Pembahasan Hiperbola UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Garis $ y = 2x + 1 $ tidak memotong ataupun tidak menyinggung hiperbola $ \frac{(x-2)^2}{2}-\frac{(y-a)^2}{4}=1 $, interval nilai $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 3 < a < 7 \, $ B). $ -3 < a < 7 \, $ C). $ a < 3 \, $ atau $ a > 7 $
D). $ a < -3 \, $ atau $ a > 7 \, $ E). $ -7 < a < -3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat garis tidak memotong atau tidak menyinggung hiperbola adalah $ D < 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Substitusikan garis ke hiperbola sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
(1). Menentukan akar-akarnya dengan difaktorkan.
(2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($\pm$) setiap daerahnya
(3). Arsir daerah yang diminta :
jika $ > 0 $ , maka pilih daerah positif
jika $ < 0 $ , maka pilih daerah negatif
(4). BUat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusikan garis $ y = 2x + 1 $ ke hiperbola : :
$\begin{align} \frac{(x-2)^2}{2}-\frac{(y-a)^2}{4} & = 1 \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 2(x-2)^2 - (y-a)^2 & = 4 \\ 2(x-2)^2 - (2x + 1-a)^2 & = 4 \\ 2(x^2 - 4x + 4) - [ 4x^2 + 4x(1-a) + 1 - 2a + a^2] & = 4 \\ 2x^2 - 8x + 8 - 4x^2 - 4x + 4ax - 1 + 2a - a^2 & = 4 \\ -2x^2 - 12x + 4ax + 3 + 2a - a^2 & = 0 \\ -2x^2 +( 4a - 12)x + 3 + 2a - a^2 & = 0 \\ \text{(Syarat : ) } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (4a - 12)^2 - 4.(-2). (3 + 2a - a^2) & < 0 \\ 16a^2 - 96a + 144 + 24 + 16a - 8a^2 & < 0 \\ 8a^2 - 80a + 168 & < 0 \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ a^2 - 10a + 21 & < 0 \\ (a -3)(a-7) & < 0 \\ a = 3 \vee a & = 7 \end{align} $
Garis bilangannya :
 


Himpunan penyelesaiannya : $ 3 < a < 7 $
Jadi, penyelesaiaan adalah $ 3 < a < 7 . \, \heartsuit $