align}$
diperoleh $ a = x - 3 \, $ dan $ \frac{x-6}{x+3} = \frac{1}{2} $.
$ \frac{x-6}{x+3} = \frac{1}{2} \rightarrow 2x - 12 = x + 3 \rightarrow x = 15 $.
Sehingga nilai $ a = x - 3 = 15 - 3 = 12 $.
Artinya nilai $ f^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = a = 12 $.
Jadi, nilai $ f^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = 12. \, \heartsuit$
Nomor 17
Jika garis $ h \, $ menyinggung kurva $ y = \cos x - \sin x \, $ di titik yang absisnya $ \frac{\pi}{4} , \, $ maka garis $ h \, $ memotong sumbu Y di titik ....
$\clubsuit \,$ Konsep garis singgung di titik ($x_1,y_1$) adalah :
$ y - y_1 = m(x-x_1) \, $ dengan $ m = f^\prime (x_1) $.
$\clubsuit \,$ Menentukan titik singgung dan gradien
*). Substitusi absisnya : $ x = \frac{\pi}{4} $
$\begin{align} x = \frac{\pi}{4} \rightarrow y & = \cos x - \sin x \\ y & = \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4} \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{2} - \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ & = 0 \end{align}$
Sehingga titik singgungnya : $ (x_1 , y_1 ) = ( \frac{\pi}{4} , 0 ) $.
*). Menentukan turunan dan gradien saat $ x_1 = \frac{\pi}{4} $
$\begin{align} y & = \cos x - \sin x \\ f^\prime (x) & = -\sin x - \cos x \\ x_1 = \frac{\pi}{4} \rightarrow f^\prime (x) & = -\sin x - \cos x \\ m & = f^\prime (x_1) = -\sin \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{4} \\ & = -\frac{1}{2} \sqrt{2} - \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ & = -\sqrt{2} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menyusun PGS di titik $ (x_1 , y_1 ) = ( \frac{\pi}{4} , 0 ) \, $ dan $ m = -\sqrt{2} $
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 0 & = -\sqrt{2}(x- \frac{\pi}{4} ) \\ y & = -\sqrt{2}x + \frac{\pi}{4} \sqrt{2} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow y & = -\sqrt{2}x + \frac{\pi}{4} \sqrt{2} \\ y & = -\sqrt{2} . 0 + \frac{\pi}{4} \sqrt{2} \\ y & = \frac{\pi}{4} \sqrt{2} \end{align}$
Jadi, titik potong sumbu Y adalah $ (0, \frac{\pi}{4} \sqrt{2}) . \, \heartsuit $
Nomor 18
Diketahui $ xy + ax^2 + bx + c = 0. \, $ Agar $ x+y \, $ memiliki nilai maksimum/minimum relatif, maka ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
*). Fungsi $ f(x) \, $ mempunyai nilai maksimum/minimum relatif jika ada nilai $ x \, $ yang memenuhi $ f^\prime (x) = 0 \, $ atau dengan kata lain $ f^\prime (x) = 0 \, $ ada akar-akarnya.
*). Bentuk $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memiliki akar-akar syaratnya : $ D \geq 0 \, $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Turunan fungsi bentuk pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime V - UV^\prime}{V^2} $
$\spadesuit \, $ Modifikasi persamaan :
$\begin{align} xy + ax^2 + bx + c & = 0 \\ xy & = - ax^2 - bx - c \\ y & = \frac{- ax^2 - bx - c}{x} \end{align}$
Sehingga bentuk $ x + y \, $ adalah
$\begin{align} x + y & = x + \frac{- ax^2 - bx - c}{x} \\ x + y & = \frac{x^2 - ax^2 - bx - c}{x} \\ f(x) & = \frac{(1 - a)x^2 - bx - c}{x} \\ \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan fungsi $ f(x) $
$\begin{align} f(x) & = \frac{(1 - a)x^2 - bx - c}{x} \\ U & = (1 - a)x^2 - bx - c \rightarrow U^\prime = 2(1-a)x - b \\ V & = x \rightarrow V^\prime = 1 \\ f(x) & = \frac{U}{V} \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime V - UV^\prime}{V^2} \\ f^\prime (x) & = \frac{(2(1-a)x - b).x - ((1 - a)x^2 - bx - c).1}{x^2} \\ f^\prime (x) & = \frac{ (1-a)x^2 + c}{x^2} \\ f^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \text{(syarat nilai maks/min)} \\ \frac{ (1-a)x^2 + c}{x^2} & = 0 \\ (1-a)x^2 + c & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Agar $ f(x) \, $ mempunyai nilai maks/min, maka $ f^\prime (x) = 0 \, $ atau $ (1-a)x^2 + c = 0 \, $ mempunyai akar dengan syarat $ D \geq 0 $ .
Bentuk $ (1-a)x^2 + c = 0 \, $ , nilai $ a = (1 - a), b = 0, c = c $.
$\begin{align} D & \geq 0 \\ b^2 - 4ac & \geq 0 \\ 0^2 - 4(1-a)c & \geq 0 \\ - 4(1-a)c & \geq 0 \\ 4(a-1)c & \geq 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ (a-1)c & \geq 0 \end{align}$
Karena bentuk $ (a-1).c \, $ nilainya positif, maka pembagiannya juga bernilai positif, sehingga $ \frac{c}{a-1} > 0 $.
jadi, kita peroleh $ \frac{c}{a-1} > 0 . \, \heartsuit $
Nomor 19
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} U_1 & -U_2 \\ U_4 & U_3 \end{matrix} \right) \, $ dan $ U_n \, $ adalah suku ke-$n$ barisan geometri. Jika $ U_1 + U_3 = \frac{1}{p} \, $ dan $ U_2 + U_4 = \frac{1}{q} \, $ dengan $ p,q \neq 0, \, $ maka determinan A sama dengan ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Barisan geometri : $ U_n = ar^{n-1} $
*). Determinan : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |a| = ad - bc $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan :
Persamaan pertama :
$\begin{align} U_1 + U_3 & = \frac{1}{p} \\ a + ar^2 & = \frac{1}{p} \\ a(1 + r^2) & = \frac{1}{p} \\ (1 + r^2) & = \frac{1}{pa} \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} U_2 + U_4 = \frac{1}{q} \\ ar + ar^3 & = \frac{1}{q} \\ ar(1 + r^2) & = \frac{1}{q} \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} ar(1 + r^2) & = \frac{1}{q} \\ ar. \frac{1}{pa} & = \frac{1}{q} \\ \frac{r}{p} & = \frac{1}{q} \\ r & = \frac{p}{q} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi bentuk $ r = \frac{p}{q} \, $ ke pers(i)
$\begin{align} a(1 + r^2) & = \frac{1}{p} \\ a(1 + (\frac{p}{q})^2) & = \frac{1}{p} \\ a(1 + \frac{p^2}{q^2}) & = \frac{1}{p} \\ a(\frac{q^2 + p^2}{q^2}) & = \frac{1}{p} \\ a & = \frac{1}{p} . \frac{q^2}{q^2 + p^2} \\ a & = \frac{q^2}{p(q^2 + p^2)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan Determinan
$\begin{align} A & = \left( \begin{matrix} U_1 & -U_2 \\ U_4 & U_3 \end{matrix} \right) \\ |A| & = U_1.U_3 - (-U_2).U_4 \\ & = U_1.U_3 + U_2.U_4 \\ & = a.ar^2 + ar.ar^3 \\ & = a^2r^2(1 + r^2) \\ & = a^2r^2. \frac{1}{pa} \\ & = ar^2. \frac{1}{p} \\ & = \frac{q^2}{p(q^2 + p^2)} .(\frac{p}{q})^2. \frac{1}{p} \\ & = \frac{q^2}{p^2(q^2 + p^2)} .\frac{p^2}{q^2} \\ & = \frac{1}{q^2 + p^2} \end{align}$
Jadi, determinan matriksnya adalah $ \frac{1}{q^2 + p^2} . \, \heartsuit$
Nomor 20
Diketahui $ f(x) = mx + c \, $ dengan $ f^{-1}(2) = -3 \, $ dan $ f^{-1}(8) = 6 \, $ dengan $ f^{-1} \, $ menyatakan fungsi invers $ f. \, $
Nilai $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{(3+h)f(3) - 3f(3+h)}{h} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Fungsi invers : $ f^{-1}(A) = B \leftrightarrow f(B) = A $
*). Turunan : $ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . f^\prime [g(x)] $
*). Penerapan turunan pada limit :
$ \displaystyle \lim_{h \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{h \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{h \to a } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
$\spadesuit \, $ Menyusun fungsi $ f(x) \, $ dengan $ f(x) = mx + c $
$\begin{align} f^{-1}(2) = -3 \rightarrow f(-3) & = 2 \\ m(-3) + c & = 2 \\ -3m + c & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ f^{-1}(8) = 6 \rightarrow f(6) & = 8 \\ m(6) + c & = 8 \\ 6m + c & = 8 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} 6m + c = 8 & \\ -3m + c = 2 & - \\ \hline 9m = 6 & \\ m = \frac{2}{3} & \end{array} $
Pers(i) : $ -3m + c = 2 \rightarrow -3. \frac{2}{3} + c = 2 \rightarrow c = 4 $.
Sehingga : $ f(x) = mx + c = \frac{2}{3}x + 4 $
Turunannya : $ f^\prime (x) = \frac{2}{3} $.
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan limitnya
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{(3+h)f(3) - 3f(3+h)}{h} = \frac{0}{0} \, \, \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(3) - 3f^\prime (3+h)}{1} \\ & = \frac{f(3) - 3f^\prime (3+0)}{1} \\ & = f(3) - 3f^\prime (3) \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi ke fungsinya)} \\ & = (\frac{2}{3} . 3 + 4) - 3. \frac{2}{3} \\ & = (2 + 4) - 2 \\ & = 6 - 2 \\ & = 4 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah 4. $ \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2015 Nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diberikan matriks $ P = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) \, $ dan $ \, Q = \left( \begin{matrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{matrix} \right) \, $ dengan $ r \neq 0 \, $ dan $ p \neq 0 $ . Matriks $PQ \, $ tidak mempunyai invers apabila nilai $ p = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Matriks
*). Determinan matriks A disimbolkan |A|
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = a.d - b.c $
*). Sifat determinan : $ |AB| = |A|.|B| $
*). Matriks tidak mempunyai invers, syaratnya : determiannya = 0 .
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$ P = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) \rightarrow |P| = 2.3 - 4.(-1) = 6 + 4 = 10 $
$ Q = \left( \begin{matrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{matrix} \right) \rightarrow |Q| = 2r.(p+1) - r.1 = r(2p+1) $
Matriks PQ tidak punya invers, maka $ |PQ| = 0 $.
$\begin{align} PQ & = 0 \\ |PQ| & = 0 \\ |P|.|Q| & = 0 \\ 10. r(2p+1) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 10)} \\ r(2p+1) & = 0 \\ r = 0 \vee (2p+1) & = 0 \\ r = 0 \vee p & = -\frac{1}{2} \end{align}$
Karena $ r \neq 0 \, $ , maka yang memenuhi adalah $ p = -\frac{1}{2} $.
Jadi, nilai $ p = -\frac{1}{2}. \, \heartsuit $
Nomor 12
Jika $ \sin \theta = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \, $ dan $ \sin \theta = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \, $ , dengan $ a,b \neq 0 , \, $ maka $ a^2 + b^2 = .... $
$\clubsuit \, $ Identitas trigonometri : $ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 $
$\clubsuit \, $ Kuadratkan semua persamaan :
Persamaan pertama :
$\begin{align} \sin \theta & = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \\ (\sin \theta )^2 & = \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)^2 = \left( \frac{b - a}{ab} \right)^2 \\ \sin ^2 \theta & = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{a^2b^2} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} \cos \theta & = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \\ (\cos \theta )^2 & = \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)^2 = \left( \frac{b + a}{ab} \right)^2 \\ \cos ^2 \theta & = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{a^2b^2} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Jumlahkan kedua persamaan dan gunakan identitas trigonometri
$\begin{align} \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta & = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{a^2b^2} + \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{a^2b^2} \\ 1 & = \frac{2a^2 + 2b^2 }{a^2b^2} \\ 2(a^2 + b^2 ) & = a^2 b^2 \\ a^2 + b^2 & = \frac{a^2 b^2}{2} \end{align}$
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{a^2 b^2}{2} . \, \heartsuit $
Nomor 13
Dari 10 siswa terbaik, salah satunya Ayu, akan dipilih 3 siswa untuk mewakili sekolah. Peluang Ayu terpilih mewakili sekolah adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep peluang kejadian A [P(A)] :
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ n(A) = \, $ kejadian yang diharapkan,
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (ruang sampel).
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) \, $ dan $ n(S) $ ,
*). Ada 10 orang, akan dipilih 3 orang sebagai tim, artinya tidak memperhatikan urutan (ABC = BCA) sehingga menggukanan kombinasi.
$ n(S) = C_3^{10} = \frac{10!}{(10-3)!.3!} = \frac{10.9.8.7!}{7!.3.2.1} = 120 $
*). Harapannya : Ayu harus terpilih, artinya kita tinggal memilih dua orang saja dari 9 orang yang ada.
$ n(A) = C_2^{9} = \frac{9!}{(9-2)!.2!} = \frac{9.8.7!}{7!.2.1} = 36 $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya :
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S) } = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} \end{align} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{3}{10}. \, \heartsuit $
Nomor 14
Lima siswa pria dan tiga wanita akan duduk berdampingan dalam satu baris. Jika disyaratkan kedua ujung ditempati pria dan tidak boleh ada 2 wanita duduk berdampingan, maka banyak cara duduk 8 siswa tersebut adalah ....
$\clubsuit \, $ Susunan yang mungkin :
*). Kemungkinan pertama,
um_ugm_matdas_2015_4a.png
Cara I $ = (5.4).3!.3! = 720 $
*). Kemungkinan kedua,
um_ugm_matdas_2015_4b.png
Cara II $ = (5.4).3!.3! = 720 $
$\clubsuit \, $ Total susunan yang mungkin :
Total = cara I $ + $ cara II = $ 720 + 720 = 1440 $.
Jadi, banyak cara duduk 8 siswa adalah 1.440 cara. $ \, \heartsuit $

Keterangan gambar :
*). Pada kasus duduk, "URUTAN" duduk diperhatikan artinya AB $ \neq $ BA.
um_ugm_matdas_2015_4a.png
*). Dari gambar ini, kita tempatkan dua orang pria untuk mengisi ujung-ujung. Ujung sebelah kiri ada 5 pilihan pria dan ujung sebelah kanan ada 4 pilihan pria karena satu pria sudah duduk di ujung kiri, sehingga penempatan ujung-ujung ada $ 5. 4 \, $ cara .
*). Sisanya ada 3 pria (3P) dan 3 wanita (3W) untuk mengisi 6 tempat kosong ditengah dengan selang-seling yaitu PWPWPW, sehingga penempatannya kita pisah yaitu 3P sendiri dengan 3! cara dan 3W sendiri dengan 3! cara.
Total cara gambar I = $ 5.4.3!.3! $.

Untuk gambar kedua, penempatan 3P dan 3W ditengah dengan cara WPWPWP, dan penghitungannya sama dengan gambar I.
Nomor 15
Jika $ f(x) = \sqrt{x+1}, \, x \geq -1 \, $ dan $ g(x) = \frac{x+1}{x}, \, x \neq 0, \, $ maka $ (g \circ f)^{-1}(2) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Invers fungsi komposisi : $ (g \circ f)^{-1} (x) = (f^{-1} \circ g^{-1} )(x) $
*). Invers fungsi : $ f(x) = \frac{ax + b}{cx + d } \rightarrow f^{-1} = \frac{dx - b}{-cx + a } $
$\spadesuit \, $ Menentukan invers masing-masing fungsi :
*). invers fungsi $ g(x) $ :
$ \begin{align} g(x) & = \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x + 0 } \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{-1}{-x + 1 } \end{align} $
*). invers fungsi $ f(x) $ :
$ \begin{align} f(x) = \sqrt{x+1} \rightarrow y & = \sqrt{x+1} \\ x + 1 & = y^2 \\ x & = y^2 -1 \\ f^{-1} (x) & = x^2 - 1 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$ \begin{align} (g \circ f)^{-1}(x) & = (f^{-1} \circ g^{-1} )(x) \\ & = f^{-1} (g^{-1}(x)) \\ & = f^{-1} \left( \frac{-1}{-x + 1 } \right) \\ (g \circ f)^{-1}(x) & = \left( \frac{-1}{-x + 1 } \right)^2 - 1 \\ (g \circ f)^{-1}(2) & = \left( \frac{-1}{-2 + 1 } \right)^2 - 1 \\ & = \left( \frac{-1}{-1 } \right)^2 - 1 \\ & = 1 - 1 \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ (g \circ f)^{-1}(2) = 0 . \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2015 Nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diberikan dua persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} x^2 + ax + 1 = 0 \\ x^2 + x + a = 0 \end{array} \right. $
dengan $ a \neq 1. \, $ Agar dua persamaan tersebut mempunyai akar berserikat, maka nilai $ a \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Dua persamaan mempunyai akar berserikat artinya akar-akar masing-masing persamaan ada yang sama.
$\spadesuit \, $ Kedua akarnya ada yang sama sehingga bisa langsung kita eliminasi.
$ \begin{array}{cc} x^2 + ax + 1 = 0 & \\ x^2 + x + a = 0 & - \\ \hline (a-1)x - (a-1) = 0 & \end{array} $
Dari bentuk $ (a-1)x - (a-1) = 0 \, \, \, \, $ kita peroleh nilai $ x = 1 $.
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x = 1 \, $ ke salah satu persamaan
$\begin{align} x = 1 \rightarrow x^2 + ax + 1 & = 0 \\ 1^2 + a.1 + 1 & = 0 \\ a + 2 & = 0 \\ a & = -2 \end{align} $
Jadi, kita peroleh nilai $ a = -2 . \, \heartsuit $
Nomor 7
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} \leq 0 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akar
Jika ada bentuk $ \sqrt{f(x)} , \, $ maka harus terpenuhi syarat $ f(x) \geq 0 $.
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akarnya dari pertidaksamaan
*). Bentuk $ \sqrt{x+2} \, $ , syaratnya $ x + 2 \geq 0 \rightarrow x \geq -2 $.
*). Bentuk $ \sqrt{(x+2)^2} \, $ , syaratnya $ (x+2)^2 \geq 0 \rightarrow x \in R \, $ (terpenuhi untuk semua bilangan real).
Dari kedua syarat bentuk akar di atas, yang memenuhi keduanya adalah $ HP_1 = \{ x \geq -2 \} $.
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akar pertidaksamaan dari $ \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} \leq 0 $
Akar pembilangnya :
$\begin{align} (x^2-9)\sqrt{x+2} & = 0 \\ x^2 - 9 & = 0 \rightarrow x^2 = 9 \rightarrow x = \pm 3 \\ \sqrt{x+2} & = 0 \rightarrow x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 \end{align}$
Akar penyebutnya :
$\begin{align} x+\sqrt{(x+2)^2} & = 0 \\ x+ (x + 2) & = 0 \\ 2x & = -2 \\ x & = -1 \end{align}$
Garis bilangan dari semua akar-akarnya.
um_ugm_matdas_2015_2.png
Akar penyebutnya tidak boleh ikut (bulatannya tidak penuh).
Dari gari bilangan, solusinya adalah daerah yang diarsir (daerah negatif karena $ \leq 0 $).
$ HP_2 = \{ -3 \leq x \leq -2 \vee -1 < x \leq 3 \} $.
$\clubsuit \, $ Solusi akhirnya adalah irisan dari HP1 dan HP2
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x \geq -2 \} \cap \{ -3 \leq x \leq -2 \vee -1 < x \leq 3 \} \\ & = \{ -1 < x \leq 3 \} \end{align}$
Jadi, Himpunan penyelesaiannya : HP $ = \{ -1 < x \leq 3 \} . \, \heartsuit$

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=4 \Rightarrow \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} & \leq 0 \\ \frac{(4^2-9)\sqrt{4+2}}{x+\sqrt{(4+2)^2}} & \leq 0 \\ \frac{(7)\sqrt{6}}{4 + 6} & \leq 0 \\ \frac{7\sqrt{6}}{10} & \leq 0 \, \, \text{(salah)} \end{align}$
yang ada $x=4$ salah, opsi yang salah adalah B, C dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-1 \Rightarrow \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} & \leq 0 \\ \frac{((-1)^2-9)\sqrt{(-1)+2}}{(-1)+\sqrt{(-1+2)^2}} & \leq 0 \\ \frac{(-8)\sqrt{1}}{-1+\sqrt{(1)^2}} & \leq 0 \\ \frac{(-8)\sqrt{1}}{-1+1} & \leq 0 \\ \frac{(-8)\sqrt{1}}{0} & \leq 0 \, \, \text{(salah)} \end{align}$
yang ada $x=-1$ salah, opsi yang salah adalah D.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi A.
Jadi, Himpunan penyelesaiannya : HP $ = \{ -1 < x \leq 3 \} . \, \heartsuit$
Nomor 8
Jika daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $ x+y \geq 4, \, $ $ ax - y \leq 0 , \, $ $ -x + 5y \leq 20, \, y \geq 0 \, $ berbentuk bidang segitiga siku-siku dengan siku-siku pada titik potong garis $ x + y = 4 \, $ dan $ ax - y = 0 \, $, maka maksimum $ f = 3x + 2y \, $ dengan kendala sistem pertidaksamaan di atas adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Dua garis tegak lurus, maka $ m_1.m_2 = -1 $.
*). Gradien garis $ ax + by = c \, $ adalah $ m = \frac{-a}{b} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
Garis I : $ x + y = 4 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{1} = -1 $
Garis II : $ ax - y = 0 \rightarrow m_2 = \frac{-a}{-1} = a $
Kedua garis tegak lurus sehingga :
$\begin{align} m_1 . m_2 & = -1 \rightarrow (-1).a = -1 \rightarrow a = 1 \end{align} $
Sehingga fungsi kendala/batasannya menjadi dan titik potong sumbu X dan Y :
Garis I : $ x + y \geq 4 \rightarrow (0,4), \, (4,0) $
Garis II : $ ax - y \leq 0 \rightarrow x - y \leq 0 \rightarrow (0,0), \, (1,1) $
Garis III : $ -x + 5y \leq 20 \rightarrow (0,4), \, (-20,0) $
dan $ y \geq 0 $.
Gambar daerah penyelesaiannya (DHP) :
um_ugm_matdas_2015_3.png
$\spadesuit \, $ Menentukan titik-titik pojoknya (titik A, B, dan C)
*). Titik A , eliminasi pers(I) dan pers(II)
$ \begin{array}{cc} x + y = 4 & \\ x - y = 0 & + \\ \hline x = 2, \, y = 2 \end{array} $
Sehingga titik A(2,2).
*). Titik B , eliminasi pers(II) dan pers(III)
$ \begin{array}{cc} x - y = 0 & \\ -x + 5y = 20 & + \\ \hline x = 5, \, y = 5 \end{array} $
Sehingga titik B(5,5).
Dan titik C(0,4).
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya : $ f(x,y) = 3x + 2y $
$\begin{align} A(2,2) \rightarrow f & = 3.2 + 2.2 = 10 \\ B(5,5) \rightarrow f & = 3.5 + 2.5 = 25 \\ C(0,4) \rightarrow f & = 3.0 + 2.4 = 8 \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 25. $ \, \heartsuit $
Nomor 9
Pada sebuah deret geometri diketahui suku ke-6 adalah 162 dan jumlah logaritma dari suku ke-2, ke-3, ke-4, dan ke-5 sama dengan $ 4 \, \log 2 + 6 \, \log 3 . \, $ Jika suku awal positif, suku ke-4 deret tersebut adalah .....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
*). Sifat log : $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b \, $ dan $ \, {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan
*). Persamaan pertama :
$\begin{align} u_6 = 162 \rightarrow ar^5 & = 162 \\ a & = \frac{162}{r^5} \\ a & = \frac{2 . 3^4}{r^5} \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
*). Persamaan kedua :
jumlah logaritma dari suku ke-2, ke-3, ke-4, dan ke-5 sama dengan $ 4 \, \log 2 + 6 \, \log 3 . \, $
$\begin{align} \log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 & = 4 \log 2 + 6 \log 3 \\ \log ar + \log ar^2 + \log ar^3 + \log ar^4 & = \log 2^4 + \log 3^6 \\ \log (ar . ar^2 . ar^3 . ar^4 ) & = \log (2^4 . 3^6 ) \\ \log a^4r^{10} & = \log (2^4 . 3^6 ) \\ a^4r^{10} & = 2^4 . 3^6 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} a^4r^{10} & = 2^4 . 3^6 \\ \left( \frac{2 . 3^4}{r^5} \right)^4r^{10} & = 2^4 . 3^6 \\ \left( \frac{2^4 . 3^{16}}{r^{20}} \right) r^{10} & = 2^4 . 3^6 \\ \left( \frac{ 3^{10}}{r^{10}} \right) & = 1 \\ r^{10} & = 3^{10} \\ r & = 3 \end{align}$
Pers(i) : $ a = \frac{2 . 3^4}{r^5} = \frac{2 . 3^4}{3^5} = \frac{2 }{3} $
$\clubsuit \, $ Menentukan suku ke-4
$\begin{align} u_4 & = ar^3 \\ & = \frac{2}{3} . 3^3 \\ & = 2 . 9 = 18 \end{align}$
Jadi, nilai suku ke-4 nya adalah 18. $ \, \heartsuit $
Nomor 10
Dalam suatu barisan artimatika, perbandingan jumlah 5 suku pertama dan jumlah 10 suku pertama adalah 2 : 3. Jika $ U_n \, $ menyatakan suku ke-$n$ , maka nilai $ \log \left( \frac{U_5}{U_{10}} - 4 \frac{U_{10}}{U_5} \right) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Barisan aritmetika :
$ u_n = a + (n-1)b \, $ dan $ s_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log \frac{b}{c} = \log b - \log c $
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $ a \, $ dan $ b $
$\begin{align} \frac{\text{jumlah 5 suku pertama}}{\text{jumlah 10 suku pertama}} & = \frac{2}{3} \\ \frac{ s_5 }{ s_{10} } & = \frac{2}{3} \\ \frac{ \frac{5}{2} (2a + 4b) }{ \frac{10}{2} (2a + 9b) } & = \frac{2}{3} \\ \frac{ (2a + 4b) }{ 2(2a + 9b) } & = \frac{2}{3} \\ 3(2a + 4b) & = 2. 2(2a + 9b) \\ 6a + 12b & = 8a + 36b \\ -2a & = 24b \\ a & = -12b \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi bentuk $ a = -12b \, $ ke pertanyaan
$\begin{align} \log \left( \frac{U_5}{U_{10}} - 4 \frac{U_{10}}{U_5} \right) & = \log \left( \frac{a + 4b}{a + 9b} - 4 . \frac{a + 9b}{a + 4b} \right) \\ & = \log \left( \frac{-12b + 4b}{-12b + 9b} - 4 . \frac{-12b + 9b}{-12b + 4b} \right) \\ & = \log \left( \frac{-8b}{-3b} - 4 . \frac{-3b}{-8b} \right) \\ & = \log \left( \frac{8}{3} - 4 . \frac{3}{8} \right) \\ & = \log \left( \frac{8}{3} - \frac{3}{2} \right) \\ & = \log \left( \frac{16-9}{6} \right) \\ & = \log \left( \frac{7}{6} \right) \\ & = \log 7 - \log 6 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ \log \left( \frac{U_5}{U_{10}} - 4 \frac{U_{10}}{U_5} \right) = \log 7 - \log 6 . \, \heartsuit $ 
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2015


Nomor 1
Jika $ x = \left( p^{-\frac{1}{2}} - q^{-\frac{1}{2}} \right) \left( p^{-1} + q^{-1} + 2(pq)^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} \, $ dan $ \, y = \left( p+q \right)^{-2} \left( p^{-1} - q^{-1} \right) \, $ dengan $ p,q > 0 , p \neq q , \, $ maka $ \frac{x}{y} = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Bentuk Pemfaktoran
$ a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2 $
$ (a^n-b^n)(a^n + b^n ) = (a^{n})^2 - (b^{n})^2 $
Sehingga bentuk :
$\begin{align} p^{-1} + q^{-1} + 2(pq)^{-\frac{1}{2}} & = \left( p^{-\frac{1}{2}} \right)^2 + \left( q^{-\frac{1}{2}} \right)^2 + 2\left( p^{-\frac{1}{2}} .q^{-\frac{1}{2}} \right) \\ & = \left( p^{-\frac{1}{2}} + q^{-\frac{1}{2}} \right)^2 \end{align}$
*). Sifat Eksponen : $ \, a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan bentuk $ x $
$\begin{align} x & = \left( p^{-\frac{1}{2}} - q^{-\frac{1}{2}} \right) \left( p^{-1} + q^{-1} + 2(pq)^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} \\ & = \left( p^{-\frac{1}{2}} - q^{-\frac{1}{2}} \right) \left( \left( p^{-\frac{1}{2}} + q^{-\frac{1}{2}} \right)^2 \right)^{\frac{1}{2}} \\ & = \left( p^{-\frac{1}{2}} - q^{-\frac{1}{2}} \right) \left( p^{-\frac{1}{2}} + q^{-\frac{1}{2}} \right) \\ & = \left( p^{-\frac{1}{2}} \right)^2 - \left( q^{-\frac{1}{2}} \right)^2 \\ & = p^{-1} - q^{-1} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan bentuk $ \frac{x}{y} $
$\begin{align} \frac{x}{y} & = \frac{ \left( p^{-1} - q^{-1} \right) }{ \left( p+q \right)^{-2} \left( p^{-1} - q^{-1} \right) } \\ & = \frac{ 1 }{ \left( p+q \right)^{-2} } \\ & = (p+q)^2 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ \frac{x}{y} = (p+q)^2 . \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ \sqrt[3]{4.2^{3-x}} = 2^{y-3} \, $ dan $ \, {}^3 \log (2x +y) = -\frac{5}{2} {}^9 \log \left( \frac{1}{4} \right) . {}^{32} \log 64 $ , maka nilai $ x^2 - y + 1 = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Eksponen dan Logaritma
*). Eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} , \, \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} $
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $.
*). Logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b , \, \, {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan Persamaan
Persamaan Pertama :
$\begin{align} \sqrt[3]{4.2^{3-x}} & = 2^{y-3} \\ (2^2.2^{3-x})^\frac{1}{3} & = 2^{y-3} \\ 2^\frac{5-x}{3} & = 2^{y-3} \\ \not{2}^\frac{5-x}{3} & = \not{2}^{y-3} \\ \frac{5-x}{3} & = {y-3} \\ 5 - x & = 3y - 9 \\ x + 3y & = 14 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Persamaan Kedua :
$\begin{align} {}^3 \log (2x +y) & = -\frac{5}{2} . {}^9 \log \left( \frac{1}{4} \right) . {}^{32} \log 64 \\ {}^3 \log (2x +y) & = -\frac{5}{2} . {}^{3^2} \log 2^{-2} . {}^{2^5} \log 2^6 \\ {}^3 \log (2x +y) & = -\frac{5}{2} . \frac{-2}{2} . \frac{6}{5} . {}^{3 } \log 2 . {}^{2 } \log 2 \\ {}^3 \log (2x +y) & = 3 . {}^{3 } \log 2 . 1 \\ {}^3 \log (2x +y) & = 3 . {}^{3 } \log 2 \\ {}^3 \log (2x +y) & = {}^{3 } \log 2^3 \, \, \, \, \, \, \text{(coret log nya)} \\ (2x +y) & = 2^3 \\ 2x +y & = 8 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} x + 3y = 14 & \text{ kali 2 } & 2x + 6y = 28 & \\ 2x +y = 8 & \text{ kali 1 } & 2x +y = 8 & - \\ \hline & & 5y = 20 & \\ & & y = 4 & \end{array}$
Pers(i) : $ x + 3y = 14 \rightarrow x + 3.4 = 14 \rightarrow x = 2 $
Sehingga nilai $ x^2 - y + 1 = 2^2 - 4 + 1 = 1 $
Jadi, nilai $ x^2 - y + 1 = 1. \, \heartsuit $
Nomor 3
Jika persamaan kuadrat $ 3x^2 + x - 3 = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ \alpha \, $ dan $ \beta $, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ 2 + \frac{1}{\alpha + 1} \, $ dan $ 2 + \frac{1}{\beta + 1} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar pada persamaan kuadrat (PK),
*). Menyusun Persamaan Kuadrat Baru (PKB)
Rumus dasar menyusun PKB : $ x^2 - (HJ)x + (HK) = 0 $
Dengan HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali.
*). PK : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akarnya : $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\clubsuit \, $ PK : $ 3x^2 + x - 3 = 0 \, $ akar-akarnya $ \alpha \, $ dan $ \beta $
Operasi akar-akarnya :
$ \alpha + \beta = \frac{-1}{3} \, $ dan $ \alpha . \beta = \frac{-3}{3} = -1 $
$\clubsuit \, $ Menghitung beberapa operasi,
$\begin{align} (\alpha + 1)(\beta + 1) & = \alpha . \beta + (\alpha + \beta ) + 1 \\ & = -1 + \frac{-1}{3} + 1 = \frac{-1}{3} \\ (\alpha + 1) + (\beta + 1) & = (\alpha + \beta ) + 2 \\ & = \frac{-1}{3} + 2 = \frac{5}{3} \\ \frac{1}{\alpha + 1} + \frac{1}{\beta + 1} & = \frac{(\alpha + 1) + (\beta + 1)}{(\alpha + 1)(\beta + 1)} \\ & = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{-1}{3}} = -5 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai HJ dan HK dengan akar-akar $ 2 + \frac{1}{\alpha + 1} \, $ dan $ 2 + \frac{1}{\beta + 1} $
$\begin{align} HJ & = \left( 2 + \frac{1}{\alpha + 1} \right) + \left( 2 + \frac{1}{\beta + 1} \right) \\ & = 4 + \left( \frac{1}{\alpha + 1} + \frac{1}{\beta + 1} \right) \\ & = 4 + (-5) \\ & = -1 \\ HK & = \left( 2 + \frac{1}{\alpha + 1} \right) \left( 2 + \frac{1}{\beta + 1} \right) \\ & = 4 + \left( \frac{2}{\alpha + 1} + \frac{2}{\beta + 1} \right) + \left( \frac{1}{\alpha + 1} . \frac{1}{\beta + 1} \right) \\ & = 4 + 2 \left( \frac{1}{\alpha + 1} + \frac{1}{\beta + 1} \right) + \frac{1}{(\alpha + 1)(\beta + 1)} \\ & = 4 + 2 \left( -5 \right) + \frac{1}{\frac{-1}{3}} \\ & = 4 + (-10) + (-3) \\ & = -9 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan kuadratnya dengan HJ = $ -1 $ dan HK = $ -9 $
$\begin{align} x^2 - (HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 - (-1)x + (-9) & = 0 \\ x^2 + x - 9 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah $ x^2 + x - 9 = 0 . \, \heartsuit $
Nomor 4
Parabola $ y = ax^2 + bx + c , \, a > 0 \, $ memotong sumbu X pada $ x = p \, $ dan $ x = 2p, \, p \neq 0 . \, $ Nilai $ c - b > 0 \, $ terpenuhi apabila ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar pada fungsi kuadrat (FK)
Menyusun fungsi kuadrat (fk) yang diketahui memotong sumbu X di $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ adalah $ y = a(x-x_1)(x-x_2) $
$\spadesuit \, $ FK : $ y = ax^2 + bx + c \, $ dengan $ x_1 = p \, $ dan $ x_2 = 2p $
Menyusun FK nya :
$\begin{align} y & = a(x-x_1)(x-x_2) \\ y & = a(x-p)(x-2p) \\ & = a(x^2 -3px + 2p^2) \\ & = ax^2 -3pax + 2p^2a \end{align}$
Bentuk $ y = ax^2 -3pax + 2p^2a \, $ sama dengan bentuk $ y = ax^2 + bx + c $
Sehingga $ b = -3ap \, $ dan $ c = 2p^2 a $
$\spadesuit \, $ Menentukan interval $ p \, $ dengan $ b = -3ap \, $ dan $ c = 2p^2 a $
$\begin{align} c - b & > 0 \\ 2p^2 a - (-3ap) & > 0 \\ 2p^2 a + 3ap & > 0 \\ ap(2p + 3) & > 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi } a) \\ p(2p + 3) & > 0 \\ p = 0 \vee p & = -\frac{3}{2} \end{align}$
gambar garis bilangannya :
um_ugm_matdas_2015_1baru.png
Karena yang diminta lebih besar dari nol ($ > 0$) maka intervalnya adalah yang positif yaitu interval $ x < -\frac{3}{2} \vee x > 0 . $
Jadi, interval nilai $ p \, $ adalah $ x < -\frac{3}{2} \vee x > 0 . \, \heartsuit $
Nomor 5
Jika $ \{ (x,y,z)\} \, $ adalah himpunan penyelesaian sistem persamaan
      $ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 2y = 6 \\ x - 3z = -8 \\ x + 5y = 11 \end{array} \right. $
maka nilai $ x + y + z = ... . $
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
pers(i) : $ 2x + 2y = 6 \rightarrow x + y = 3 $
$\begin{array}{cc} x + y = 3 & \\ x + 5y = 11 & - \\ \hline -4y = - 8 & \\ y = 2 & \end{array}$
Pers(i) : $ x + y = 3 \rightarrow x + 2 = 3 \rightarrow x = 1 $
Pers(ii) : $ x - 3z = -8 \rightarrow 1 - 3z = -8 \rightarrow z = 3 $
Sehingga nilai $ x + y + z = 1 + 2 + 3 = 6 $.
Jadi, nilai $ x + y + z = 6. \, \heartsuit$ 
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar tahun 2015 Nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 16 sampai nomor 20.

16. Misalkan $ g(x) = 4 - x^2 \, $ dan $ f(g(x)) = \frac{2-x^2}{4x^2} , \, x \neq 0 \, $ maka ....
(1). $ f(\frac{1}{4}) . f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{80} $
(2). $ f(\frac{1}{4}) + f(\frac{1}{2}) = \frac{-47}{210} $
(3). $ f(\frac{1}{4}) - f(\frac{1}{2}) = \frac{-1}{105} $
(4). $ \frac{f(\frac{1}{2})}{f(\frac{1}{4})} = \frac{45}{49} $
Cara I : Kita tidak perlu mencari fungsi $ f(x) $ dulu.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai masing-masing dengan $ g(x) = 4 - x^2 $
*). Untuk $ g(x) = \frac{1}{2} $
$ \begin{align} g(x) & = \frac{1}{2} \\ 4 - x^2 & = \frac{1}{2} \\ x^2 & = 4 - \frac{1}{2} \\ x^2 & = \frac{7}{2} \end{align} $
Bentuk komposisinya : substitusi $ g(x) = \frac{1}{2} \, $ dan $ x^2 = \frac{7}{2} $
$ \begin{align} f(g(x)) & = \frac{2-x^2}{4x^2} \\ f( \frac{1}{2} ) & = \frac{2- \frac{7}{2} }{4 \frac{7}{2} } \\ f( \frac{1}{2} ) & = \frac{- \frac{3}{2} }{ \frac{28}{2} } \\ f( \frac{1}{2} ) & = - \frac{3}{28} \end{align} $
*). Untuk $ g(x) = \frac{1}{4} $
$ \begin{align} g(x) & = \frac{1}{4} \\ 4 - x^2 & = \frac{1}{4} \\ x^2 & = 4 - \frac{1}{4} \\ x^2 & = \frac{15}{4} \end{align} $
Bentuk komposisinya : substitusi $ g(x) = \frac{1}{4} \, $ dan $ x^2 = \frac{15}{4} $
$ \begin{align} f(g(x)) & = \frac{2-x^2}{4x^2} \\ f( \frac{1}{4} ) & = \frac{2- \frac{15}{4} }{4 \frac{15}{4} } \\ f( \frac{1}{4} ) & = \frac{- \frac{7}{4} }{ \frac{60}{4} } \\ f( \frac{1}{4} ) & = - \frac{7}{60} \end{align} $
$\spadesuit \, $ Cek masing-masing pernyataan :
(1). $ f(\frac{1}{4}) . f(\frac{1}{2}) = - \frac{7}{60} . - \frac{3}{28} = \frac{1}{80} $
(2). $ f(\frac{1}{4}) + f(\frac{1}{2}) = - \frac{7}{60} + (- \frac{3}{28} ) = - \frac{47}{210} $
(3). $ f(\frac{1}{4}) - f(\frac{1}{2}) = - \frac{7}{60} - (- \frac{3}{28} ) = - \frac{1}{105} $
(4). $ \frac{f(\frac{1}{2})}{f(\frac{1}{4})} = \frac{- \frac{3}{28}}{- \frac{7}{60}} = \frac{45}{49} $
Jadi, semua pernyataan benar, sehingga jawabannya E. $ \heartsuit$

Cara II: Menentukan fungsi $ f(x) $ terlebih dahulu.
$\spadesuit \, $ Misalkan $ y = 4 - x^2 \rightarrow x^2 = 4 - y $
$\spadesuit \, $ Substitusi permisalan di atas ke fungsi komposisinya
$ \begin{align} f(g(x) ) & = \frac{2-x^2}{4x^2} \\ f(4 - x^2 ) & = \frac{2-x^2}{4x^2} \\ f(y ) & = \frac{2-(4-y)}{4(4 - y} \\ f(y ) & = \frac{ y - 2}{ 16 - 4y} \end{align} $
Sehingga fungsi $ f(x) = \frac{ x - 2}{ 16 - 4x} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ f(\frac{1}{2}) \, $ dan $ f(\frac{1}{4}) $
$ \begin{align} f(x ) & = \frac{ x - 2}{ 16 - 4x} \\ f( \frac{1}{2} ) & = \frac{ \frac{1}{2} - 2}{ 16 - 4.\frac{1}{2}} \\ & = \frac{ -\frac{3}{2} }{ 16 - 2} \\ & = \frac{ -\frac{3}{2} }{ 14} \\ & = -\frac{3}{28} \\ f( \frac{1}{4} ) & = \frac{ \frac{1}{4} - 2}{ 16 - 4.\frac{1}{4}} \\ & = \frac{ -\frac{7}{4} }{ 16 - 1} \\ & = \frac{ -\frac{7}{4} }{ 15} \\ & = -\frac{7}{60} \end{align} $
Langkah selanjutnya sama dengan cara I.
Nomor 17
Misalkan $ f(x) = 2x , \, 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \, $ dan $ f(x) = 2 - 2x , \, \frac{1}{2} < x \leq 1 . \, $ $ f^{(2)} (x) = f(f(x)) \, $ dan $ f^{(n+1)} (x) = f^{(n)} (f(x)) \, $ maka pernyataan berikut yang BENAR ....
(1). $ f^{(n)} (0) = 0 $
(2). $ f^{(n)} (1) = 0 , \, n > 1 $
(3). $ f^{(n)} (\frac{1}{2}) = 0 , \, n > 2 $
(4). $ f^{(n)} (\frac{1}{4}) = 0 , \, n > 3 $
$\clubsuit \,$ Fungsi $ f(x) \, $ dibagi dua berdasarkan nilai $ x $.
i). Untuk $ 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \, $, maka fungsi $ f(x) = 2x $
ii). Untuk $ \frac{1}{2} < x \leq 1 \, $, maka fungsi $ f(x) = 2 - 2x $
Sehingga nilai untuk beberapa $ x \, $ yaitu :
untuk $ x = 1 \rightarrow f(x) = 2-2x \rightarrow f(1) = 2 - 2.1 = 2- 2 = 0 $
untuk $ x = 0 \rightarrow f(x) = 2x \rightarrow f(0) = 2 .0 = 0 $
untuk $ x = \frac{1}{2} \rightarrow f(x) = 2x \rightarrow f(\frac{1}{2}) = 2 .\frac{1}{2} = 1 $
untuk $ x = \frac{1}{4} \rightarrow f(x) = 2x \rightarrow f(\frac{1}{4}) = 2 .\frac{1}{4} = \frac{1}{2} $
$\clubsuit \,$ Menentukan hasil dari $ f^{(n)} (0) = ... $
$\begin{align} f(0) & = 2.0 = 0 \\ f^{(2)} (0) & = f(f(0)) = f(0) = 0 \\ f^{(3)} (0) & = f(f^{(2)}(0)) = f(0) = 0 \end{align}$
Artinya $ f^{(n)} (0) = 0 , \, $ sehingga pernyataan (1) benar.
$\clubsuit \,$ Menentukan hasil dari $ f^{(n)} (1) = ... $
$\begin{align} f(1) & = 2 - 2.1 = 0 \\ f^{(2)} (1) & = f(f(1)) = f(0) = 0 \\ f^{(3)} (1) & = f(f^{(2)}(1)) = f(0) = 0 \end{align}$
Artinya $ f^{(n)} (1) = 0 , \, $ sehingga pernyataan (2) benar untuk $ n > 1 $.
$\clubsuit \,$ Menentukan hasil dari $ f^{(n)} (\frac{1}{2}) = ... $
$\begin{align} f(\frac{1}{2}) & = 2.\frac{1}{2} = 1 \\ f^{(2)} (\frac{1}{2}) & = f(f(1)) = f(0) = 0 \\ f^{(3)} (\frac{1}{2}) & = f(f^{(2)}(\frac{1}{2})) = f(0) = 0 \end{align}$
Artinya $ f^{(n)} (\frac{1}{2}) = 0 , \, $ sehingga pernyataan (3) benar untuk $ n > 2 $.
$\clubsuit \,$ Menentukan hasil dari $ f^{(n)} (\frac{1}{4}) = ... $
$\begin{align} f(\frac{1}{4}) & = 2.\frac{1}{4} = \frac{1}{2} \\ f^{(2)} (\frac{1}{4}) & = f(f(\frac{1}{4})) = f(\frac{1}{2}) = 1 \\ f^{(3)} (\frac{1}{4}) & = f(f^{(2)}(\frac{1}{4})) = f(1) = 0 \\ f^{(4)} (\frac{1}{4}) & = f(f^{(3)}(\frac{1}{4})) = f(0) = 0 \\ \end{align}$
Artinya $ f^{(n)} (\frac{1}{4}) = 0 , \, $ sehingga pernyataan (4) benar untuk $ n > 3 $.
Jadi, semua pernyataan benar sehingga jawabannga E. $\heartsuit $
Nomor 18
Misalkan turunan kedua dari $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx \, $ di titik (1,2) adalah 0 dan garis singgung di titik (1,2) tegak lurus dengan garis $ 2y-x = 3, \, $ maka pernyataan berikut yang BENAR adalah ....
(1). nilai dari $ 2a^2 + 3b + c = 6 $
(2). $ f(x) \, $ naik pada interval $ \left( 1 - \frac{\sqrt{6}}{6} , 1 + \frac{\sqrt{6}}{6} \right) $
(3). Jumlah semua nilai $ a, \, b \, $ dan $ c \, $ adalah 2.
(4). $ f(x) \, $ turun pada interval $ x < 1 - \frac{\sqrt{6}}{6} \, $ atau $ x > 1 + \frac{\sqrt{6}}{6} $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar gradien garis singgung
Gradien garis singgung di titi ($x_1,y_1$) pada fungsi $ f(x) \, $ adalah $ m = f^\prime (x_1) $
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan fungsi $ f(x) $
$\begin{align} f(x) & = ax^3 + bx^2 + cx \\ f^\prime (x) & = 3ax^2 + 2bx + c \\ f^{\prime \prime} (x) & = 6ax + 2b \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (1,2) pada fungsi $ f(x) $
$\begin{align} (x,y) = (1,2) \rightarrow f(x) & = ax^3 + bx^2 + cx \\ 2 & = a.1^3 + b.1^2 + c.1 \\ a + b + c & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Turunan kedua di titik (1,2) adalah 0, artinya substitusi $ x =1 \, $ dan hasilnya 0 ($ f^{\prime \prime} (1) = 0 $)
$\begin{align} f^{\prime \prime} (x) & = 6ax + 2b \\ f^{\prime \prime} (1) & = 0 \\ 6a.1 + 2b & = 0 \\ 3a + b & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Gradien garis $ 2y - x = 3 \rightarrow m_1 = \frac{-x}{y} = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2} $
$\spadesuit \, $ garis singgung tegak lurus dengan garis $ 2y - x = 3 $
$\begin{align} m.m_1 & = -1 \rightarrow m. \frac{1}{2} = -1 \rightarrow m = -2 \end{align}$
Artinya gradien garis singgungnya adalah $ m = - 2 $.
$\spadesuit \, $ Gradien garis singgung di titik (1,2) adalah $ m = f^\prime (1) $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 3ax^2 + 2bx + c \\ m & = f^\prime (1) \\ -2 & = 3a.1^2 + 2b.1 + c \\ 3a + 2b + c & = -2 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(iii)
$\begin{array}{cc} 3a + 2b + c = -2 & \\ a + b + c = 2 & - \\ \hline 2a + b = -4 & \end{array}$
kita peroleh pers(iv) : $ 2a + b = -4 $
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(ii) dan pers(iv)
$\begin{array}{cc} 2a + b = -4 & \\ 3a + b = 0 & - \\ \hline a = 4 & \end{array}$
Dari pers(ii) : $ 3a + b = 0 \rightarrow 3.4 + b = 0 \rightarrow b = -12 $
Dari pers(i) : $ a + b + c = 2 \rightarrow 4 + (-12) + c = 2 \rightarrow c = 10 $
$\spadesuit \, $ Cek semua pernyataan dengan nilai $ a = 4, \, b = -12, \, c = 10 $
*). Pernyataan (1)
$ 2a^2 + 3b + c = 2.4^2 + 3(-12) + 10 = 6 \, $ (benar)
*). Pernyataan (3)
$ a + b + c = 2 \, $ (benar)
$\spadesuit \, $ Fungsi Naik dan fungsi turun
Syarat fungsi naik : $ f^\prime (x) > 0 \, $ dengan $ f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx + c $
$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 3ax^2 + 2bx + c & > 0 \\ 3.4.x^2 + 2.(-12).x + 10 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 6x^2 -12x + 5 & > 0 \\ 6x^2 -12x + 5 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(Rumus ABC)} \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4.6.5}}{2.6} \\ x & = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{12} \\ x & = \frac{12 }{12} \pm \frac{ 2\sqrt{6}}{12} \\ x & = 1 \pm \frac{ \sqrt{6}}{6} \end{align}$
garis bilangannya dengan akar-akar : $ x = 1 - \frac{ \sqrt{6}}{6} \, $ atau $ x = 1 + \frac{ \sqrt{6}}{6} $
simak_ui_matdas_kd1_2_2015.png
*). Fungsi naik saat $ f^\prime (x) > 0 \, $ (daerah positif),
Sehingga fungsi naik pada interval $ 1 - \frac{ \sqrt{6}}{6} < x < 1 + \frac{ \sqrt{6}}{6} $.
Artinya pernyataan (2) benar.
*). Fungsi turun saat $ f^\prime (x) < 0 \, $ (daerah negatif),
Sehingga fungsi turun pada interval $ x < 1 - \frac{ \sqrt{6}}{6} \vee x > 1 + \frac{ \sqrt{6}}{6} $.
Artinya pernyataan (4) benar.
Jadi, semua pernyataan benar sehingga jawabannga E. $\heartsuit $
Nomor 19
Misalkan $ x, \, y \, $ dan $ \, z \, $ memenuhi sistem persamaan berikut :
$ \begin{align} \frac{2}{x} - \frac{1}{y} + \frac{1}{z} & = 0 \\ \frac{1}{x} - \frac{3}{y} + \frac{1}{z} & = 0 \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{z} & = 0 \end{align} $
Pernyataan berikut yang BENAR adalah ....
(1). Selisih nilai $ x $ dan $ y $ adalah $ \frac{1}{6} $
(2). Jumlah nilai-nilai $ x, \, y \, $ dan $ z $ adalah 1.
(3). $ \left| \begin{matrix} x & y & z \\ -x & y & z \\ -x & -y & z \end{matrix} \right| = \frac{2}{15} $
(4). $ \log _x y . \log _y z = \log _3 5 $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar determinan dan logaritma
*). Determinan matriks $ 3 \times 3 $.
simak_ui_matdas_kd1_3_2015.png
*). Sifat logaritma :
i). Penulisan : $ \log _a b = {}^a \log b $.
ii). $ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $.
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(iii)
$ \begin{array}{cc} \frac{2}{x} - \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 & \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{z} = 0 & + \\ \hline \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 9 & \end{array} $
Kita peroleh pers(iv) : $ \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 9 $
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(ii) dan pers(iii)
$ \begin{array}{cc} \frac{1}{x} - \frac{3}{y} + \frac{1}{z} = 0 & \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{z} = 0 & + \\ \hline \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = 1 & \end{array} $
Kita peroleh pers(v) : $ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = 1 $
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(iv) dan pers(v)
$ \begin{array}{cc} \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 9 & \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = 1 & + \\ \hline \frac{5}{x} = 10 & \\ x = \frac{1}{2} & \end{array} $
Dari pers(v) : $ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = 1 \rightarrow \frac{2}{\frac{1}{2} } - \frac{1}{y} = 1 \rightarrow y = \frac{1}{3} $.
Dari pers(i) : $ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \rightarrow \frac{2}{\frac{1}{2}} - \frac{1}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{z} = 0 \rightarrow z = \frac{1}{5} $.
$\clubsuit \, $ Cek kebenaran setiap pernyataan
*). Pernyataan (1),
$ x - y = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \, $ (benar)
*). Pernyataan (2),
$ x + y + z = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{31}{30} \, $ (salah)
*). Pernyataan (3),
$\begin{align} \left| \begin{matrix} x & y & z \\ -x & y & z \\ -x & -y & z \end{matrix} \right| & = (xyz - xyz + xyz) - (-xyz - xyz - xyz) \\ & = 4xyz \\ & = 4. \frac{1}{2} . \frac{1}{3} . \frac{1}{5} \\ & = \frac{2}{15} \end{align} $
sehingga pernyataan (3) benar.
*). Pernyataan (4),
$\begin{align} \log _x y . \log _y z & = {}^x \log y . {}^y \log z \\ & = {}^x \log z \\ & = {}^\frac{1}{2} \log \frac{1}{5} \\ & = {}^{2^{-1}} \log 5^{-1} \\ & = \frac{-1}{-1} . {}^2 \log 5 \\ & = {}^2 \log 5 \\ & = \log _2 5 \end{align} $
sehingga pernyataan (4) salah.
Jadi, jawabannya B karena yang benar adalah pernyataan (1) dan (3). $ \heartsuit$
Nomor 20
Jika $ a, b > 0 \, $ , maka pertidaksamaan berikut yang BENAR adalah ....
(1). $ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 $
(2). $ 2(a^2 + b^2 ) \geq (a+b)^2 $
(3). $ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} $
(4). $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Setiap sebarang bilangan dikuadratkan hasilnya positif
$ x^2 \geq 0 \, $ ....pert(i)
*). Rataan Aritmetika dan Geometri :
$ x + y \geq 2\sqrt{xy} \, $ ....pert(ii)
$\spadesuit \, $ Cek setiap pernyataan
*). Pernyataan (1) :
Misalkan $ x = \frac{a}{b} \, $ dan $ y = \frac{b}{a} $
Dari pert(ii) :
$\begin{align} x + y & \geq 2\sqrt{xy} \\ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} & \geq 2\sqrt{\frac{a}{b}. \frac{b}{a}} \\ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} & \geq 2\sqrt{1} \\ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} & \geq 2 \end{align} $
sehingga pernyataan (1) benar.
*). Pernyataan (2) :
$\begin{align} 2(a^2 + b^2 ) & \geq (a+b)^2 \\ 2a^2 + 2b^2 & \geq a^2 + b^2 + 2ab \\ a^2 + b^2 - 2ab & \geq 0 \\ (a-b)^2 & \geq 0 \end{align} $
Bentuk $ (a-b)^2 \geq 0 \, $ benar berdasarkan pert(i).
sehingga pernyataan (2) benar.
*). Pernyataan (3) :
$\begin{align} \frac{a+b}{2} & \geq \sqrt{ab} \\ a+b & \geq 2\sqrt{ab} \end{align} $
benar berdasarkan pert(ii).
sehingga pernyataan (3) benar.
*). Pernyataan (4) :
$\begin{align} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} & \geq \frac{4}{a+b} \\ \frac{a+b}{ab} & \geq \frac{4}{a+b} \\ (a+b)^2 & \geq 4ab \\ a^2 + b^2 + 2ab & \geq 4ab \\ a^2 + b^2 - 2ab & \geq 0 \\ (a-b)^2 & \geq 0 \end{align} $
benar berdasarkan pert(i).
sehingga pernyataan (4) benar.
Jadi, semua pernyataan benar sehingga jawabannga E. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20