Processing math: 7%

Kode 245 Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika dalam sebuah barisan geometri jumlah 10 suku pertamanya adalah 341 dan un+2:un−1=8, maka u1+u4=....
A). 2 B). 3 C). 4 D). 5 E). 6

♠ Konsep Dasar Barisan Geometri dan Eksponen
*). Barisan geometri :
un=arn−1 dan sn=a(rn−1)r−1
*). Sifat eksponen :
aman=am−n

♣ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Persamaan pertama,
un+2un−1=8arn+2−1arn−1−1=8rn+1rn−2=8r[(n+1)−(n−2)]=8r3=23r=2
Persamaan kedua,
jumlah 10 suku pertama =341s10=341a(210−1)2−1=341a(1023)1=3411023a=341a=3411023=13
*). Menentukan nilai u1+u4 :
u1+u4=a+ar3=a(1+r3)=13.(1+23)=13.9=3
Jadi, nilai u1+u4=3.♡



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 3 : Kode 245 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
lim
A). \sec ^2 x \, B). 2\sec ^2 x \, C). 4\sec ^2 x \, D). \sec x \, E). 2\sec x

\spadesuit Konsep Dasar Limit Trigonometri Menggunakan Turunan (L'Hopital)
*). Turunan fungsi trigonometri :
y = \tan A \rightarrow y^\prime = A^\prime . \sec ^2 A .
*). Sudut negatif : \sec ^2 (-A) = \sec ^2 A
*). Penggunaan Turunan pada Limit (L'Hopital)
Bentuk \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} dapat diselesaikan dengan \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} sampai hasilnya tidak \frac{0}{0} lagi. Jika hasilnya masih \frac{0}{0} , maka turunkan lagi pembilang dan penyebutnya.

\clubsuit Pembahasan Cara 3 :
*). Menurunkan fungsi trigonometrinya :
\begin{align} y & = \tan (-x + h) - \tan (-x-h) \\ y^\prime & = \sec ^2 (-x +h) - (-1).\sec ^2 (-x-h) \\ y^\prime & = \sec ^2 (-x +h) + \sec ^2 (-x-h) \end{align}
*). Menyelesaikan soal :
\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{ \sqrt{4-h^2}} . \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h} \, \, \, \, \text{(turunkan)} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{ \sqrt{4-h^2}} . \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sec ^2 (-x +h) + \sec ^2 (-x-h)}{1} \\ & = \frac{1}{ \sqrt{4-0^2}} . \frac{\sec ^2 (-x +0) + \sec ^2 (-x-0)}{1} \\ & = \frac{1}{ 2} . (\sec ^2 (-x ) + \sec ^2 (-x ) ) \\ & = \frac{1}{ 2} . (2\sec ^2 (-x ) ) \\ & = \sec ^2 (-x ) \\ & = \sec ^2 x \end{align}
Jadi, hasil limitnya adalah \sec ^2 x . \, \heartsuit



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = ....
A). \sec ^2 x \, B). 2\sec ^2 x \, C). 4\sec ^2 x \, D). \sec x \, E). 2\sec x

\spadesuit Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Konsep Trigonometri :
\tan (A - B)= \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A . \tan B} \rightarrow \tan A - \tan B = \tan (A - B) . (1 + \tan A . \tan B)
\tan ^2 (-A) = \tan ^2 A
*). Identitas trigonometri :
1 + \tan ^2 A = \sec ^2 A
*). Sifat Limit Trigonometri :
\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\tan ax}{bx} = \frac{a}{b}

\clubsuit Pembahasan Cara 2 :
*). Mengubah bentuk:
\begin{align} & \tan (-x + h) - \tan (-x-h) \\ & = \tan [(-x + h) - (-x-h) ].[ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) ] \\ & = \tan 2h.[ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) ] \end{align}
*). Menyelesaikan soal :
\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan 2h.[ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) ]}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan 2h}{h} . \frac{ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) }{\sqrt{4-h^2}} \\ & = \frac{2}{1} . \frac{ 1 + \tan (-x + 0) . \tan (-x-0) }{\sqrt{4-0^2}} \\ & = 2. \frac{ 1 + \tan (-x ) . \tan (-x) }{2} \\ & = 1 + \tan ^2 (-x ) \\ & = 1 + \tan ^2 x \\ & = \sec ^2 x \end{align}
Jadi, hasil limitnya adalah \sec ^2 x . \, \heartsuit



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 245 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = ....
A). \sec ^2 x \, B). 2\sec ^2 x \, C). 4\sec ^2 x \, D). \sec x \, E). 2\sec x

\spadesuit Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Konsep Trigonometri :
\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, dan \sec A = \frac{1}{\cos A}
\sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B
\cos (-A) = \cos A
*). Sifat Limit Trigonometri :
\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}

\clubsuit Pembahasan
*). Mengubah bentuk dengan \sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B
\begin{align} & \tan ( - x + h ) - \tan (-x - h) \\ & = \frac{\sin (-x+h)}{\cos (-x+h)} - \frac{\sin (-x-h)}{\cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin (-x+h) \cos (-x-h)}{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} - \frac{\cos (-x + h)\sin (-x-h)}{\cos (-x + h)\cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin (-x+h) \cos (-x-h) - \cos (-x + h)\sin (-x-h) }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin [(-x+h) - (-x-h) ] }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin 2h }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} \end{align}
*). Menyelesaikan soal :
\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin 2h }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} }{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin 2h }{h} . \frac{1}{\sqrt{4-h^2} \cos (-x+h) \cos (-x-h)} \\ & = \frac{2 }{1} . \frac{1}{\sqrt{4-0^2} \cos (-x+0) \cos (-x-0)} \\ & = 2. \frac{1}{2\cos (-x ) \cos (-x )} \\ & = \frac{1}{ \cos x \cos x} \\ & = \frac{1}{ \cos ^2 x } \\ & = \sec ^2 x \end{align}
Jadi, hasil limitnya adalah \sec ^2 x . \, \heartsuit



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 245 Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Grafik y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x berada di bawah grafik y = 3^x + 1 \, jika .....
A). 0 < x < 1 \, B). x > 1 \, C). x < 0 \,
D). x > 3 \, E). 1 < x < 3

\spadesuit Konsep Dasar Berkaitan Pertidaksamaan
Jika grafik f(x) di bawah grafik fungsi g(x) , maka berlaku f(x) < g(x)
*). Suatu fungsi kuadrat f(x) = ax^2 + bx + c disebut memenuhi definis positif jika a > 0 dan D < 0 , dengan D = b^2 - 4ac .
*). Definit positif artinya nilai fungsi kuadrat selalu positif untuk semua nilai variabelnya (x).
*). Jika terdapat suatu fungsi bernilai definit positif, maka fungsi tersebut bisa diabaikan karena tidak akan berpengaruh pada pertidaksamaannya.

\clubsuit Pembahasan
*). Misalkan p = 3^x
Grafik y_1 = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x berada di bawah grafik y_2 = 3^x + 1 \, maka berlaku :
\begin{align} y_1 & < y_2 \\ 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x & < 3^x + 1 \\ 3^{x }. 3^1 - \left(\frac{1}{3^2} \right)^x & < 3^x + 1 \\ 3. 3^{x } - \frac{1}{3^{2x}} - 3^x - 1 & < 0 \\ 2. 3^{x } - \frac{1}{(3^x)^2} - 1 & < 0 \\ 2p - \frac{1}{p^2} - 1 & < 0 \\ \frac{2p . p^2}{p^2} - \frac{1}{p^2} - \frac{p^2}{p^2} & < 0 \\ \frac{2p^3 - p^2 - 1}{p^2} & < 0 \, \, \, \, \, \, \text{(faktorkan)} \\ \frac{(2p^2+p+1)(p-1)}{p^2} & < 0 \end{align}
*). Bentuk 2p^2+p+1 \, dan p^2 adalah definit positif, sehingga bisa diabaikan, pertidaksamaannya menjadi :
\begin{align} \frac{(2p^2+p+1)(p-1)}{p^2} & < 0 \\ (p-1) & < 0 \\ p & < 1 \\ 3^x & < 1 \\ 3^x & < 3^0 \\ x & < 0 \end{align}
Jadi, solusinya adalah x < 0 . \, \heartsuit



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika sisa pembagian f(x) oleh x^3 - 3x + 5 adalah 3x^2-2, dan sisa pembagian (x+f(x))^2 oleh x^3-3x+5 adalah ax^2+bx+c, maka a - b - c = ....
A). 33 \, B). 43 \, C). 53 \, D). 63 \, E). 73

\spadesuit Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
f(x) = p(x).h(x) + s(x)
atau dapat dipersingkat menjadi :
f = ph + s
Keterangan :
f(x) = f \, suku banyak yang dibagi,
p(x) = p \, pembagi,
h(x) = h \, hasil bagi,
s(x) = s \, sisa pembagian.

\clubsuit Pembahasan Cara 2 :
*). f(x) \, dibagi dengan p(x) = x^3 - 3x +5 dengan sisa s_1(x) = 3x^2 - 2 dan hasil bagi h_1(x) :
f(x) = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \, ....(i)
atau f = p.h_1 + s_1
*). [x +f(x)]^2 \, dibagi dengan p(x) = x^3 - 3x +5 dengan sisa s_2(x) = ax^2 + bx + c dan hasil bagi h_2(x)
*). Menentukan bentuk [ x + f(x)]^2 \, atau [ x + f]^2
\begin{align} [x + f(x)]^2 & = [x + f]^2 \\ & = [ x + p.h_1 + s_1]^2 \\ & = p(2h_1x+2h_1s_1+ph_1^2) + x^2+2s_1x+s_1^2 \end{align}
Bentuk p(2h_1x+2h_1s_1+ph_1^2) habis dibagi oleh p(x) , sehingga tinggal mencari sisa pembagian x^2+2s_1x+s_1^2 oleh p .
*). Menentukan bentuk x^2+2s_1x+s_1^2 :
\begin{align} x^2+2s_1x+s_1^2 & = x^2+2(3x^2 - 2)x+(3x^2 - 2)^2 \\ & = x^2+6x^3 - 4x+ 9x^4 - 12x^2 + 4 \\ & = 9x^4 + 6x^3 - 11x^2 - 4x + 4 \end{align}
Dengan cara pembagian bersusun, sisa pembagian 9x^4 + 6x^3 - 11x^2 - 4x + 4 oleh p(x) = x^3 - 3x + 5 adalah 16x^2 - 31x - 26 .
artinya kita peroleh sisa pembagian [x+f(x)]^2 oleh p(x)=x^3 - 3x + 5 adalah 16x^2 - 31x - 26 yang bentuknya sama dengan s_2(x) = ax^2 + bx + c . Sehingga 16x^2 - 31x - 26 = ax^2 + bx + c kita peroleh a = 16, b = -31, dan c = -26 .
*). Menentukan hasil :
a - b - c = 16 - (-31)-(-26) = 73 .
Jadi, nilai a - b - c = 73 . \, \heartsuit



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 245 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika sisa pembagian f(x) oleh x^3 - 3x + 5 adalah 3x^2-2, dan sisa pembagian (x+f(x))^2 oleh x^3-3x+5 adalah ax^2+bx+c, maka a - b - c = ....
A). 33 \, B). 43 \, C). 53 \, D). 63 \, E). 73

\spadesuit Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
f(x) = p(x).h(x) + s(x)
Keterangan :
f(x) = \, suku banyak yang dibagi,
p(x) = \, pembagi,
h(x) = \, hasil bagi,
s(x) = \, sisa pembagian.

\clubsuit Pembahasan Cara 1 :
*). f(x) \, dibagi dengan p(x) = x^3 - 3x +5 dengan sisa s(x) = 3x^2 - 2 dan hasil bagi h_1(x) :
f(x) = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \, ....(i)
*). [x +f(x)]^2 \, dibagi dengan p(x) = x^3 - 3x +5 dengan sisa s(x) = ax^2 + bx + c dan hasil bagi h_2(x) :
[x +f(x)]^2 = p(x).h_2(x) + (ax^2 + bx + c ) \, ....(ii)
*). Agar kedua persamaan bisa diselesaikan, maka kita harus substitusi nilai x yang merupakan akar-akar dari pembaginya yaitu p(x) = x^3 - 3x + 5 . Misalkan salah satu akarnya adalah x = z , maka p(z) = z^3 - 3z + 5 = 0 .
*). Dari bentuk z^3 - 3z + 5 = 0 , kita peroleh :
z^3 - 3z + 5 = 0 \rightarrow z^3 = 3z - 5 .
kita kalikan dengan z :
z^3 . z = (3z - 5) . z \rightarrow z^4 = 3z^2 - 5z .
*). Substitusi x = z \, ke pers(i) dan p(z) = 0
\begin{align} f(x) & = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \\ f(z) & = p(z).h_1(z) + (3z^2 - 2 ) \\ f(z) & = 0.h_1(z) + (3z^2 - 2 ) \\ f(z) & = 3z^2 - 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(iii)} \end{align}
*). Substitusi x = z ke pers(ii), dan p(z) = 0 , serta z^3 = 3z - 5 , \, z^4 = 3z^2 - 5z serta kita gunakan f(z) = 3z^2 - 2
\begin{align} [x +f(x)]^2 & = p(x).h_2(x) + (ax^2 + bx + c ) \\ [z +f(z)]^2 & = p(z).h_2(z) + (az^2 + bz + c ) \\ [z + 3z^2 - 2 ]^2 & = 0.h_2(z) + (az^2 + bz + c ) \\ [3z^2 + z- 2 ]^2 & = az^2 + bz + c \\ 9z^4 + 6z^3 - 11z^2 - 4z + 4 & = az^2 + bz + c \\ 9(3z^2 - 5z) + 6(3z - 5) - & 11z^2 - 4z + 4 \\ & = az^2 + bz + c \\ 16z^2 - 31z - 26 & = az^2 + bz + c \end{align}
dari persamaan 16z^2 - 31z - 26 = az^2 + bz + c kita peroleh a = 16, b = -31, dan c = -26 .
*). Menentukan hasil :
a - b - c = 16 - (-31)-(-26) = 73 .
Jadi, nilai a - b - c = 73 . \, \heartsuit



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 245 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P merupakan titik tengah BF, dan Q merupakan titik tengah DC. Jika \angle PHQ = \theta, maka \cos \theta = ....
A). \frac{2}{15}\sqrt{5} \, B). \frac{4}{15}\sqrt{5} \, C). \frac{2}{5}\sqrt{5} \, D). \frac{9}{130}\sqrt{65} \, E). \frac{4}{15}\sqrt{65} \,

\spadesuit Konsep Dasar Aturan Cosinus
Pada segitiga ABC di atas, berlaku aturan cosinus :
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc}
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos A \rightarrow \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2 }{2ac}
c^2 = b^2 + a^2 - 2ba \cos A \rightarrow \cos C = \frac{b^2 + a^2 - c^2 }{2ba}

\clubsuit Pembahasan
*). Ilustrasi gambar, misalkan panjang rusuknya 2 (panjang rusuk yang kita pilih bebas jika yang ditanyakan nilai trigonometri atau sudutnya).
*). Menentukan panjang sisi \DeltaPHQ :
-). Panjang HP pada segitiga HFP
HP = \sqrt{HF^2 + FP^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3
-). Panjang HQ pada \DeltaHDQ
HQ = \sqrt{HD^2 + DQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}
-). Panjang BQ pada \DeltaBCQ
BQ = \sqrt{BC^2 + CQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}
-). Panjang PQ pada \DeltaBPQ
PQ = \sqrt{BQ^2 + BP^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{6}
*). Menentukan nilai \cos \theta pada \DeltaPHQ dengan aturan cosinus
\begin{align} \cos \theta & = \frac{HQ^2 + HP^2 - PQ^2}{2.HQ.HP} \\ & = \frac{(\sqrt{5})^2 + 3^2 - (\sqrt{6})^2}{2.\sqrt{5}.3} \\ & = \frac{5 + 9 - 6}{6\sqrt{5}} = \frac{8}{6\sqrt{5}} = \frac{4}{3\sqrt{5}} \\ & = \frac{4}{3\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\ & = \frac{4\sqrt{5}}{3 . 5} = \frac{4\sqrt{5}}{15} = \frac{4}{15} \sqrt{5} \end{align}
Jadi, nilai \cos \theta = \frac{4}{15} \sqrt{5} . \, \heartsuit



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)