Cara 2 Pembahasan Integral SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar integral :
$ \int k(ax+b)^n dx = \frac{1}{a}.\frac{k}{n+1}(ax+b)^{n+1} + c $
*). Salah satu teknik integral adalah integral parsial atau Tanzalin.
*). Teknik Tanzalin adalah salah satu fungsi diturunkan dan satunya lagi diintegralkan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Soal : $ \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx $
*). Teknik Tanzalin :
$ \begin{array}{c|c} \text{Turunan} & \text{integral} \\ (+) 15x & \sqrt{1-x} = (1-x)^\frac{1}{2} \\ (-) 15 & \frac{1}{-1}. \frac{2}{3} (1-x)^\frac{3}{2} = -\frac{2}{3} (1-x)^\frac{3}{2} \\ 0 & - \frac{2}{3} . \frac{1}{-1} . \frac{2}{5} (1-x)^\frac{5}{2} = \frac{4}{15} (1-x)^\frac{5}{2} \end{array} $
*). Hasil integralnya :
$ = 15x. -\frac{2}{3} (1-x)^\frac{3}{2} + (-15). \frac{4}{15} (1-x)^\frac{5}{2} $
$ = -10x (1-x)^\frac{3}{2} -4 (1-x)^\frac{5}{2} $
*). Substitusi batas-batasnya :
$\begin{align} & \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx \\ & = \left[ -10x (1-x)^\frac{3}{2} -4 (1-x)^\frac{5}{2} \right]_0^1 \\ & = \left[ -10.1 (1-1)^\frac{3}{2} -4 (1-1)^\frac{5}{2} \right] - \left[ -10.0 (1-0)^\frac{3}{2} -4 (1-0)^\frac{5}{2} \right] \\ & = \left[ 0 \right] - \left[ 0 - 4 \right] = 4 \end{align} $
Jadi, hasil integralnya adalah $ 4 . \, \heartsuit $