Pembahasan Transformasi UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ y = e^\sqrt{x} $ dicerminkan terhadap garis $ y = x $ kemudian ditranslasi dengan vektor translasi $ \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right] $. Maka kurva yang dihasilkan adalah ...
A). $ y = \ln (x^2 - 1) \, $
B). $ y = \ln (x^2 + 1) \, $
C). $ y = -1 + \ln ^2 (x + 1) \, $
D). $ y = 1 + \ln ^2 (x + 1) \, $
E). $ y = 1 + \ln ^2 (x - 1) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Konsep Transformasi :
-). Titik $ (x,y) $ dicerminkan terhadap garis $ y = x $ memiliki bayangan :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} y \\ x \end{matrix} \right) $
-). Titik $ (x,y) $ ditranslasi oleh matriks $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ memiliki bayangan :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
-). Jika yang ditransformasikan berupa persamaan, maka titik awalnya adalah $ (x,y) $
*). Konsep len $ ( \ln ) $ :
(1). $ \ln e = 1 $
(2). $ \ln a^b = b. \ln a $
(3). $ (\ln a)^n = \ln ^n a $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui kurva awal : $ y = e^\sqrt{x} $
-). Pertama : dicerminkan terhadap garis $ y = x $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} y \\ x \end{matrix} \right) $
-). Kedua : ditranslasi dengan vektor translasi $ \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right] $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} y \\ x \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} y - 1 \\ x + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
-). Kita peroleh :
$ x^{\prime \prime } = y - 1 \rightarrow y = x^{\prime \prime } + 1 $
$ y^{\prime \prime } = x + 1 \rightarrow x = y^{\prime \prime } - 1 $
*). Menentukan bayangan persamaannya :
-). Persamaan awal : $ y = e^\sqrt{x} $
-). Bayangannya : substitusi $ x = y^{\prime \prime } - 1 $ dan $ y = x^{\prime \prime } + 1 $ ke persamaan awal :
$ \begin{align} y & = e^\sqrt{x} \\ x^{\prime \prime } + 1 & = e^\sqrt{y^{\prime \prime } - 1} \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(hilangkan aksennya)} \\ x + 1 & = e^\sqrt{y - 1} \\ \ln ( x + 1 ) & = \ln \left( e^\sqrt{y - 1} \right) \\ \ln ( x + 1 ) & = \sqrt{y - 1} \ln \left( e \right) \\ \ln ( x + 1 ) & = \sqrt{y - 1} . 1 \\ \ln ( x + 1 ) & = \sqrt{y - 1} \\ [ \ln ( x + 1 ) ]^2 & = y - 1 \\ \ln ^2 ( x + 1 ) & = y - 1 \\ \ln ^2 ( x + 1 ) + 1 & = y \end{align} $
Sehingga persamaan bayangannya : $ y = \ln ^2 ( x + 1 ) + 1 $
Jadi, bayangannya : $ y = \ln ^2 ( x + 1 ) + 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dua Lingkaran UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 13 = 0 $ dan menyinggung garis $ 3x + 4y + 9 = 0 $ mempunyai persamaan ...
A). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 12 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan lingkaran yang berpusat di $ (a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ memiliki pusat $ (a,b) $
dengan $ a = -\frac{1}{2}A $ dan $ b = -\frac{1}{2}B $
*). Jarak titik $ (a,b) $ ke garis $ px + qy + r = 0 $ adalah
Jarak $ = \left| \frac{p.a + q.b + r}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| $
*). Sebuah lingkaran menyinggung garis memiliki jari-jari :
jari-jari = jarak titik pusat lingkaran ke garis singgungnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar dua lingkarannya :
 

*). Menentukan pusat lingkaran Besar
Lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 13 = 0 \rightarrow A = -6 $ dan $ B = 4 $
$ a = -\frac{1}{2}A = -\frac{1}{2}.(-6) = 3 $
$ b = -\frac{1}{2}B = -\frac{1}{2}.(4) = -2 $
sehingga titik pusatnya $ (a,b) = (-3,2) $
*). Lingkaran yang kita cari sepusat dengan lingkaran di atas, sehingga pusatnya juga sama yaitu $ (a,b) = (3,-2) $
*). Menentukan jari-jari lingkaran yaitu jarak titik pusat $ (3,-2) $ ke garis singgungnya yaitu garis $ 3x + 4y + 9 = 0 $ :
$ \begin{align} r & = \left| \frac{p.a + q.b + r}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| \\ & = \left| \frac{3.3 + 4.(-2) + 9}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| \\ & = \left| \frac{9 - 8 + 9}{\sqrt{9 + 16}} \right| \\ & = \left| \frac{10}{\sqrt{25}} \right| = \left| \frac{10}{5} \right| = 2 \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan $ (a,b) = (3,-2) $ dan $ r = 2 $ :
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-3)^2 + (y-(-2))^2 & = 2^2 \\ (x-3)^2 + (y+2)^2 & = 2^2 \\ x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 & = 4 \\ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaannya $ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Perbandingan UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Perbandingan jumlah karyawan pria dan wanita dalam suatu perusahaan adalah $ 2 : 3 $. Jika ada 10 karyawan pria yang baru dan 3 karyawan wanita yang keluar dari perusahaan ini, maka jumlah karyawan pria menjadi 10 kurangnya dari banyaknya karyawan wanita. Jumlah karyawan sebelumnya adalah ...
A). $ 115 \, $ B). $ 112 \, $ C). $ 110 \, $ D). $ 108 \, $ E). $ 105 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Konsep perbandingan :
Suatu bentuk perbandingan dapat kita kalikan dengan aljabar yang sama.
Contoh :
(1). Diketahui perbandingan $ x : y = 2 : 5 $ dapat kita kalikan $ a $ sehingga $ x : y = 2a : 5a $ , artinya $ x = 2a $ dan $ y = 5a $
(2). $ P : Q = 3 : 2 \rightarrow P : Q = 3x : 2x $, artinya $ P = 3x $ dan $ Q = 2x $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Permisalan jumlah karyawan sebelum mengalami perubahan :
Pria = $ P $ orang dan Wanita $ = W $ orang.
*). Perbandingan awal :
$ P : W = 2 : 3 \rightarrow P : W = 2x : 3x $ , artinya $ P = 2x $ dan $ W = 3x $.
(tinggal menentukan nilai $ x $ nya dari bentuk berikutnya)
*). Mengalami perubahan :
-). ada 10 karyawan pria yang baru
Pria $ = P + 10 = 2x + 10 $
-). 3 karyawan wanita yang keluar dari perusahaan
Wanita $ = W - 3 = 3x - 3 $
*). Menentukan nilai $ x $ :
jumlah karyawan pria menjadi 10 kurangnya dari banyaknya karyawan wanita
$ \begin{align} \text{Pria } & = \text{ Wanita } - 10 \\ 2x + 10 & = ( 3x - 3) - 10 \\ 2x + 10 & = 3x - 11 \\ x & = 21 \end{align} $
*). Menentukan jumlah karyawan awal :
$ \begin{align} P + W & = 2x + 3x \\ & = 5x = 5 \times 21 = 105 \end{align} $
Jadi, jumlah karyawan sebelumnya adalah $ 105 . \, \heartsuit $

Pembahasan Luasan UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva $ y = -x^2 + 2x $ dan garis singgung kurva di titik $ (2,0) $ sama dengan ...
A). $ 1\frac{1}{2} \, $ B). $ 1\frac{2}{3} \, $ C). $ 2\frac{1}{3} \, $ D). $ 2\frac{1}{2} \, $ E). $ 2\frac{2}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan Garis Singgung Kurva (PGS) :
PGS kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1, y_1) $ yaitu :
$ y - y_1 = m(x - x_1) $ dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Turunan : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Luasan menggunakan integral :
Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva $ y = f(x) $ dan $ y = g(x) $ dengan batas $ a \leq x \leq b $ adalah
Luas $ = \int \limits_a^b (f(x) - g(x)) dx $
dengan kurva $ f(x) $ di atas kurva $ g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan PGS kurva $ y = -x^2 + 2x $ di titik $ (x_1,y_1) = (2,0) $ :
-). Gradiennya : $ y^\prime = -2x + 2 $
$ m = f^\prime ( x_1 ) = f^\prime (2) = -2 \times 2 + 2 = -2 $
-). PGS nya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 0 & = -2(x- 2) \\ y & = -2x + 4 \end{align} $
*). Ilustrasi daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva $ y = -x^2 + 2x $ dan $ y = -2x + 4 $ :
 

*). Daerah arsiran dibatasi oleh kurva $ y = -2x + 4 $ (kurva atas) dan $ y = -x^2 + 2x $ (kurva bawah) pada batas $ 0 \leq x \leq 2 $.
*). Menentukan luas daerah arsirannya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_0^2 ( y_1 - y_2 ) dx \\ & = \int \limits_0^2 [(-2x+4) - (-x^2 + 2x)] dx \\ & = \int \limits_0^2 (x^2 - 4x + 4) dx \\ & = [\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x]_0^2 \\ & = [\frac{1}{3}.2^3 - 2.2^2 + 4.2] - [\frac{1}{3}.0^3 - 2.0^2 + 4.0] \\ & = [\frac{8}{3} - 8 + 8] - [0] \\ & = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ 2\frac{2}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui suatu kurva melalui titik $ \left( -1, -\frac{1}{3} \right)$. Jika kemiringannya pada setiap titik $ x $ adalah kebalikan negatif dari kemiringan kurva dengan persamaan $ xy = 2 $ , maka persamaan kurva tersebut adalah ...
A). $ 6y - x^3 + 1 = 0 \, $
B). $ 12y - 3x^3 + 1 = 0 \, $
C). $ 3y - x^3 = 0 \, $
D). $ 6y - 3x^3 = 0 \, $
E). $ 15y - 3x^3 + 2 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Konsep turunan aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Penggunaan turunan pada gradien :
gradien/kemiringan garis singgung pada kurva $ y = f(x) $ adalah $ m = f^\prime (x) $ atau $ m = y^\prime $
*). Untuk menentukan persamaan kurva awal dari bentuk turunannya, bisa menggunakan integral :
$ f(x) = \int f^\prime (x) dx $
*). Rumus integral aljabar :
$ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). kemiringan kurva dengan persamaan $ xy = 2 $ :
$ \begin{align} xy & = 2 \\ y & = \frac{2}{x} \\ y & = 2x^{-1} \\ y^\prime & = -2x^{-2} \\ m_1 & = \frac{-2}{x^2} \end{align} $
*). Kurva $ y = f(x) $ memiliki kemiringan pada setiap titik $ x $ adalah kebalikan negatif dari $ m_1 $ :
$ \begin{align} m & = \frac{1}{-m_1} \\ m & = \frac{1}{- ( \frac{-2}{x^2} )} \\ m & = \frac{x^2}{2} \\ y^\prime & = \frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}x^2 \end{align} $
*). Menentukan kurva $ y = f(x) $ dengan integral :
$ \begin{align} y & = \int y^\prime dx \\ y & = \int \, \frac{1}{2}x^2 \, dx \\ y & = \frac{1}{2}.\frac{1}{2+1}x^{2+1} + c \\ y & = \frac{1}{6}x^3 + c \\ \end{align} $
*). Substitusi titik $ \left( -1, -\frac{1}{3} \right)$ ke kurva untuk menentukan nilai $ c $ :
$ \begin{align} y & = \frac{1}{6}x^3 + c \\ -\frac{1}{3} & = \frac{1}{6}.(-1)^3 + c \\ -\frac{1}{3} & = -\frac{1}{6} + c \\ -\frac{1}{3} + \frac{1}{6} & = c \\ -\frac{2}{6} + \frac{1}{6} & = c \\ - \frac{1}{6} & = c \end{align} $
Sehingga persamaan kurvanya menjadi :
$ \begin{align} y & = \frac{1}{6}x^3 + c \\ y & = \frac{1}{6}x^3 + (-\frac{1}{6}) \\ y & = \frac{1}{6}x^3 -\frac{1}{6} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 6y & = x^3 -1 \\ 6y - x^3 + 1 & = 0 \end{align} $
Jadi, kurvanya adalah $ 6y - x^3 + 1 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x + y = \frac{\pi}{3} , \, x < 0 $ . Jika $ \tan x = \tan (\pi + y) $ , maka $ \sin ( x + 3y ) = ... $
A). $ -\frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ C). $ -\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \tan ( x + y ) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x. \tan y } $
$ \tan ( \pi + y ) = \tan y $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui :
$ x + y = \frac{\pi}{3} \rightarrow x + y = 60^\circ $
$ \tan x = \tan ( \pi + y ) \rightarrow \tan x = \tan y $
*). Dari $ x + y = 60^\circ $ dan $ \tan x = \tan y $ , kita berikan tan kedua ruas :
$ \begin{align} x + y & = 60^\circ \\ \tan (x + y) & = \tan 60^\circ \\ \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x. \tan y } & = \sqrt{3} \\ \frac{\tan x + \tan x}{1 - \tan x. \tan x } & = \sqrt{3} \\ \frac{2\tan x }{1 - \tan ^2 x } & = \sqrt{3} \\ 2\tan x & = \sqrt{3} (1 - \tan ^2 x) \\ 2\tan x & = \sqrt{3} - \sqrt{3} \tan ^2 x \\ \sqrt{3} \tan ^2 x + 2\tan x - \sqrt{3} & = 0 \\ (\sqrt{3}\tan x - 1)(\tan x + \sqrt{3}) & = 0 \\ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \vee \tan x & = -\sqrt{3} \end{align} $
*). Karena $ x < 0 $ , mengakibatkan $ \tan x < 0 $ , sehingga $ \tan x = - \sqrt{3} $ yang memenuhi.
$ \tan x = - \sqrt{3} \rightarrow x = -60^\circ $
$ x + y = 60^\circ \rightarrow -60^\circ + y = 60^\circ \rightarrow y = 120^\circ $
*). Menentukan nilai $ \sin (x + 3y) $ :
$ \begin{align} \sin (x + 3y) & = \sin (-60^\circ + 3 \times 120^\circ) \\ & = \sin 300^\circ \\ & = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin (x + 3y) = -\frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $