Pembahasan Turunan Maksimum Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 3^x + 5^y = 18 $, maka nilai maksimum $ 3^x.5^y $ adalah ....
A). $ 72 \, $ B). $ 80 \, $ C). $ 81 \, $ D). $ 86 \, $ E). $ 88 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). FUngsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum untuk $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
(turunan pertamanya = 0 )

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ a = 3^x $ dan $ b = 5^y $ :
*). soalnya menjadi :
$ 3^x + 5^y = 18 \rightarrow a + b = 18 $
$ \rightarrow a = 18 - b \, $ .....(i)
-). Nilai maksimum $ 3^x.5^y $ sama saja dengan $ a.b $
misalkan $ ab = K $
*). Menyusun fungsinya :
$\begin{align} ab & = (18 - b).b \\ K & = 18b - b^2 \\ K^\prime & = 18 - 2b \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum : $ K^\prime = 0 $
$\begin{align} K^\prime & = 0 \\ 18 - 2b & = 0 \\ b & = \frac{18}{2} = 9 \end{align} $
Artinya $ ab $ maksimum saat $ b = 9 $
Nilai $ a = 18 - b = 18 - 9 = 9 $
*). Menentukan nilai maksimum $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 9.9 = 81 \end{align} $
Jadi, nilai maksiumnya adalah $ ab = 81 . \, \heartsuit $