Pembahasan Dimensi Tiga Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Limas segiempat beraturan T.ABCD mempunyai tinggi sama dengan dua kali panjang sisi ABCD. Jika titik E berada pada garis BC dengan BE:EC=1:1 dan titik F berada pada garis TE dengan TF:FE=1:3, maka panjang proyeksi FE pada ABCD adalah .... kali sisi ABCD.
A). $ \frac{9}{8} \, $ B). $ \frac{5}{8} \, $ C). $ \frac{4}{8} \, $ D). $ \frac{3}{8} \, $ E). $ \frac{1}{8} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Proyeksi garis pada bidang
Silahkan teman-teman baca artikelnya pada materi "Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang".

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 
Misalkan panjang sisi alas adalah $ a \, $ sehingga panjang $EO = \frac{1}{2}a $.
*). Hasil proyeksi FE pada ABCD adalah EG.
*). Menentukan panjang EG dengan konsep kesebangunan antara segitga EFG dan segitiga TEO
$ \begin{align} \frac{EG}{EO} & = \frac{EF}{ET} \\ \frac{x}{\frac{1}{2}a} & = \frac{3}{4} \\ x & = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2}a \\ x & = \frac{3}{8} a \end{align} $
Jadi, panjang proyeksi FE pada ABCD adalah $ \frac{3}{8} \, $ kali sisi ABCD. $ \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Vektor Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor $\vec{OA} = (1, \, 2) \, $ dan $ \vec{OB}=(2, \, 1)$. Jika titik P terletak pada AB sehingga AP:PB=1:2, maka panjang vektor $\vec{OP} \, $ adalah ....
A). $ \frac{3}{2}\sqrt{2} \, $ B). $ \frac{1}{3}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{2}{3}\sqrt{2} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{41} \, $ E). $ \frac{3}{2}\sqrt{41} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Vektor
*). Perbandingan Vektor
Diketahui : $ AP : PB = m:n $
maka $ \vec{OP} = \frac{m\vec{OB} + n\vec{OA}}{m+n} $
*). Panjang Vektor :
Misalkan Vektor $ \vec{a} = (x, \, y) $
Maka panjang vektor $ \vec{a} \, $ adalah $ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan vektor $\vec{OP} $ dengan $ \vec{OA} = (1, \, 2) \, $ dan $ \vec{OB} = (2, \, 1) \, $ dan $ AP:PB=1:2 \, $ artinya $ m:n=1:2$
$ \begin{align} \vec{OP} & = \frac{m\vec{OB} + n\vec{OA}}{m+n} \\ & = \frac{1.(2,1) + 2(1,2)}{1+2} \\ & = \frac{(2,1) + (2,4)}{3} \\ & = \frac{(4,5)}{3} \\ & = \left( \frac{4}{3}, \, \frac{5}{3} \right) \end{align} $
*). Menentukan panjang vektor $\vec{OP} $ :
$ \begin{align} |\vec{OP}| & = \sqrt{\left( \frac{4}{3}\right)^2 + \left( \frac{5}{3} \right)^2} \\ & = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{25}{9} } \\ & = \sqrt{\frac{41}{9} } \\ & = \frac{1}{3}\sqrt{41} \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{OP} \, $ adalah $ \, \frac{1}{3}\sqrt{41} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Trigonometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 0 < x < \frac{\pi}{2} \, $ dan $ \, 2\sin ^2 x + \cos ^2 x = \frac{34}{25} , \, $ maka nilai $ \tan x = .... $
A). $-\frac{3}{4} \, $ B). $ -\frac{3}{5} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{3}{5} \, $ E). $ \frac{4}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Identitas Trigonometri
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \, $ atau $ \cos ^2 A = 1 - \sin ^2 A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal dengan identitas trigonometri
$ \begin{align} 2\sin ^2 x + \cos ^2 x & = \frac{34}{25} \\ 2\sin ^2 x + (1 - \sin ^2 x) & = \frac{34}{25} \\ \sin ^2 x & = \frac{34}{25} - 1 \\ \sin ^2 x & = \frac{34}{25} - \frac{25}{25} \\ \sin ^2 x & = \frac{9}{25} \\ \sin x & = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} \\ \sin x & = \pm \frac{3}{5} \end{align} $
Karena $ 0 < x < \frac{\pi}{2} \, $ (kuadran I), maka nilai sin positif yaitu $ \sin x = \frac{3}{5} $.
*). Dari nilai $ \sin x = \frac{3}{5} = \frac{de}{mi} $, kita buat segitiga siku-sikunya :
 
gambar segitiga siku-sikunya.
Sehingga nilai $ \tan x = \frac{de}{sa} = \frac{3}{4} $
Jadi, nilai $ \tan x = \frac{3}{4} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Lingkaran Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui titik $(1,p)$ berada pada lingkaran $ x^2 + y^2 - 2y = 0 $. Persamaan lingkaran dengan pusat $(1,p)$ dan menyinggung garis $ px+y= 4 \, $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 -2x - 2y - 2 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 -2x - 2y - 1 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 -2x - 2y = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 -2x + 2y - 2 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 -2x + 2y - 1 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Lingkaran
*). Persamaan lingkaran
Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r \, $ adalah
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $.
*). Jarak titik $(x_1,y_1) $ terhadap garis $ mx + ny + c = 0 \, $ adalah
Jarak $ = \left| \frac{m.x_1 + n.y_1 + c}{\sqrt{m^2+n^2}} \right| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $(1,p) $ ke persamaan lingkaran
$ \begin{align} (x,y)=(1,p) \rightarrow x^2 + y^2 - 2y & = 0 \\ 1^2 + p^2 - 2.p & = 0 \\ p^2 - 2p + 1 & = 0 \\ (p-1)^2 & = 0 \\ p-1 & = 0 \\ p & = 1 \end{align} $
Sehingga titik $(1,p) = (1,1) $
*). Jarak titik $(x_1,y_1) = (1,1) $ ke garis $ px + y = 4 \, $ atau $ x + y - 4 = 0 \, $ dengan $ p = 1 $ :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{m.x_1 + n.y_1 + c}{\sqrt{m^2+n^2}} \right| \\ & = \left| \frac{1.1 + 1.1 - 4}{\sqrt{1^2+1^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-2}{\sqrt{2}} \right| \, \, \, \, \, \, \text{(rasionalkan)} \\ & = \left| -\sqrt{2} \right| \\ & = \sqrt{2} \end{align} $
Jarak titik pusat (1,1) ke garis $ x+y - 4 = 0 \, $ adalah jari-jarinya.
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b) = (1,1) \, $ dan jari-jari $ r = \sqrt{2} $
Persamaannya :
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-1)^2 + (y-1)^2 & = (\sqrt{2})^2 \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 & = 2 \\ x^2 + y^2- 2x - 2y + 2 & = 2 \\ x^2 + y^2- 2x - 2y & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ x^2 + y^2- 2x - 2y = 0 . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Soal dan Pembahasan UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581


Nomor 1
Diketahui titik $(1,p)$ berada pada lingkaran $ x^2 + y^2 - 2y = 0 $. Persamaan lingkaran dengan pusat $(1,p)$ dan menyinggung garis $ px+y= 4 \, $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 -2x - 2y - 2 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 -2x - 2y - 1 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 -2x - 2y = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 -2x + 2y - 2 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 -2x + 2y - 1 = 0 $
Nomor 2
Jika $ 0 < x < \frac{\pi}{2} \, $ dan $ \, 2\sin ^2 x + \cos ^2 x = \frac{34}{25} , \, $ maka nilai $ \tan x = .... $
A). $-\frac{3}{4} \, $ B). $ -\frac{3}{5} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{3}{5} \, $ E). $ \frac{4}{5} $
Nomor 3
Diketahui vektor $\vec{OA} = (1, \, 2) \, $ dan $ \vec{OB}=(2, \, 1)$. Jika titik P terletak pada AB sehingga AP:PB=1:2, maka panjang vektor $\vec{OP} \, $ adalah ....
A). $ \frac{3}{2}\sqrt{2} \, $ B). $ \frac{1}{3}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{2}{3}\sqrt{2} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{41} \, $ E). $ \frac{3}{2}\sqrt{41} $
Nomor 4
Limas segiempat beraturan T.ABCD mempunyai tinggi sama dengan dua kali panjang sisi ABCD. Jika titik E berada pada garis BC dengan BE:EC=1:1 dan titik F berada pada garis TE dengan TF:FE=1:3, maka panjang proyeksi FE pada ABCD adalah .... kali sisi ABCD.
A). $ \frac{9}{8} \, $ B). $ \frac{5}{8} \, $ C). $ \frac{4}{8} \, $ D). $ \frac{3}{8} \, $ E). $ \frac{1}{8} $
Nomor 5
Semua nilai $ x \, $ yang memenuhi $|x+1| > x+3 \, $ dan $ \, |x+2| < 3 \, $ adalah ....
A). $ x < -2 \, $ B). $ -5 < x < -2 \, $
C). $ x > -5 \, $ D). $ -5 < x < 1 $
E). $ x > 1 $
Nomor 6
Diketahui suku banyak $ P(x) \, $ jika dibagi dengan $(x^2 - 2x) $ sisanya $ 2 - 3x \, $ dan jika dibagi $(x^2+x-2) \, $ sisanya $ x+ 2 $. Jika $P(x) $ dibagi dengan $(x^2-3x+2)$, maka sisanya adalah ....
A). $ x - 10 \, $ B). $ -x+10 \, $
C). $ -7x - 10 \, $ D). $ 7x-10 \, $
E). $ -7x+10 $
Nomor 7
Jika $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ memenuhi persamaan $ (2\log x - 1) \frac{1}{{}^x \log 10} = \log 10 $ , maka $ x_1x_2 = .... $
A). $ 5\sqrt{10} \, $ B). $ 4\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{10} $

Nomor 8
Diketahui $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ merupakan akar-akar $ 4x^2-7x + p = 0 \, $ dengan $ x_1 < x_2 $. Jika $ {}^2 \log \left( \frac{1}{3}x_1 \right) = -2 - {}^2 \log x_2 $ , maka $ \, 4x_1 + x_2 = .... $
A). $ \frac{19}{4} \, $ B). $ 4 \, $ C). $ \frac{15}{4} \, $ D). $ \frac{13}{4} \, $ E). $ 3 $
Nomor 9
Diketahui $ 10, \, x_2, \, x_3, \, x_4 \, $ membentuk barisan geometri. Jika $ x_2 - 10, \, x_3 - 10 \, $ dan $ x_4-x_3-x_2-10 \, $ membentuk barisan aritmatika, maka nilai $ x_4 \, $ adalah ....
A). $ \frac{10}{27} \, $ B). $ \frac{5}{4} \, $ C). $ 80 \, $ D). $ 270 \, $ E). $ 640 $
Nomor 10
Jika $ a, \, 4, \, b \, $ adalah tiga suku berurutan dari barisan aritmatika dan $ a, \, 3, \, b \, $ merupakan tiga suku berurutan suatu barisan geometri, maka $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = .... $
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{8}{9} \, $ E). $ \frac{9}{8} $
Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+6) \tan (2x -6)}{x^2 - x - 6} = ..... $
A). $ -\frac{18}{5} \, $ B). $ -\frac{9}{5} \, $ C). $ \frac{9}{5} \, $ D). $ \frac{18}{5} \, $ E). $ \frac{27}{5} $
Nomor 12
Jika fungsi $ g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \, $ naik pada $ \{ x \in R | x \leq -2 \} \, $ dan turun pada $ \{ x \in R | x \geq 2 \}$ , maka himpunan semua nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah ....
A). $ \emptyset \, $
B). $ \{ p \in R | p \geq 2 \} \, $
C). $ \{ p \in R | p > 0 \} \, $
D). $ \{ p \in R | p < 0 \} \, $
E). $ \{ p \in R | p \leq -2 \} $
Nomor 13
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 2 \cos x , \, y = 1, \, $ sumbu X dan sumbu Y adalah ....
A). $ \frac{\pi}{6} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
B). $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
C). $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
D). $ \frac{\pi}{2} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
E). $ \frac{\pi}{2} + \int \limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
Nomor 14
Empat siswa laki-laki dan tiga siswa perempuan berdiri di dalam suatu barisan. Banyaknya cara agar ketiga siswa perempuan berdampingan di barisan tersebut adalah ....
A). $ 720 \, $ B). $ 360 \, $ C). $ 144 \, $ D). $ 72 \, $ E). $ 48 $
Nomor 15
Untuk suatu sudut $ x \, $ dan $ y \, $ berlaku
$ \sin ^2 x + \cos ^2 y = \frac{3}{2}a $
$ \cos ^2 x + \sin ^2 y = \frac{1}{2}a^2 $ .
Jumlah semua nilai $ a \, $ yang mungkin untuk sistem persamaan di atas adalah .....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Komentar (Atom)