Cara 2 Pembahasan Matriks UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan $ a $ bilangan bulat dan $ P = \left( \begin{matrix} a & a^2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) $ . Jika determinan $ P $ dan determinan $ P^{-1} $ sama, maka nilai terbesar $ a $ adalah ...
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan ada matriks : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Determinan matriks A :
det$(A) = ad - bc $
-). Sifat determinan :
$ det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} $
*). Rumus ABC persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui matriks $ P = \left( \begin{matrix} a & a^2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) $
$ det(P) = a.2 - 1.a^2 = 2a - a^2 $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} det(P) & = det(P^{-1}) \\ det(P) & = \frac{1}{det(P)} \\ [det(P)]^2 & = 1 \\ (2a - a^2)^2 & = 1 \\ (2a - a^2) & = \pm \sqrt{1} \\ (2a - a^2) & = \pm 1 \\ (2a - a^2) & = 1 \vee (2a - a^2) = -1 \\ a^2 - 2a + 1 & = 0 \vee a^2 - 2a - 1 = 0 \\ ( a - 1)^2 & = 0 \vee a_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4.1.(-1)}}{2.1} \\ ( a - 1) & = \sqrt{ 0 } \vee a_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ ( a - 1) & = 0 \vee a_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ a & = 1 \vee a_{1,2} = 1 \pm \sqrt{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ a $ yang mungkin :
$ a = 1, a = 1 + \sqrt{2} $ , dan $ a = 1 - \sqrt{2} $
Karena $ a $ bilangan bulat, maka $ a = 1 $ yang memenuhi.
Jadi, nilai $ a $ terbesar adalah $ a = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan $ a $ bilangan bulat dan $ P = \left( \begin{matrix} a & a^2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) $ . Jika determinan $ P $ dan determinan $ P^{-1} $ sama, maka nilai terbesar $ a $ adalah ...
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan ada matriks : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Determinan matriks A :
det$(A) = ad - bc $
-). Invers matriks A :
$ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Rumus ABC persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui matriks $ P = \left( \begin{matrix} a & a^2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) $
$ det(P) = a.2 - 1.a^2 = 2a - a^2 $
*). Menentukan invers matriks P dan determinannya :
$\begin{align} P^{-1} & = \frac{1}{det(P)} adj(P) \\ & = \frac{1}{2a - a^2} \left( \begin{matrix} 2 & -a^2 \\ -1 & a \end{matrix} \right) \\ P & = \left( \begin{matrix} \frac{2}{2a - a^2} & \frac{-a^2}{2a - a^2} \\ \frac{-1}{2a - a^2} & \frac{a}{2a - a^2} \end{matrix} \right) \\ det(P^{-1} ) & = \frac{2}{2a - a^2} . \frac{a}{2a - a^2} - \frac{-a^2}{2a - a^2} . \frac{-1}{2a - a^2} \\ & = \frac{2a}{(2a - a^2)^2} - \frac{a^2}{(2a - a^2)^2} \\ & = \frac{2a-a^2}{(2a - a^2)^2} \\ det(P^{-1})& = \frac{1}{(2a - a^2)} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} det(P) & = det(P^{-1}) \\ (2a - a^2) & = \frac{1}{(2a - a^2)} \\ (2a - a^2)^2 & = 1 \\ (2a - a^2) & = \pm \sqrt{1} \\ (2a - a^2) & = \pm 1 \\ (2a - a^2) & = 1 \vee (2a - a^2) = -1 \\ a^2 - 2a + 1 & = 0 \vee a^2 - 2a - 1 = 0 \\ ( a - 1)^2 & = 0 \vee a_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4.1.(-1)}}{2.1} \\ ( a - 1) & = \sqrt{ 0 } \vee a_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ ( a - 1) & = 0 \vee a_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ a & = 1 \vee a_{1,2} = 1 \pm \sqrt{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ a $ yang mungkin :
$ a = 1, a = 1 + \sqrt{2} $ , dan $ a = 1 - \sqrt{2} $
Karena $ a $ bilangan bulat, maka $ a = 1 $ yang memenuhi.
Jadi, nilai $ a $ terbesar adalah $ a = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Geometri UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan deret geometri tak hingga $ p = 2x -1 + (2x-1)^2 + (2x-1)^3 + ... $ Nilai $ x $ yang memenuhi $ p < 2 $ adalah ...
A). $ 0 < x < \frac{5}{6} \, $ B). $ \frac{5}{6} < x < 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} < x < 1 \, $
D). $ 1 < x < \frac{6}{5} \, $ E). $ x > 1 \, $ atau $ x < \frac{5}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus deret geometri tak hingga :
$ s_\infty = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + .... $
$ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = ... $
*). Syarat deret geometri tak hingga konvergen :
$ -1 < r < 1 $
*). Suatu deret geometri tak hingga dapat dihitung dengan rumus $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $ jika deret geometri tak hingga tersebut konvergen. Sehingga kita juga harus mencari syarat kekonvergenannya.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Untuk pertidaksamaan pecahan, tidak dikalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui deret : $ p = 2x -1 + (2x-1)^2 + (2x-1)^3 + ... $
$ a = 2x - 1 $ dan $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{(2x-1)^2}{(2x-1)} = (2x-1) $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$\begin{align} p & = 2x -1 + (2x-1)^2 + (2x-1)^3 + ... \\ p & = \frac{a}{1-r} \\ p & = \frac{(2x-1)}{1-(2x-1)} \\ p & = \frac{(2x-1)}{2 - 2x} \end{align} $
*). Menyelesaikan syarat konvergen :
$\begin{align} -1 < & r < 1 \\ -1 < & 2x - 1 < 1 \, \, \, \, \, \, \text{(tambah 1)} \\ -1 + 1 < & 2x - 1 + 1 < 1 + 1 \\ 0 < & 2x < 2 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 0 < & x < 1 \end{align} $
Kita peroleh $ HP_1 = \{ 0 < x < 1 \} $
*). Menyelesaikan bentuk $ p < 2 $ :
$\begin{align} p & < 2 \\ \frac{(2x-1)}{2 - 2x} & < 2 \\ \frac{(2x-1)}{2 - 2x} - 2 & < 0 \\ \frac{(2x-1)}{2 - 2x} - \frac{2(2-2x)}{2 - 2x} & < 0 \\ \frac{(2x-1)}{2 - 2x} - \frac{4 - 4x}{2 - 2x} & < 0 \\ \frac{2x - 1 -4 + 4x}{2 - 2x} & < 0 \\ \frac{6x - 5}{2 - 2x} & < 0 \\ \end{align} $
Akar pembilangnya : $ 6x - 5 = 0 \rightarrow x = \frac{5}{6} $
Akar penyebutnya : $ 2 - 2x = 0 \rightarrow x = 1 $
Garis bilangannya :
 

sehingga $ HP_2 = \{ x < \frac{5}{6} \vee x > 1 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ 0 < x < 1 \} \cap \{ x < \frac{5}{6} \vee x > 1 \} \\ & = \{ 0 < x < \frac{5}{6} \} \end{align} $
Jadi, nilai $ x $ adalah $ \{ 0 < x < \frac{5}{6} \} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UTUL UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286


Nomor 1
Diberikan deret geometri tak hingga $ p = 2x -1 + (2x-1)^2 + (2x-1)^3 + ... $ Nilai $ x $ yang memenuhi $ p < 2 $ adalah ...
A). $ 0 < x < \frac{5}{6} \, $ B). $ \frac{5}{6} < x < 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} < x < 1 \, $
D). $ 1 < x < \frac{6}{5} \, $ E). $ x > 1 \, $ atau $ x < \frac{5}{6} $
Nomor 2
Diberikan $ a $ bilangan bulat dan $ P = \left( \begin{matrix} a & a^2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) $ . Jika determinan $ P $ dan determinan $ P^{-1} $ sama, maka nilai terbesar $ a $ adalah ...
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $
Nomor 3
Jika $ 2 \cos x \sin x + 1 = 2\cos x + \sin x $ dengan $ 0 \leq x \leq 2\pi $, maka jumlah semua nilai $ x $ yang memenuhi persamaan tersebut adalah ...
A). $ \frac{5}{6} \pi \, $ B). $ \frac{13}{6} \pi \, $ C). $ 2 \pi \, $ D). $ \frac{5}{2} \pi \, $ E). $ 3 \pi $
Nomor 4
Ketika angka 1 sampai dengan 5 ditata berjejer embentuk suatu bilangan, maka peluang terbentuknya bilangan genap sehingga angka 2 tidak berada di posisi lebih depan daripada angka 1 adalah ...
A). $\frac{1}{8} \, $ B). $ \frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{3}{10} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{2}{7} \, $
Nomor 5
Jika $ f(x) = \frac{2x-1}{x+3} $ , maka fungsi $ f^\prime $ naik ketika ...
A). $ x < -3 \, $ B). $ -3 < x < -\frac{5}{4} \, $ C). $ x < -\frac{4}{5} \, $
D).$ x $ bilangan real kecuali $ x = -3 $
E). $ x > 3 \, $

Nomor 6
Jika matriks $ \left( \begin{matrix} {}^4 \log 2^x & 1 \\ {}^2 \log 4^y & x \end{matrix} \right) $ tidak mempunyai invers dan $ x^2 + y^2 = 32 $, maka nilai $ {}^x \log y = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 7
Jika $ a $ dan $ b $ memenuhi sistem persamaan :
$\left\{ \begin{array}{c} \frac{3}{\log a} + \frac{4}{\log b} = 7 \\ -\frac{1}{\log a} + \frac{2}{\log b} = 11 \end{array} \right. $
maka $ {}^a \log \frac{1}{b} + {}^b \log \frac{1}{a} = ... $
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{7}{12} \, $ C). $ 1\frac{1}{6} \, $ D). $ 2\frac{1}{12} \, $ E). $ 2\frac{1}{4} $
Nomor 8
Garis singgung kurva $ f(x) = ax^2 + bx + c $ di titik $ (-1,a) $ melalui titik $ (0,3) $. Jika jumlah kuadrat akar-akarnya sama dengan $ 3 $ dan $ a < 0 $, maka $ b = ...$
A). $ -\frac{3}{2} \, $ B). $ -\frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{3}{2} $
Nomor 9
Jika $ x $ dan $ y $ bilangan real yang memenuhi $ x - y = 1 $ dan $ (x^2 - y^2)(x^2-2xy+y^2) = 3 $ , maka nilai $ xy = ...$
A). $ 1 - \sqrt{2} \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 + \sqrt{2} $
Nomor 10
Himpunan semua bilangan real $ x > 1 $ yang memenuhi $ \frac{x^2-3x+4}{-x+3}>x $ adalah $ \{x | x \in R , a < x < b \} $ . Nilai $ a + b = ... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

Nomor 11
Nilai maksimum fungsi objektif $ f(x,y) = 2x + 5y $ dengan kendala-kendala $ 2x - 3y \leq 12 $ , $ x + 2y \leq 20 $ , $ 0 \leq y \leq 6 $ , $ x \geq 2 $ adalah ...
A). $ 26 \, $ B). $ 34 \, $ C). $ 44 \, $ D). $ 46 \, $ E). $ 54 $
Nomor 12
Diberikan $ S_n = 3 + 5 + ... + (2n+1) $ dan $ S = 3 + 2(0,6) + 2(0,6)^2 + ... $ Salah satu nilai $ n $ yang memenuhi persamaan $ S = \frac{S_n}{2(n-2)} $ adalah ...
A). $ 10 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 5 $
Nomor 13
Jika $ p = \sqrt[3]{x^2} $ dan $ x $ memenuhi $ \sqrt[2]{\sqrt[3]{x} + 3} = 1 + \sqrt[3]{x} $ , maka hasil kali semua nilai $ p $ yang memenuhi adalah ...
A). $ 0 $ B). $ 1 $ C). $ 2 $ D). $ 4 $ E). $ 8 $
Nomor 14
Jika $ 2 \left( {}^x \log \frac{1}{3^x+2}\right)\left( {}^3 \log \frac{1}{x} \right)=2+x$ , maka $ (27)^x = ...$
A). $ 8 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 27 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 125 $
Nomor 15
Diketahui $ b, c, d $ bilangan-bilangan bulat positif. Jika parabola $ y = x^2 + bx + c $ dan garis $ y = dx $ mempunyai tepat satu titi berserikat, maka pernyataan berikut yang benar adalah ...
A). $ b = 0 \, $ B). $ d - b \, $ genap C). $ c = 0 \, $
D). $ |d| \geq |a|^2 + |b|^2 \, $ E). $ d > 1 $
Nomor 16
Jika $ a > 0 $ dan selisih akar-akar persamaan kuadrat $ 5x^2 - 10ax + 8a = 0 $ sama dengan 3, maka $ a^2 - a = ...$
A). $ 1\frac{1}{9} \, $ B). $ 3\frac{3}{4} \, $ C). $ 4\frac{4}{9} \, $ D). $ 7\frac{1}{2} \, $ E). $ 8\frac{3}{4} $
Nomor 17
Dua perusahaan masing-masing memiliki 6 karyawan dengan rata-rata usia karyawannya adalah 35 tahun dan 38 tahun. Jika satu orang di masing-masing perusahaan dipertukarkan, maka rata-rata kedua kelompok tersebut menjadi sama. Selisih usia kedua karyawan yang dipertukarkan tersebut adalah ...
A). $ 3 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 9 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 18 $
Nomor 18
Jika $ f^{-1} $ adalah invers fungsi $ f $ dengan $ f^{-1}(1-x)=\frac{2x-1}{1-x} $ , maka $ \frac{f(x-2)-f^{-1}(x)}{2} = ...$
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{x}+2 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ \frac{1}{x} - 2 \, $
Nomor 19
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^n - 2^n}{x^\frac{n}{3} - 2^\frac{n}{3}} = 3\sqrt[3]{16} $ , maka $ n = ...$
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 20
Gradien kurva $ f(x) = x^3 - 4x^2 + ax - 5 $ di titik $ (-1,f(-1)) $ sama dengan $ 5a-1$. Gradien kurva di titik $ (2, f(2)) $ adalah ...
A). $ 3 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $