Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2019 Matematika Dasar kode 521

Soal yang Akan Dibahas
Hasil penjumlahan dari $ x, y, $ dan $ z $ yang memenuhi $ 3^{2x+y-z} = \left( \frac{1}{27} \right)^{(x-y+2z+2)} $ , $ \log (x-y+z) = \frac{1}{1 + {}^2 \log 5 } $ , dan $ \left| \begin{matrix} x & \frac{1}{2} \\ 2y & 2 \end{matrix} \right| = 2 $
adalah ....
A). $ -\frac{5}{3} \, $ B). $ -\frac{10}{3} \, $ C). $ -\frac{16}{3} \, $ D). $ -\frac{21}{3} \, $ E). $ -\frac{26}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar

*). Sifat eksponen :
1). $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $
2). $ (a^n)^m = a^{n.m} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat-sifat Logaritma :
1). $ \frac{1}{{}^a \log b} = {}^b \log a $
2). $ {}^a \log a = 1 $
3). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (b.c) $
*). Penulisan basis Log : $ \log b = {}^{10} \log b $
*). Persamaan logaritma :
$ \log f(x) = \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Determinan Matriks :
$ \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right| = a.d - b.c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama :
$\begin{align} 3^{2x+y-z} & = \left( \frac{1}{27} \right)^{(x-y+2z+2)} \\ 3^{2x+y-z} & = \left( \frac{1}{3^3} \right)^{(x-y+2z+2)} \\ 3^{2x+y-z} & = \left( 3^{-3} \right)^{(x-y+2z+2)} \\ 3^{2x+y-z} & = 3^{-3x+3y-6z-6} \\ 2x+y-z & = -3x+3y-6z-6 \\ 5x - 2y + 5z & = -6 \\ 5(x + z) - 2y & = -6 \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Persamaan Kedua :
$\begin{align} \log (x-y+z) & = \frac{1}{1 + {}^2 \log 5 } \\ \log (x-y+z) & = \frac{1}{{}^2 \log 2 + {}^2 \log 5 } \\ \log (x-y+z) & = \frac{1}{{}^2 \log ( 2 \times 5 ) } \\ \log (x-y+z) & = \frac{1}{{}^2 \log 10 } \\ \log (x-y+z) & = {}^{10} \log 2 \\ \log (x-y+z) & = \log 2 \\ x-y+z & = 2 \\ x+z & = y + 2 \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Persamaan Ketiga :
$ \left| \begin{matrix} x & \frac{1}{2} \\ 2y & 2 \end{matrix} \right| = 2 $
$ 2x - 2y. \frac{1}{2} = 2 $
$ 2x - y = 2 \, \, \, $ .... (iii)
*). Substitusi pers(ii) ke (i) :
$\begin{align} 5(x + z) - 2y & = -6 \\ 5(y+2) - 2y & = -6 \\ 5y+10 - 2y & = -6 \\ 3y & = -16 \\ y & = \frac{-16}{3} \end{align} $
*). Substitusi $ y = \frac{-16}{3} $ ke pers (ii) :
$\begin{align} x+z & = y + 2 \\ x+z & = \frac{-16}{3} + 2 \\ x+z & = \frac{-10}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x + y + z $ :
$\begin{align} x + y + z & = (x+z) + y \\ & = \frac{-10}{3} + \frac{-16}{3} = -\frac{26}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ x + y + z = -\frac{26}{3} . \, \heartsuit $