Pembahasan Matriks UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
JIka $ \left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & -7 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix} \right] $ , maka nilai $ x + y = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers matriks :
$ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} . \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] $
*). SIfat invers matriks :
$ AB = C \rightarrow B = A^{-1}. C $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ dan $ y $ :
$ \begin{align} \left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & -7 \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & -7 \end{matrix} \right]^{-1} . \left[ \begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{2.(-7) - 5.6} \left[ \begin{matrix} -7 & -5 \\ -6 & 2 \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{-44} \left[ \begin{matrix} -7 & -5 \\ -6 & 2 \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{-44} \left[ \begin{matrix} -88 \\ -44 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right] \end{align} $
Artinya nilai $ x = 2 $ dan $ y = 1 $
*). Menentukan nilai $ x + y $ :
$ \begin{align} x + y & = 2 + 1 = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ x + y = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan lingkaran melalui titik $ A(-1,2) $ dan $ B(3,8) $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 - 2x + 10y + 13 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 - 2x - 10y + 13 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 + 2x - 10y - 13 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 - 10x -2y + 13 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 - 2x + 10y 13 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran titik pusat $ (a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ \, \, \, \, \, \, ( x- a)^2 + ( y - b)^2 = r^2 $
*). Titik tengah antara dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ yaitu :
$ \, \, \, \, \left( \frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $
*). Jarak antara dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ :
Jarak $ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkaran melalui titik $ A(-1,2) $ dan $ B(3,8) $, artinya titik A dan B sebagai ujung-ujung diameternya, sehingga :
-). panjang diameternya adalah jarak titik A ke B :
$ \begin{align} d & = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\ & = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (8 - 2)^2} \\ & = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} \\ & = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \end{align} $
jari-jarinya : $ r = \frac{1}{2}d = \frac{1}{2}.2\sqrt{13} = \sqrt{13} $
-). Titik pusatnya adalah titik tengan antara titik A dan B :
$ \begin{align} (a,b) & = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{-1 + 3}{2} , \frac{2 + 8}{2} \right) \\ & = \left( \frac{2}{2} , \frac{10}{2} \right) = \left( 1 , 5 \right) \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkarannya :
$ \begin{align} ( x- a)^2 + ( y - b)^2 & = r^2 \\ ( x- 1)^2 + ( y - 5)^2 & = (\sqrt{13})^2 \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 10y + 25 & = 13 \\ x^2 + y^2 - 2x - 10y + 13 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ x^2 + y^2 - 2x - 10y + 13 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui suatu persamaan kuadrat dengan koefisien bulat akar-akarnya adalah $ \cos 72^\circ $ dan $ \cos 144^\circ $. Persamaan kuadrat yang dimaksud adalah ....
A). $ x^2 + 2x - 4 = 0 \, $
B). $ x^2 - 4x + 2 = 0 $
C). $ 2x^2 + 4x - 1 = 0 $
D). $ 4x^2 + 2x - 1 = 0 $
E). $ 4x^2 - 2x + 1 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun Persamaan Kuadrat :
$ \, \, \, \, x^2 - (HJ)x + HK = 0 $
dengan HJ = hasil jumlah dan HK = hasil kali.
*). Beberapa rumus Trigonometri :
1). $ \cos A . \sin A = \frac{1}{2}\sin 2A $
2). $ \cos ( 180^\circ - x) - \cos x $
3). $ \sin (180^\circ - x ) = \sin x $
4). $ \cos A + \cos B = 2\cos \frac{A+B}{2}. \cos \frac{A-B}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai trigonometri :
$ \cos 108^\circ = \cos ( 180^\circ - 72^\circ) - \cos 72^\circ $
$ \sin 144^\circ = \sin (180^\circ - 36^\circ) = \sin 36^\circ$
$ \cos 144^\circ = \cos (180^\circ - 36^\circ) = -\cos 36^\circ$
Nilai $ \cos 72^\circ . \cos 36^\circ $ :
$ \begin{align} t & = \cos 72^\circ . \cos 36^\circ \\ & = \cos 72^\circ . \cos 36^\circ \times \frac{ \sin 36^\circ}{\sin 36^\circ} \\ & = \frac{ \cos 72^\circ . (\cos 36^\circ. \sin 36^\circ )}{\sin 36^\circ} \\ & = \frac{ \cos 72^\circ . \frac{1}{2}. \sin 2.36^\circ }{\sin 36^\circ} \\ & = \frac{ \frac{1}{2}. \cos 72^\circ . \sin 72^\circ }{\sin 36^\circ} \\ & = \frac{ \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2. 72^\circ }{\sin 36^\circ} \\ & = \frac{ \frac{1}{4} . \sin 144^\circ }{\sin 36^\circ} = \frac{ \frac{1}{4} \sin 36^\circ }{\sin 36^\circ} = \frac{1}{4} \end{align} $
Sehingga nilai $ \cos 72^\circ . \cos 36^\circ = \frac{1}{4} $
*). Menyusun persamaan kuadrat dengan akar-akar $ \cos 72^\circ $ dan $ \cos 144^\circ $
*). Menentukan HJ dan HK :
$ \begin{align} HJ & = \cos 144^\circ + \cos 72^\circ \\ & = 2[\cos \frac{144^\circ + 72^\circ}{2} . \cos \frac{144^\circ - 72^\circ}{2} ] \\ & = 2\cos 108^\circ . \cos 36^\circ \\ & = - 2\cos 72^\circ . \cos 36^\circ \\ & = - 2. \frac{1}{4} = - \frac{1}{2} \\ HK & = \cos 144^\circ . \cos 72^\circ \\ & = -\cos 36^\circ . \cos 72^\circ \\ & = -\frac{1}{4} \end{align} $
*). Menyusun persamaan kuadratnya :
$ \begin{align} x^2 - (HJ)x + HK & = 0 \\ x^2 - (-\frac{1}{2})x + (-\frac{1}{4}) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4x^2 + 2x - 1 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ 4x^2 + 2x - 1 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Logaritma UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) = 1 + {}^2 \log x $ adalah ....
A). $ {}^5 \log 2 \, $ B). $ {}^2 \log 5 \, $ C). $ \log \frac{2}{5} \, $
D). $ -1 \, $ atau $ 5 $
E). $ -5 \, $ atau $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log bc $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat eksponen :
$ a^{mn} = (a^n)^m $ dan $ a^{m+n} = a^m.a^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 2^x > 0 \, $ (bernilai positif) :
$ \begin{align} {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = 1 + {}^2 \log x \\ {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = {}^2 \log 2 + {}^2 \log x \\ {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = {}^2 \log 2x \\ {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = 2x \\ 2^{x+2} + 5 & = 2^{2x} \\ 2^2.2^{x } + 5 & = (2^x)^2 \\ 4p + 5 & = p^2 \\ p^2 - 4p - 5 & = 0 \\ (p + 1)(p-5) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = 5 \\ p = -1 \rightarrow & \, \text{(tidak memenuhi)} \\ p = 5 \rightarrow 2^x & = 5 \\ x & = {}^2 \log 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ x = {}^2 \log 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Eksponen UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Hasil kali akar-akar persamaan $ 2.4^x - 5.2^x + 2 = 0 $ adalah ....
A). $ -\frac{5}{2} \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 $ D). $ 1 $ E). $ \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat eksponen :
$ (a^m)^n = (a^n)^m $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 2^x $ :
$ \begin{align} 2.4^x - 5.2^x + 2 & = 0 \\ 2.(2^2)^x - 5.2^x + 2 & = 0 \\ 2.(2^x)^2 - 5.2^x + 2 & = 0 \\ 2p^2 - 5p + 2 & = 0 \\ (2p - 1)(p - 2) & = 0 \\ p = \frac{1}{2} \vee p & = 2 \\ p = \frac{1}{2} \rightarrow 2^x & = 2^{-1} \\ x & = -1 \\ p = 2 \rightarrow 2^x & = 2^1 \\ x & = 1 \end{align} $
*). Menentukan hail kali akar-akarnya :
$ \begin{align} x_1.x_2 & = -1.1 = -1 \end{align} $
Jadi, hail kali akar-akarnya adalah $ -1 . \, \heartsuit $