2010 : Pembahasan Persamaan Kuadrat UTUL atau UM UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 - bx + 1 = 0 $ adalah $ p $ dan $ 2p$, dengan $ p $ bilangan bulat. Jika $1, \, a, \, b $ merupakan 3 suku berurutan suatu barisan aritmetika, maka $ p = ... $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK) :
*). Operasi akar-akar PK : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Barisan Aritmetika memiliki ciri-ciri : Selisih sama
$ U_1 , U_2, U_3, .... \, $ maka $ U_2 - U_1 = U_3 - U_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK $ ax^2 - bx + 1 = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 = p \, $ dan $ x_2 = 2p $ , dengan $ p $ bilangan bulat, sehingga operasi akar-akarnya :
$ \begin{align} x_1 + x_ 2 & = \frac{-b}{a} \\ p + 2p & = \frac{-(-b)}{a} \\ 3p & = \frac{b}{a} \\ p & = \frac{b}{3a} \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ x_1 . x_ 2 & = \frac{c}{a} \\ p . 2p & = \frac{1}{a} \\ 2p^2 & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Susbtitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} p = \frac{b}{3a} \rightarrow 2p^2 & = \frac{1}{a} \\ 2( \frac{b}{3a} )^2 & = \frac{1}{a} \\ 2( \frac{b^2}{9a^2} ) & = \frac{1}{a} \\ \frac{2b^2}{9a^2} & = \frac{1}{a} \\ a & = \frac{2}{9} b^2 \end{align} $
*). Barisan $ 1, a, b \, $ adalah aritmetika sehingga selisih sama :
$ \begin{align} a - 1 & = b - a \\ 2a & = b + 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align} $
*). substitusi $ a = \frac{2}{9} b^2 $ ke persamaan(iii) :
$ \begin{align} 2a & = b + 1 \\ 2 . \frac{2}{9} b^2 & = b + 1 \\ \frac{4}{9} b^2 & = b + 1 \\ 4b^2 & = 9b + 9 \\ 4b^2 - 9b - 9 & = 0 \\ (4b + 3)(b - 3) & = 0 \\ b = -\frac{3}{4} \vee b & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$ \begin{align} b = -\frac{3}{4} \rightarrow a & = \frac{2}{9} b^2 \\ a & = \frac{2}{9} (-\frac{3}{4})^2 = \frac{1}{8} \\ p & = \frac{b}{3a} = \frac{-\frac{3}{4}}{3 . \frac{1}{8} } = -2 \\ b = 3 \rightarrow a & = \frac{2}{9} b^2 \\ a & = \frac{2}{9} (3)^2 = 2 \\ p & = \frac{b}{3a} = \frac{3}{3 .2} = \frac{1}{2} \end{align} $
Karena nilai $ p $ bulat, maka $ p = -2 $ yang memenuhi.
Jadi, nilai $ p = -2 . \, \heartsuit $



2010 : Pembahasan Garis Singgung UTUL atau UM UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ y = x^4 - x^2 $ di titik $(1,0)$ dan $(-1,0)$ berpotongan di $(a,b)$. Nilai $ a - b = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis Singgung Kurva
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ adalah :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = x^4 - x^2 $ :
$ f^\prime (x) = 4x^3 - 2x $
*). Persamaan garis singgung pertama di titik $(1,0) $ :
$ m = f^\prime (1) = 4.1^3 - 2.1 = 2 $
$ \begin{align} y - y_1 & = m (x-x_1) \\ y - 0 & = 2 (x-1) \\ y & = 2 x - 2 \end{align} $
*). Persamaan garis singgung kedua di titik $(-1,0) $ :
$ m = f^\prime (-1) = 4.(-1)^3 - 2.(-1) = -2 $
$ \begin{align} y - y_1 & = m (x-x_1) \\ y - 0 & = -2 (x-(-1)) \\ y - 0 & = -2 (x + 1) \\ y & = -2 x - 2 \end{align} $
*). Menentukan titik potong kedua garis singgung :
Samakan kedua persamaan garis singgung,
$ \begin{align} y & = y \\ 2x - 2 & = -2x - 2 \\ 4x & = 0 \\ x & = 0 \end{align} $
Sehingga : $ y = 2x - 2 = 2.0 - 2 = -2 $
Artinya titik potong kedua garis di titik $(a,b) = (0,-2 $
Nilai $ a - b = 0 - (-2) = 2 $.
Jadi, nilai $ a - b = 2 . \, \heartsuit $



2010 : Pembahasan Turunan UTUL atau UM UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Kurva $ y = \frac{x^2}{x-1} $ mencapai maksimum relatif di ....
A). $ (2,4) \, $ B). $ (0,0) \, $ C). $ (2,\frac{4}{3}) \, $ D). $ (3,\frac{9}{2}) \, $ E). $ (-2, -\frac{4}{3}) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan :
*). $ y = f(x) \, $ maksimum atau minimum relatif pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
*). Uji turunan pertama :
Untuk menentukan jenis maksimum atau minimum relatif, kita bisa menggunakan uji turunan pertama.
*). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{x^2}{x-1} = \frac{U}{V} \\ U & = x^2 \rightarrow U^\prime = 2x \\ V & = x - 1 \rightarrow V^\prime = 1 \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2x.(x-1) - x^2.1}{(x-1)^2} \\ & = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} \\ \end{align} $ .
*). Menentukan nilai $ x $ dari syarat $ f^\prime (x) = 0 $ :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} & = 0 \\ x^2 - 2x & = 0 \\ x(x-2) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 2 \end{align} $
*). Uji turunan pertama untuk $ x = 0 $ dan $ x = 2 $ sehingga kita bisa mengetahui mana yang menyebabkan nilai maksimum relatif atau nilai minimum relatif. Kita gunakan garis bilangan turunan pertama.
 

Dari garis bilangan tersebut, dapat disimpulkan :
$ f(x) $ mencapai maksimum relatif pada saat $ x = 0 $,
$ f(x) $ mencapai minimum relatif pada saat $ x = 2 $,
*). Susbstitusi nilai $ x = 0 $ ke fungsi awal : $ y = f(x) = \frac{x^2}{x-1} $
$ x = 0 \rightarrow y = \frac{x^2}{x-1} = \frac{0^2}{0-1} = 0 $
artinya fungsi $ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $ mencapai maksimum relatif di titik $(0,0)$.
Jadi, kurva maksimum relatif di titik $(0,0) . \, \heartsuit $