Kode 245 Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika dalam sebuah barisan geometri jumlah 10 suku pertamanya adalah 341 dan $u_{n+2}:u_{n-1}=8$, maka $ u_1 + u_4 = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri dan Eksponen
*). Barisan geometri :
$ u_n = ar^{n-1} \, $ dan $ s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1 } $
*). Sifat eksponen :
$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Persamaan pertama,
$\begin{align} \frac{u_{n+2}}{u_{n-1}} & = 8 \\ \frac{ar^{n+2-1}}{ar^{n-1-1}} & = 8 \\ \frac{r^{n+1}}{r^{n-2}} & = 8 \\ r^{[(n+1) - (n-2)]} & = 8 \\ r^{3} & = 2^3 \\ r & = 2 \end{align} $
Persamaan kedua,
$\begin{align} \text{jumlah 10 suku pertama } & = 341 \\ s_{10} & = 341 \\ \frac{a(2^{10} - 1)}{2 - 1 } & = 341 \\ \frac{a(1023)}{ 1 } & = 341 \\ 1023a & = 341 \\ a & = \frac{341}{1023} = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ u_1 + u_4 $ :
$\begin{align} u_1 + u_4 & = a + ar^3 \\ & = a ( 1 + r^3) \\ & = \frac{1}{3}. (1 + 2^3) \\ & = \frac{1}{3}. 9 \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ u_1 + u_4 = 3 . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 3 : Kode 245 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = .... $
A). $ \sec ^2 x \, $ B). $ 2\sec ^2 x \, $ C). $ 4\sec ^2 x \, $ D). $ \sec x \, $ E). $2\sec x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri Menggunakan Turunan (L'Hopital)
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \tan A \rightarrow y^\prime = A^\prime . \sec ^2 A $.
*). Sudut negatif : $ \sec ^2 (-A) = \sec ^2 A $
*). Penggunaan Turunan pada Limit (L'Hopital)
Bentuk $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $ sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $ lagi. Jika hasilnya masih $ \frac{0}{0} $ , maka turunkan lagi pembilang dan penyebutnya.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 :
*). Menurunkan fungsi trigonometrinya :
$\begin{align} y & = \tan (-x + h) - \tan (-x-h) \\ y^\prime & = \sec ^2 (-x +h) - (-1).\sec ^2 (-x-h) \\ y^\prime & = \sec ^2 (-x +h) + \sec ^2 (-x-h) \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{ \sqrt{4-h^2}} . \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h} \, \, \, \, \text{(turunkan)} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{ \sqrt{4-h^2}} . \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sec ^2 (-x +h) + \sec ^2 (-x-h)}{1} \\ & = \frac{1}{ \sqrt{4-0^2}} . \frac{\sec ^2 (-x +0) + \sec ^2 (-x-0)}{1} \\ & = \frac{1}{ 2} . (\sec ^2 (-x ) + \sec ^2 (-x ) ) \\ & = \frac{1}{ 2} . (2\sec ^2 (-x ) ) \\ & = \sec ^2 (-x ) \\ & = \sec ^2 x \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \sec ^2 x . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = .... $
A). $ \sec ^2 x \, $ B). $ 2\sec ^2 x \, $ C). $ 4\sec ^2 x \, $ D). $ \sec x \, $ E). $2\sec x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Konsep Trigonometri :
$ \tan (A - B)= \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A . \tan B} \rightarrow \tan A - \tan B = \tan (A - B) . (1 + \tan A . \tan B) $
$ \tan ^2 (-A) = \tan ^2 A $
*). Identitas trigonometri :
$ 1 + \tan ^2 A = \sec ^2 A $
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\tan ax}{bx} = \frac{a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 :
*). Mengubah bentuk:
$\begin{align} & \tan (-x + h) - \tan (-x-h) \\ & = \tan [(-x + h) - (-x-h) ].[ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) ] \\ & = \tan 2h.[ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) ] \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan 2h.[ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) ]}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan 2h}{h} . \frac{ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) }{\sqrt{4-h^2}} \\ & = \frac{2}{1} . \frac{ 1 + \tan (-x + 0) . \tan (-x-0) }{\sqrt{4-0^2}} \\ & = 2. \frac{ 1 + \tan (-x ) . \tan (-x) }{2} \\ & = 1 + \tan ^2 (-x ) \\ & = 1 + \tan ^2 x \\ & = \sec ^2 x \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \sec ^2 x . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 245 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = .... $
A). $ \sec ^2 x \, $ B). $ 2\sec ^2 x \, $ C). $ 4\sec ^2 x \, $ D). $ \sec x \, $ E). $2\sec x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Konsep Trigonometri :
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $
$ \sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (-A) = \cos A $
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk dengan $ \sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$\begin{align} & \tan ( - x + h ) - \tan (-x - h) \\ & = \frac{\sin (-x+h)}{\cos (-x+h)} - \frac{\sin (-x-h)}{\cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin (-x+h) \cos (-x-h)}{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} - \frac{\cos (-x + h)\sin (-x-h)}{\cos (-x + h)\cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin (-x+h) \cos (-x-h) - \cos (-x + h)\sin (-x-h) }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin [(-x+h) - (-x-h) ] }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin 2h }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin 2h }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} }{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin 2h }{h} . \frac{1}{\sqrt{4-h^2} \cos (-x+h) \cos (-x-h)} \\ & = \frac{2 }{1} . \frac{1}{\sqrt{4-0^2} \cos (-x+0) \cos (-x-0)} \\ & = 2. \frac{1}{2\cos (-x ) \cos (-x )} \\ & = \frac{1}{ \cos x \cos x} \\ & = \frac{1}{ \cos ^2 x } \\ & = \sec ^2 x \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \sec ^2 x . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 245 Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Pertidaksamaan
Jika grafik $ f(x) $ di bawah grafik fungsi $ g(x) $, maka berlaku $ f(x) < g(x) $
*). Suatu fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ disebut memenuhi definis positif jika $ a > 0 $ dan $ D < 0 $, dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Definit positif artinya nilai fungsi kuadrat selalu positif untuk semua nilai variabelnya ($x$).
*). Jika terdapat suatu fungsi bernilai definit positif, maka fungsi tersebut bisa diabaikan karena tidak akan berpengaruh pada pertidaksamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 3^x $
Grafik $ y_1 = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y_2 = 3^x + 1 \, $ maka berlaku :
$\begin{align} y_1 & < y_2 \\ 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x & < 3^x + 1 \\ 3^{x }. 3^1 - \left(\frac{1}{3^2} \right)^x & < 3^x + 1 \\ 3. 3^{x } - \frac{1}{3^{2x}} - 3^x - 1 & < 0 \\ 2. 3^{x } - \frac{1}{(3^x)^2} - 1 & < 0 \\ 2p - \frac{1}{p^2} - 1 & < 0 \\ \frac{2p . p^2}{p^2} - \frac{1}{p^2} - \frac{p^2}{p^2} & < 0 \\ \frac{2p^3 - p^2 - 1}{p^2} & < 0 \, \, \, \, \, \, \text{(faktorkan)} \\ \frac{(2p^2+p+1)(p-1)}{p^2} & < 0 \end{align} $
*). Bentuk $ 2p^2+p+1 \, $ dan $ p^2 $ adalah definit positif, sehingga bisa diabaikan, pertidaksamaannya menjadi :
$\begin{align} \frac{(2p^2+p+1)(p-1)}{p^2} & < 0 \\ (p-1) & < 0 \\ p & < 1 \\ 3^x & < 1 \\ 3^x & < 3^0 \\ x & < 0 \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ x < 0 . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 3x^2-2$, dan sisa pembagian $ (x+f(x))^2$ oleh $ x^3-3x+5$ adalah $ ax^2+bx+c$, maka $ a - b - c = .... $
A). $ 33 \, $ B). $ 43 \, $ C). $ 53 \, $ D). $ 63 \, $ E). $ 73 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
atau dapat dipersingkat menjadi :
$ f = ph + s $
Keterangan :
$ f(x) = f \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = p \, $ pembagi,
$ h(x) = h \, $ hasil bagi,
$ s(x) = s \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 :
*). $ f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s_1(x) = 3x^2 - 2 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ f(x) = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \, $ ....(i)
atau $ f = p.h_1 + s_1 $
*). $ [x +f(x)]^2 \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s_2(x) = ax^2 + bx + c $ dan hasil bagi $ h_2(x) $
*). Menentukan bentuk $ [ x + f(x)]^2 \, $ atau $ [ x + f]^2 $
$\begin{align} [x + f(x)]^2 & = [x + f]^2 \\ & = [ x + p.h_1 + s_1]^2 \\ & = p(2h_1x+2h_1s_1+ph_1^2) + x^2+2s_1x+s_1^2 \end{align} $
Bentuk $ p(2h_1x+2h_1s_1+ph_1^2) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , sehingga tinggal mencari sisa pembagian $ x^2+2s_1x+s_1^2 $ oleh $ p $.
*). Menentukan bentuk $ x^2+2s_1x+s_1^2 $ :
$\begin{align} x^2+2s_1x+s_1^2 & = x^2+2(3x^2 - 2)x+(3x^2 - 2)^2 \\ & = x^2+6x^3 - 4x+ 9x^4 - 12x^2 + 4 \\ & = 9x^4 + 6x^3 - 11x^2 - 4x + 4 \end{align} $
Dengan cara pembagian bersusun, sisa pembagian $ 9x^4 + 6x^3 - 11x^2 - 4x + 4 $ oleh $ p(x) = x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 16x^2 - 31x - 26 $ .
artinya kita peroleh sisa pembagian $ [x+f(x)]^2 $ oleh $ p(x)=x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 16x^2 - 31x - 26 $ yang bentuknya sama dengan $ s_2(x) = ax^2 + bx + c $ . Sehingga $ 16x^2 - 31x - 26 = ax^2 + bx + c $ kita peroleh $ a = 16, b = -31, $ dan $ c = -26 $.
*). Menentukan hasil :
$ a - b - c = 16 - (-31)-(-26) = 73 $.
Jadi, nilai $ a - b - c = 73 . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 245 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 3x^2-2$, dan sisa pembagian $ (x+f(x))^2$ oleh $ x^3-3x+5$ adalah $ ax^2+bx+c$, maka $ a - b - c = .... $
A). $ 33 \, $ B). $ 43 \, $ C). $ 53 \, $ D). $ 63 \, $ E). $ 73 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 :
*). $ f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s(x) = 3x^2 - 2 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ f(x) = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \, $ ....(i)
*). $ [x +f(x)]^2 \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s(x) = ax^2 + bx + c $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ [x +f(x)]^2 = p(x).h_2(x) + (ax^2 + bx + c ) \, $ ....(ii)
*). Agar kedua persamaan bisa diselesaikan, maka kita harus substitusi nilai $ x $ yang merupakan akar-akar dari pembaginya yaitu $ p(x) = x^3 - 3x + 5 $. Misalkan salah satu akarnya adalah $ x = z $, maka $ p(z) = z^3 - 3z + 5 = 0 $.
*). Dari bentuk $ z^3 - 3z + 5 = 0 $, kita peroleh :
$ z^3 - 3z + 5 = 0 \rightarrow z^3 = 3z - 5 $.
kita kalikan dengan $ z $ :
$ z^3 . z = (3z - 5) . z \rightarrow z^4 = 3z^2 - 5z $.
*). Substitusi $ x = z \, $ ke pers(i) dan $ p(z) = 0 $
$\begin{align} f(x) & = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \\ f(z) & = p(z).h_1(z) + (3z^2 - 2 ) \\ f(z) & = 0.h_1(z) + (3z^2 - 2 ) \\ f(z) & = 3z^2 - 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(iii)} \end{align} $
*). Substitusi $ x = z $ ke pers(ii), dan $ p(z) = 0 $ , serta $ z^3 = 3z - 5 , \, z^4 = 3z^2 - 5z $ serta kita gunakan $ f(z) = 3z^2 - 2 $
$\begin{align} [x +f(x)]^2 & = p(x).h_2(x) + (ax^2 + bx + c ) \\ [z +f(z)]^2 & = p(z).h_2(z) + (az^2 + bz + c ) \\ [z + 3z^2 - 2 ]^2 & = 0.h_2(z) + (az^2 + bz + c ) \\ [3z^2 + z- 2 ]^2 & = az^2 + bz + c \\ 9z^4 + 6z^3 - 11z^2 - 4z + 4 & = az^2 + bz + c \\ 9(3z^2 - 5z) + 6(3z - 5) - & 11z^2 - 4z + 4 \\ & = az^2 + bz + c \\ 16z^2 - 31z - 26 & = az^2 + bz + c \end{align} $
dari persamaan $ 16z^2 - 31z - 26 = az^2 + bz + c $ kita peroleh $ a = 16, b = -31, $ dan $ c = -26 $.
*). Menentukan hasil :
$ a - b - c = 16 - (-31)-(-26) = 73 $.
Jadi, nilai $ a - b - c = 73 . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 245 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P merupakan titik tengah BF, dan Q merupakan titik tengah DC. Jika $\angle PHQ = \theta$, maka $ \cos \theta = .... $
A). $ \frac{2}{15}\sqrt{5} \, $ B). $ \frac{4}{15}\sqrt{5} \, $ C). $ \frac{2}{5}\sqrt{5} \, $ D). $ \frac{9}{130}\sqrt{65} \, $ E). $ \frac{4}{15}\sqrt{65} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Aturan Cosinus
Pada segitiga ABC di atas, berlaku aturan cosinus :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos A \rightarrow \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2 }{2ac} $
$ c^2 = b^2 + a^2 - 2ba \cos A \rightarrow \cos C = \frac{b^2 + a^2 - c^2 }{2ba} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar, misalkan panjang rusuknya 2 (panjang rusuk yang kita pilih bebas jika yang ditanyakan nilai trigonometri atau sudutnya).
*). Menentukan panjang sisi $ \Delta$PHQ :
-). Panjang HP pada segitiga HFP
$ HP = \sqrt{HF^2 + FP^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3 $
-). Panjang HQ pada $ \Delta$HDQ
$ HQ = \sqrt{HD^2 + DQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
-). Panjang BQ pada $ \Delta$BCQ
$ BQ = \sqrt{BC^2 + CQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
-). Panjang PQ pada $ \Delta$BPQ
$ PQ = \sqrt{BQ^2 + BP^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada $ \Delta$PHQ dengan aturan cosinus
$\begin{align} \cos \theta & = \frac{HQ^2 + HP^2 - PQ^2}{2.HQ.HP} \\ & = \frac{(\sqrt{5})^2 + 3^2 - (\sqrt{6})^2}{2.\sqrt{5}.3} \\ & = \frac{5 + 9 - 6}{6\sqrt{5}} = \frac{8}{6\sqrt{5}} = \frac{4}{3\sqrt{5}} \\ & = \frac{4}{3\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\ & = \frac{4\sqrt{5}}{3 . 5} = \frac{4\sqrt{5}}{15} = \frac{4}{15} \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{4}{15} \sqrt{5} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)