Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar tahun 2015 Nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diketahui garis $ 2x + (p-2)y + 1 = 0 \, $ sejajar dengan garis $ (p-1)x + 6y + 7 = 0 . \, $ Misalkan $ a \, $ dan $ b $ adalah nilai-nilai $ p $ yang memenuhi persamaan tersebut dengan $ a < b , \, $ maka nilai dari $ {{}^{(a+7)}}^\frac{1}{5} \log b^2 = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar :
*). Gradien : $ ax + by + c = 0 \rightarrow m = -\frac{a}{b} $
*). Dua garis sejajar, maka besar gradiennya sama.
*). Sifat logaritma : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien kedua garis
$ 2x + (p-2)y + 1 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-2}{p-2} $
$ (p-1)x + 6y + 7 = 0 \rightarrow m_2 = \frac{-(p-1)}{6} $
$\spadesuit \, $ Kedua garis sejajar, sehingga gradiennya sama
$ \begin{align} m_1 & = m_2 \\ \frac{-2}{p-2} & = \frac{-(p-1)}{6} \\ (p-2)(p-1) & = 12 \\ p^2 - 3p + 2 & = 12 \\ p^2 - 3p -10 & = 0 \\ (p+2)(p-5) & = 0 \\ p = -2 \vee p & = 5 \end{align} $
Sehingga $ a = -2 \, $ dan $ b = 5 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$ \begin{align} {{}^{(a+7)}}^\frac{1}{5} \log b^2 & = {{}^{(-2+7)}}^\frac{1}{5} \log 5 ^2 \\ & = {{}^{5}}^\frac{1}{5} \log 5 ^2 \\ & = \frac{2}{\frac{1}{5}} \times {}^5 \log 5 \\ & = 2. \frac{5}{1} \times 1 \\ & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ {{}^{(a+7)}}^\frac{1}{5} \log b^2 = 10 . \heartsuit $
Nomor 12
Perkalian akar-akar real dari persamaan $ \frac{1}{x^2-10x-29} + \frac{1}{x^2-10x-45} - \frac{2}{x^2-10x-69} = 0 , \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar persamaan kuadrat
$ ax^2 + bx + c = 0 \rightarrow x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\clubsuit \, $ Jika $ \frac{a}{b} = 0 , \, $ maka $ a = 0 $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan dengan memisalkan : $ p = x^2 - 10x - 29 $
$ \begin{align} \frac{1}{x^2-10x-29} + \frac{1}{x^2-10x-45} - \frac{2}{x^2-10x-69} & = 0 \\ \frac{1}{x^2-10x-29} + \frac{1}{x^2-10x-29 -16} - \frac{2}{x^2-10x-29-40} & = 0 \\ \frac{1}{p} + \frac{1}{p -16} - \frac{2}{p-40} & = 0 \\ \frac{(p -16)(p-40) + p(p-40) - 2 p(p -16) }{p(p -16)(p-40)} & = 0 \\ \frac{p^2 -56p + 16.40 + p^2 - 40p -2p^2 + 32p }{p(p -16)(p-40)} & = 0 \\ \frac{-64p + 16.40}{p(p -16)(p-40)} & = 0 \\ -64p + 16.40 & = 0 \\ p & = 10 \end{align} $
Substitusi nilai $ p = 10 \, $ ke permisalan, kita peroleh :
$ x^2 - 10x - 29 = p \rightarrow x^2 - 10x - 29 = 10 \rightarrow x^2 - 10x - 39 = 0 $
Sehingga nilai $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-39}{1} = -39 $
Jadi, perkalian akar-akar realnya adalah $ -39. \heartsuit $
Nomor 13
Misalkan salah satu akar dari persamaan kuadrat $ x^2 - 10x + a = 0 \, $ mempunyai tanda yang berlawanan dengan salah satu akar dari persamaan kuadrat $ x^2 + 10x - a = 0 \, $ dimana $ a \, $ adalah sebuah bilangan real, maka jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan $ x^2 + 2ax - 5 = 0 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Operasi akar-akar persamaan kuadrat
$ ax^2 + bx + c = 0 \rightarrow x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ \, x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan dari operasi akar-akar :
*). PK I : $ x^2 - 10x + a = 0 \, $ akar-akarnya $ m \, $ dan $ \, n $
$ m + n = \frac{-(-10)}{1} \rightarrow m+n = 10 \, $ ....pers(i)
$ m . n = \frac{a}{1} \rightarrow m.n = a \rightarrow m = \frac{a}{n} $ ....pers(ii)
*). PK II : $ x^2 + 10x - a = 0 \, $ akar-akarnya $ p \, $ dan $ \, -n $
Karena akar PK I adalah $ n \, $ dan PK II memiliki tanda yang berlawanan dengan PK I sehingga salah satu akar dari PK II adalah $ \, - n $ .
$ p + (-n) = \frac{-(10)}{1} \rightarrow p-n = -10 \, $ ....pers(iii)
$ p.(-n) = \frac{-a}{1} \rightarrow -pn = -a \rightarrow p = \frac{a}{n} $ ....pers(iv)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) ke pers(iii)
$ \begin{array}{cc} m+n = 10 & \\ p-n = -10 & + \\ \hline m + p = 0 \end{array} $
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(iv) ke $ m + p = 0 $
$\begin{align} m + p & = 0 \\ \frac{a}{n} + \frac{a}{n} & = 0 \\ \frac{2a}{n} & = 0 \\ 2a & = 0 \\ a & = 0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Sehingga PK $ x^2 + 2ax - 5 = 0 \, $ menjadi
$\begin{align} x^2 + 2ax - 5 & = 0 \\ x^2 + 2.0.x - 5 & = 0 \\ x^2 - 5 & = 0 \\ x^2 & = 5 \\ x & = \pm \sqrt{ 5 } \\ x_1 = \sqrt{ 5 } \vee x_2 & = - \sqrt{ 5 } \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan jumlah kuadratnya ($ x_1^2 + x_2^2 $)
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (\sqrt{ 5 })^2 + (-\sqrt{ 5 })^2 \\ & = 5 + 5 \\ & = 10 \end{align}$
Jadi, jumlah kuadratnya adalah 10 . $ \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan bulat positif yang tidak sama dengan satu dan persamaan $ \log _a x . \log _b x = \frac{\log _ x b }{\log _x a } . \, $ Nilai $ (a+b)x \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar logaritma
*). Bentuk $ \log _a b = {}^a \log b $
*). Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \log _a x . \log _b x & = \frac{\log _ x b }{\log _x a } \\ {}^a \log x . {}^b \log x & = \frac{{}^x \log b }{ {}^x \log a } \, \, \, \, \text{(gunakan sifat log)} \\ \frac{1}{ {}^x \log a } . {}^b \log x & = \frac{ 1 }{ {}^b \log x . {}^x \log a } \\ {}^b \log x & = \frac{ 1 }{ {}^b \log x } \\ ( {}^b \log x )^2 & = 1 \\ {}^b \log x & = \pm \sqrt{ 1 } \\ {}^b \log x & = \pm 1 \\ {}^b \log x & = 1 \vee {}^b \log x = - 1 \end{align}$
dengan definisi logaritma, sehingga diperoleh :
$ {}^b \log x = 1 \rightarrow x = b^1 = b $
$ {}^b \log x = -1 \rightarrow x = b^{-1} = \frac{1}{b} $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
*). Untuk $ x = b $
$ (a+b)x = (a+b)b = ab + b^2 $
*). Untuk $ x = \frac{1}{b} $
$ (a+b)x = (a+b)\frac{1}{b} = \frac{a}{b} + 1 $
Jadi, nilai $ (a+b)x \, $ adalah $ ab + b^2 \, $ atau $ \frac{a}{b} + 1 . \heartsuit $
Nomor 15
Misalkan $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right), \, D = \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) , \, $ dan $ P = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \, $ dengan $ a , b \, $ adalah bilangan-bilangan real sedemikian sehingga $ A = PDP^T , \, $ maka pernyataan berikut benar, KECUALI ....
(A). $ P^T = P^{-1} $
(B). det A = det D
(C). $ a^2 + b^2 = 1 $
(D). det P = det A
(E). $ P^{-1} = P $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar matriks :
*). Determinan : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow Det(A) = ad-bc $
*). Invers : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{Det(A)} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
$\clubsuit \, $ Cek matriks $ P $
$ P = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \rightarrow P^T = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) $
Artinya $ P = P^T $
Determinan matriks masing-masing :
$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) \rightarrow Det(A) = 1.4 - 2.2 = 0 $
$ D = \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \rightarrow Det(D) = 0.5 - 0.0 = 0 $
$ P = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \rightarrow Det(P) = -a^2 -b^2 = -(a^2 + b^2 ) $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan persamaan : $ A = PDP^T $
$ \begin{align} A & = PDP^T \\ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 5b \\ 0 & -5a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 5b^2 & -5ab \\ -5ab & 5a^2 \end{matrix} \right) \\ 5b^2 & = 1 \rightarrow b^2 = \frac{1}{5} \\ 5a^2 & = 4 \rightarrow a^2 = \frac{4}{5} \end{align} $
Sehingga nilai , $ a^2 + b^2 = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} \rightarrow a^2 + b^2 = 1 $
Determinan matriks P : $ Det(P) = -(a^2 + b^2 ) = -1 $
Jadi, yang salah adalah opsi D, dimana Det(P) tidak sama dengan Det(A). $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar tahun 2015 Nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Berikut adalah enam bilangan dari data yang berisi 9 bilangan asli : 9, 8, 9, 7, 5, 3. Nilai terkecil yang mungkin untuk median dari data 9 bilangan asli tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep : Median = nilai tengah data.
$\spadesuit \, $ Data terurut : 3,5,7,8,9,9
$\spadesuit \, $ Agar mediannya terkecil, maka tiga nilai sisanya ($x_1,x_2,x_3$) harus kita letakkan disebelah kiri angka 5.
Urutan yang mungkin :
*). $ x_1, x_2, x_3, 3, 5, 7, 8, 9, 9 $
*). $ x_1, x_2, 3, x_3, 5, 7, 8, 9, 9 $
*). $ x_1, 3, x_2, x_3, 5, 7, 8, 9, 9 $
*). $ 3, x_1, x_2, x_3, 5, 7, 8, 9, 9 $
Dari 4 urutan data yang mungkin, nilai median terkecilnya adalah data ke-5 yaitu 5.
Jadi, median terkecilnya adalah 5. $ \heartsuit $
Nomor 7
Misalkan tiga suku pertama dari barisan aritmatika adalah $ \log a^3b^7, \, \log a^5b^{12}, \, \log a^8b^{15} \, $ dan suku ke-12 adalah $ \log a^mb^n . \, $ Nilai $ 2m + n \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika : $ u_n = u_1 + (n-1)b $
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log bc $
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
$\clubsuit \, $ Menentukan bedanya
$\begin{align} \text{beda } & = u_2 - u_1 \\ & = \log a^5b^{12} - \log a^3b^7 \\ & = \log \frac{a^5b^{12} }{ a^3b^7 } \\ & = \log a^2b^5 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ m \, $ dan $ \, n $
$\begin{align} u_{12} & = \log a^mb^n \\ u_1 + 11 . \text{ beda} & = \log a^mb^n \\ \log a^3b^7 + 11 . \log a^2b^5 & = \log a^mb^n \\ \log a^3b^7 + \log (a^2b^5)^{11} & = \log a^mb^n \\ \log a^3b^7 + \log a^{22}b^{55} & = \log a^mb^n \\ \log ( a^3b^7 . a^{22}b^{55} ) & = \log a^mb^n \\ \log a^{25}b^{62} & = \log a^mb^n \\ a^{25}b^{62} & = a^mb^n \end{align}$
Diperoleh : $ m = 25 \, $ dan $ n = 62 $
Sehingga nilai $ 2m + n = 2. 25 + 62 = 50 + 62 = 112 $
Jadi nilai $ 2m + n = 112 . \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui selisih rusuk dari dua kubus adalah 5 dan selisih volumenya adalah 1385. Misalkan $ y $ menyatakan selisih dari kuadrat rusuk-rusuk kedua kubus tersebut dan $ z $ menyatakan kuadrat jumlah dari rusuk-rusuk kedua kubus tersebut, maka $ z - y + 5 = ....$
$\spadesuit \, $ Pemfaktoran : $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $
$\spadesuit \, $ Misalkan rusuk-rusuknya : $ r_1 \, $ dan $ r_2 \, $ dengan $ r_1 > r_2 $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
*). Selisih kedua rusuk = 5
$ r_1 - r_2 = 5 \rightarrow r_1 = r_2 + 5 \, $ .....pers(i)
*). Selisih volume = 1385
$ r_1^3 - r_2^3 = 1385 \, $ .....pers(ii)
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} r_1^3 - r_2^3 & = 1385 \\ (r_1-r_2)(r_1^2 + r_1r_2+r_2^2) & = 1385 \\ (5)((r_2+5)^2 + (r_2+5)r_2+r_2^2) & = 1385 \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ (r_2^2 +10r_2 + 25 + r_2^2 + 5r_2+r_2^2) & = 277 \\ 3r_2^2 +15r_2 -252 & = 0 \\ (3r_2 - 21)(r_2 + 12) & = 0 \\ r_2 = 7 \vee r_2 & = -12 \end{align}$
Sehingga yang memenuhi $ r_2 = 7 \, $ karena panjang rusuk selalu positif.
nilai $ r_1 = r_2 + 5 = 7 + 5 = 12 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$ y = r_1^2 - r_2^2 = 12^2 - 7^2 = 95 $
$ z = (r_1+r_2)^2 = (12+7)^2 = 19^2 = 361 $
Nilai $ z - y + 5 = 361 - 95 + 5 = 271 $
Jadi, nilai $ z - y + 5 = 271 . \heartsuit$
Nomor 9
Diketahui $ U_n $ dan $ V_n $ adalah barisan aritmatika dengan $ n > 0 . \, $ Jumlah $ n $ suku pertama dari masing-masing barisan ini adalah $ S_u(n) $ dan $ S_v(n) $ . Jika $ \frac{S_v(n)}{S_u(n)} = \frac{2n+8}{5n+9} \, $ dan $ V_2 = \frac{7}{3} , \, $ maka $ U_4 = .... $
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika
$ U_n = a + (n-1)b \, $ dan $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Misalkan suku pertama dan beda masing-masing barisan :
*). Barisan $ V_n \, : \, $ suku pertama = $ a_x \, $ dan beda $ = b_x $
$ V_n = a_x + (n-1)b_x \, $ dan $ \, S_v(n) = \frac{n}{2}(2a_x + (n-1)b_x ) $
*). Barisan $ V_n \, : \, $ suku pertama = $ a_y \, $ dan beda $ = b_y $
$ U_n = a_y + (n-1)b_y \, $ dan $ \, S_u(n) = \frac{n}{2}(2a_y + (n-1)b_y ) $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan :
*). persamaan (i),
$ V_2 = \frac{7}{3} \rightarrow a_x + b_x = \frac{7}{3} \rightarrow b_x = \frac{7}{3} - a_x \, $ ....pers(i)
*). Persamaan (ii) ,
$\begin{align} \frac{S_v(n)}{S_u(n)} & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{\frac{n}{2}(2a_x + (n-1)b_x )}{\frac{n}{2}(2a_y + (n-1)b_y )} & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ n = 1 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (1-1)b_x}{2a_y + (1-1)b_y } & = \frac{2.1+8}{5.1+9} \\ \frac{2a_x + 0.b_x}{2a_y + 0.b_y } & = \frac{10}{14} \\ \frac{2a_x }{2a_y } & = \frac{5}{7} \\ \frac{a_x }{a_y } & = \frac{5}{7} \\ a_x & = \frac{5}{7} a_y \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ n = 3 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (3-1)b_x}{2a_y + (3-1)b_y } & = \frac{2.3+8}{5.3+9} \\ \frac{2a_x + 2b_x}{2a_y + 2b_y } & = \frac{14}{24} \\ \frac{a_x + b_x}{a_y + b_y } & = \frac{7}{12} \\ \frac{\frac{7}{3}}{a_y + b_y } & = \frac{7}{12} \\ a_y + b_y & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \\ b_y & = 4 - a_y \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ n = 2 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (2-1)b_x}{2a_y + (2-1)b_y } & = \frac{2.2+8}{5.2+9} \\ \frac{2a_x + b_x}{2a_y + b_y } & = \frac{12}{19} \\ 38a_x + 19b_x & = 24a_y + 12b_y \\ 38a_x + 19(\frac{7}{3} - a_x) & = 24a_y + 12(4-a_y) \\ 38a_x + \frac{133}{3} - 19a_x & = 24a_y + 48 - 12a_y \\ 19a_x + \frac{133}{3} & = 12a_y + 48 \\ 19(\frac{5}{7}a_y) + \frac{133}{3} & = 12a_y + 48 \\ \frac{95}{7}a_y + \frac{133}{3} & = 12a_y + 48 \\ a_y & = \frac{7}{3} \end{align}$
Sehingga, $ b_y = 4 - a_y = 4 - \frac{7}{3} = \frac{5}{3} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ U_4 $
$\begin{align} U_4 & = a_y + 3b_y \\ & = \frac{7}{3} + 3. \frac{5}{3} \\ & = \frac{7}{3} + 5 \\ & = \frac{22}{3} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ U_4 = \frac{22}{3} . \heartsuit $
Nomor 10
Mira memilih secara acak sebuah bilangan bulat positif yang kemudian dia kuadratkan dan dibagi 9. Probabilitas bahwa sisa dari hasil bagi tersebut 4 adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar Teori bilangan,
*). Penyajian bilangan bulat positif (bilangan asli) dapat disajikan dalam kelipatan salah satu bilangan, misalkan ada bilangan $ b $, dapat dinyatakan dari kelipatan bilangan tertentu .
*). Kelipatan 2 : $ b = 2x \, $ dan $ b = 2x + 1 \, $ dengan bilangan bulat $ \, x \geq 0 \, $ , artinya bilanga asli $ b \, $ dapat dinyatakan dalam dua bentuk (dua kelompok besar ) yaitu $ 2x \, $ dan $ 2x+1 \, $ , dan dijamin dua bentuk tersebut akan membentuk semua bilangan asli $ b $ . Misalkan,
$ x = 0 \rightarrow b = 2x + 1 = 2.0 + 1 = 1 $
$ x = 1 \rightarrow b = 2x = 2. 1 = 2 $
$ x = 1 \rightarrow b = 2x + 1 = 2. 1 + 1 = 3 $
$ x = 2 \rightarrow b = 2x = 2. 2 = 4 $
$ x = 2 \rightarrow b = 2x + 1 = 2. 2 + 1 = 5 $
dan seterusnya sehingga $ b = \{ 1, 2, 3, 4, 5, .... \} \, $ adalah bilangan asli.
Bentuk $ b = 2x \, $ arti lainnya adalah $ b \, $ dibagi 2 memberikan sisa 0.
Bentuk $ b = 2x + 1 \, $ arti lainnya adalah $ b \, $ dibagi 2 memberikan sisa 1.
*). Kelipatan 3 : $ b = 3x , \, b = 3x + 1 , \, b = 3x + 2 \, $ artinya bilangan asli $ b \, $ dibagi menjadi tiga kelompok, penjelasan lainnya mirip dengan di atas.
*). Kita langsung ke bentuk kelipatan 9, yang ada kaitannya dengan soal ini.
Kelipatan 9 : $ b = 9x , \, b = 9x+ 1 , \, b = 9x+2 , \, b = 9x+ 3 $
$ b = 9x+ 4 , \, b = 9x+ 5 , \, b = 9x+ 6 , \, b = 9x+ 7 $
$ b = 9x+ 8 \, \, \, $ yaitu ada 9 kelompok bilangan.
$\spadesuit \, $ Konsep dasar peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $ .
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A ,
$ n(A) = \, $ harapan kejadian A ,
$ n(S) = \, $ Semua kemungkinan kejadian
$\spadesuit \, $ Misalkan bilangan yang dipilih adalah $ a \, $ . Bilangan ($a$) dikuadratkan ($a^2$) dan dibagi dengan sembilan, artinya bilangan $ a^2 \, $ dapat kita sajikan dengan kelipatan 9 , yaitu :
$ a^2 = 9x , \, a^2 = 9x+ 1 , \, a^2 = 9x+2 , \, a^2 = 9x+ 3 $
$ a^2 = 9x+ 4 , \, a^2 = 9x+ 5 , \, a^2 = 9x+ 6 $
$ a^2 = 9x+ 7 , \, a^2 = 9x+ 8 $
Artinya bilangan $ a^2 \, $ bisa dinyatakan menjadi 9 kelompok bilangan, sehingga $ n(S) = 9 $ .
*). Harapannya adalah dibagi 9 bersisa 4, dan bentuk seperti itu hanya diwakili oleh bentuk $ a^2 = 9x+ 4 \, $ yang hanya ada satu bentuk, sehingga $ n(A) = 1 $.
Bentuk $ a^2 = 9x+ 4 \, $ artinya bilangan $ a^2 \, $ dibagi dengan 9 dan bersisa 4.
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya :
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{9} $
Jadi, peluang $ a^2 \, $ dibagi 9 bersisa 4 adalah $ \frac{1}{9} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar tahun 2015


Nomor 1
Nilai minimum dari fungsi $ z = 4x + 3y \, $ pada himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan : $ x \geq 0, \, y \geq 0 , \, 2x + 3y \geq 6 , \, 3x - 2y \leq 9 , \, $ dan $ x + 5y \leq 20 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambar daerahnya
I. $ 2x + 3y = 6 \rightarrow (0,2), \, (3,0) $
II. $ 3x - 2y = 9 \rightarrow (0,-\frac{9}{2}), \, (3,0) $
III. $ x + 5y = 20 \rightarrow (0,4), \, (20,0) $
simak_ui_matdas_kd1_1_2015.png
$\clubsuit \, $ Menentukan Titik pojoknya
Menentukan titik B dengan eliminasi pers II dan pers III :
$ \begin{array}{c|c|cc} 3x - 2y = 9 & \times 1 & 3x - 2y = 9 & \\ x + 5y = 20 & \times 3 & 3x + 15y = 27 & - \\ \hline & & -17y = -51 & \\ & & y = 3 & \end{array} $
Pers III : $ x + 5y = 20 \rightarrow x + 5.3 = 20 \rightarrow x = 5 $
Sehingga titik B(5,3)
$\clubsuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan $ z = 4x + 3y $
$\begin{align} A(3,0) \rightarrow z & = 4.3 + 3.0 = 12 \\ B(5,3) \rightarrow z & = 4.5 + 3.3 = 29 \\ C(0,4) \rightarrow z & = 4.0 + 3.4 = 12 \\ D(0,2) \rightarrow z & = 4.0 + 3.2 = 6 \end{align}$
Jadi, nilai minimumnya adalah 6. $ \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ (x,y) = (a,b) \, $ adalah penyelesaian dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 2xy - y^2 + 5x + 20 = 0 \\ 3x + 2y - 3 = 0 \end{array} \right. $
maka jumlah semua $ a + b \, $ dimana $ a \, $ dan $ b \, $ bukan bilangan bulat adalah ....
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
pers(ii) : $ 3x + 2y - 3 = 0 \rightarrow y = \frac{3-3x}{2} $
$ \begin{align} \text{pers(i) } : \, \, \, 2xy - y^2 + 5x + 20 & = 0 \\ 2x \left( \frac{3-3x}{2} \right) - \left( \frac{3-3x}{2} \right)^2 + 5x + 20 & = 0 \\ 3x - 3x^2 - \left( \frac{9 - 18x + 9x^2}{4} \right) + 5x + 20 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 12x - 12x^2 -9 + 18x - 9x^2 + 20x + 80 & = 0 \\ -21x^2 + 50x + 71 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 21x^2 - 50x - 71 & = 0 \\ (21x-71)(x+1) & = 0 \\ x = \frac{71}{21} \vee x & = -1 \end{align} $
Karena $ x \, $ bukan bulat, maka yang memenuhi adalah $ x = \frac{71}{21} $ .
Sehingga nilai $ y $ :
$ y = \frac{3-3x}{2} = \frac{3}{2}(1-x) = \frac{3}{2}(1-\frac{71}{21}) = - \frac{75}{21} $
Sehingga solusinya : $ (a,b) = (\frac{71}{21}, - \frac{75}{21} ) $ .
Nilai $ a + b = \frac{71}{21}+ ( - \frac{75}{21} ) = - \frac{4}{21} $
Jadi, nilai $ a + b = - \frac{4}{21} . \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B \, $ adalah matriks dengan entri-entri bernilai real sedemikian sehingga $ AB = BA \, $ . Nilai terkecil untuk detrminan $ B $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Kosep determinan : $ P = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow Det(P) = ad-bc $
$\clubsuit \, $ Misalkan matriks $ B = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan persamaannya
$ \begin{align} AB & = BA \\ \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] \\ 2\left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = 2\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} a-c & b-d \\ a+c & b+d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a+b & -a+b \\ c+d & -c+d \end{matrix} \right] \end{align} $
Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh :
$ a - c = a + b \rightarrow b = -c $
$ a + c = c + d \rightarrow a = d $
Misalkan : $ a = d = x, \, b = y, \, c = -y $
Sehingga matriks B menjadi :
$ B = \left[ \begin{matrix} x & y \\ -y & x \end{matrix} \right] $
Nilai $ Det(B) = x^2 - (-y^2) = x^2 + y^2 $
Karena $ x, y \, $ bilangan real, maka agar Det(B) terkecil, haruslah $ x = 0 \, $ dan $ y = 0 $ , sehingga nilai $ Det(B) = x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0 $
Jadi, nilai terkecil determinan B adalah 0. $ \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ a $ dan $ b $ adalah dua bilangan (tidak harus berbeda) yang dipilih secara acak dan dengan pengembalian dari himpunan $ \{ 1,2,3,4,5\} $ , maka probabilitas bahwa $ \frac{a}{b} \, $ merupakan bilangan bulat adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
$ P(A) = \, $ Peluang kejadian A,
$ n(A) = \, $ Harapan kejadian A,
$ n(S) = \, $ Semua kemungkinan kejadian.
$\spadesuit \, a \, $ dan $ b $ dipilih dari $ \{ 1,2,3,4,5\} $ , artinya $ a \, $ ada lima pilihan angka, begitu juga $ b $ ada lima pilihan angka. Sehingga $ n(S) = 5.5 = 25 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) $
A = Kejadian $ \frac{a}{b} \, $ adalah bilangan bulat,
$ b = \{ 1 \} \rightarrow a = \{ 1,2,3,4,5 \} \, $ ada 5 kemungkinan.
$ b = \{ 2 \} \rightarrow a = \{ 2,4 \} \, $ ada 2 kemungkinan.
$ b = \{ 3 \} \rightarrow a = \{ 3 \} \, $ ada 1 kemungkinan.
$ b = \{ 4 \} \rightarrow a = \{ 4 \} \, $ ada 1 kemungkinan.
$ b = \{ 5 \} \rightarrow a = \{ 5 \} \, $ ada 1 kemungkinan.
sehingga $ n(A) = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ P(A) $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{25} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{10}{25} . \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui $ \log _2 5 = b \, $ dan $ \log _5 3 = c , \, $ maka nilai dari $ \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar Akar dalam akar
$ \sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $
$ \sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \, $ dengan $ a > b $
Sehingga bentuk :
$ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2) + 2\sqrt{3.2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} $
$ \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2) - 2\sqrt{3.2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} $
$\clubsuit \, $ Penulisan logaritma : $ \log _a b = {}^a \log b $
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat logaritma
(i). $ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c $
(ii). $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
(iii). $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
(iv). $ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b }{ {}^p \log a} $
Dari soal diketahui :
$ \log _2 5 = b \rightarrow {}^2 \log 5 = b \rightarrow {}^5 \log 2 = \frac{1}{b} $
$ \log _5 3 = c \rightarrow {}^5 \log 3 = c $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal
$ \begin{align} & \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \right) \\ & = {}^8 \log \left( 2\sqrt{2} \right) \\ & = {{}^2 }^3 \log 2^\frac{3}{2} \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat(iii) ) } \\ & = ( \frac{3}{2} : 3 ) \, {}^2 \log 2 \\ & = \frac{1}{2} . 1 \\ & = \frac{1}{2} \end{align} $
Catatan : Tidak ada jawaban pada opsinya, kemungkinan soalnya adalah penjumlahan.
$ \begin{align} & \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \right) \\ & = {}^8 \log \left( 2\sqrt{3} \right) \\ & = {{}^2 }^3 \log 2. 3^\frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat(iv) ) } \\ & = \frac{{}^5 \log 2. 3^\frac{1}{2} }{ {}^5 \log 2^3 } \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat(i) dan (ii) ) } \\ & = \frac{{}^5 \log 2 + {}^5 \log 3^\frac{1}{2} }{ 3 . \, {}^5 \log 2 } \\ & = \frac{{}^5 \log 2 + \frac{1}{2} . {}^5 \log 3 }{ 3 . \, {}^5 \log 2 } \\ & = \frac{\frac{1}{b} + \frac{1}{2} . c }{ 3 . \frac{1}{b} } \\ & = \frac{\frac{1}{b} + \frac{1}{2} . c }{ 3 . \frac{1}{b} } \times \frac{2b}{2b} \\ & = \frac{2 + b c }{ 6 } \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) = \frac{2 + b c }{ 6 } . \heartsuit $ .
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 517 tahun 2015 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Fungsi $ f(x) = \sqrt{\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi}, \, -\pi < x < 2\pi \, $ turun pada interval ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). fungsi $ f(x) \, $ turun, syaratnya : $ f^\prime (x) < 0 $
*). turunan : $ y = \sqrt{x} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x) }{2 \sqrt{x} } $
*). Persamaan trigonometri : $ \sin f(x) = \sin \theta $
Solusinya : $ f(x) = \theta + k2\pi \, $ dan $ f(x) = (180^\circ - \theta ) + k2\pi $
dengan $ k \, $ bilangan bulat dan $ \pi = 180^\circ $
$\clubsuit \, $ Menenentukan turunan fungsinya
$\begin{align} f(x) & = \sqrt{\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi} \\ f^\prime (x) & = \frac{\text{turunan dari } \, (\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi ) }{2\sqrt{\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi}} \\ & = \frac{ 2 \sin x \cos x + \frac{1}{2} }{2\sqrt{\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi}} \\ & = \frac{ \sin 2x + \frac{1}{2} }{2\sqrt{\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi}} \end{align}$
Untuk interval $ -\pi < x < 2\pi , \, $ maka nilai $ \sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi \, $ selalu positif.
$\clubsuit \, $ Syarat fungsi turun
$\begin{align} f^\prime (x) & < 0 \\ \frac{ \sin 2x + \frac{1}{2} }{2\sqrt{\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi}} & < 0 \end{align}$
Karena nilai $ \sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi \, $ selalu positif pada interval $ -\pi < x < 2\pi , \, $ maka agar $ \frac{ \sin 2x + \frac{1}{2} }{2\sqrt{\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi}} < 0 \, $ haruslah $ \sin 2x + \frac{1}{2} < 0 \, $ (negatif).
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akar dari $ \sin 2x + \frac{1}{2} < 0 $
$\begin{align} \sin 2x + \frac{1}{2} & = 0 \\ \sin 2x & = - \frac{1}{2} \\ \sin 2x & = \sin 210^\circ \\ f(x) & = 2x , \, \theta = 210^\circ \end{align}$
*). Solusinya : $ f(x) = \theta + k2\pi $
$ 2x = 210^\circ + k2\pi \rightarrow x = 105^\circ + k \pi $
$ k = -1 \rightarrow x = 105^\circ + -1 . \pi = -75^\circ = \frac{-5\pi}{12} $
$ k = 0 \rightarrow x = 105^\circ + 0 . \pi = 105^\circ = \frac{7\pi}{12} $
$ k = 1 \rightarrow x = 105^\circ + 1 . \pi = 285^\circ = \frac{19\pi}{12} $
*). Solusinya : $ f(x) = (180^\circ - \theta ) + k2\pi $
$ 2x = ( 180^\circ - 210^\circ ) + k2\pi \rightarrow x = -15^\circ + k \pi $
$ k = 0 \rightarrow x = -15^\circ + 0. \pi = -15^\circ = \frac{-\pi}{12} $
$ k = 1 \rightarrow x = -15^\circ + 1. \pi = 165^\circ = \frac{11\pi}{12} $
$ k = 2 \rightarrow x = -15^\circ + 2. \pi = 345^\circ = \frac{23\pi}{12} $
*). Garis bilangannya :
Pertidaksamaannya : $ \sin 2x + \frac{1}{2} < 0 \, $
Yang diasrsir daerah negatif karena yang diminta kurang dari ($ < $ ).
sbmptn_mat_ipa_kode_517_6_2015
Berdasarkan pilihannya, maka solusinya adalah $ 105^\circ < x < 165^\circ \, $ atau dapat ditulis $ \frac{7\pi}{12} < x < \frac{11\pi}{12} $ .
Jadi, fungsi $ f(x) $ turun pada interval $ \frac{7\pi}{12} < x < \frac{11\pi}{12} . \, \heartsuit $
Nomor 12
Pada interval $ -2 \leq x \leq 2 , \, $ luas daerah di bawah kurva $ y = 4 - x^2 \, $ dan di atas garis $ y = k \, $ sama dengan luas daearah di atas kurva $ y = 4 - x^2 \, $ dan di bawah garis $ y = k. \, $ Nilai $ k = .... $
sbmptn_mat_ipa_kode_517_2_2015
$\spadesuit \, $ Gambarnya
sbmptn_mat_ipa_kode_517_2a_2015
Misalkan perpotongan $ y = k \, $ dan $ y = 4 - x^2 \, $ di $ x = -a \, $ dan $ x = a $ .
$\spadesuit \, $ Menentukan Luas daerah di atas (LI) garis $ y = k $ dan di bawah (LII)
$\begin{align} LI(A) & = \int \limits_{-a}^a \text{(grafik atas)} - \text{(grafik bawah)} dx \\ & = \int \limits_{-a}^a (4-x^2) - (k) dx \\ & = \int \limits_{-a}^a (4-k) - x^2 dx \\ & = [(4-k)x - \frac{1}{3}x^3] _{-a}^{a} \\ & = [(4-k)a - \frac{1}{3}a^3] - [(4-k)(-a) - \frac{1}{3}(-a)^3] \\ & = 2 [(4-k)a - \frac{1}{3}a^3] \\ LII(2B) & = 2 \int \limits_{a}^2 \text{(grafik atas)} - \text{(grafik bawah)} dx \\ & = 2 \int \limits_{a}^2 (k) - (4-x^2) dx \\ & = 2 \int \limits_{a}^2 (k-4) +x^2 dx \\ & = 2 [ (k-4)x + \frac{1}{3}x^3]_a^2 \\ & = 2 ([ (k-4).2 + \frac{1}{3}2^3]- [ (k-4).a + \frac{1}{3}a^3]) \\ & = 2 [ (k-4).2 + \frac{1}{3}2^3]+ 2[ (4-k).a - \frac{1}{3}a^3] \\ & = 2 [ (k-4).2 + \frac{8}{3}]+ 2[ (4-k).a - \frac{1}{3}a^3] \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan Nilai $ k $
$\begin{align} LI(A) & = LII(2B) \\ 2 [(4-k)a - \frac{1}{3}a^3] & = 2 [ (k-4).2 + \frac{8}{3}]+ 2[ (4-k).a - \frac{1}{3}a^3] \\ 0 & = 2 [ (k-4).2 + \frac{8}{3}] \\ [ (k-4).2 + \frac{8}{3}] & = 0 \\ 2k - 8 + + \frac{8}{3} & = 0 \\ 2k & = \frac{16}{3} \\ k & = \frac{8}{3} \end{align}$
Jadi, nilai $ k = \frac{8}{3} . \, \heartsuit $
Nomor 13
Banyak kurva $ Ax^2 + \left( \frac{By}{2} \right)^2 = 0 \, $ dengan $ A \, $ dan $ B \, $ dua bilangan berbeda yang dipilih dari $ \{-1,0,1,2,4\} \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Untuk menyelesaikan soalnya, kita harus langsung mencoba nilai A dan B yang berbeda yang dipilih dari {-1, 0, 1, 2, 4} , dan kita substitusi ke persamaan $ Ax^2 + \left( \frac{By}{2} \right)^2 = 0, \, $ seperti di bawah ini.
$\begin{align} Ax^2 + \left( \frac{By}{2} \right)^2 & = 0 \\ A = 0 \rightarrow \left( \frac{By}{2} \right)^2 & = 0 \rightarrow y^2 = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ B = 0 \rightarrow Ax^2 & = 0 \rightarrow x^2 = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ A = -1 \rightarrow -x^2 + \left( \frac{1}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ -x^2 + \left( \frac{2}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ -x^2 + \left( \frac{4}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ A = 1 \rightarrow x^2 + \left( \frac{-1}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ x^2 + \left( \frac{2}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ x^2 + \left( \frac{4}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ A = 2 \rightarrow 2x^2 + \left( \frac{-1}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ 2x^2 + \left( \frac{4}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ A = 4 \rightarrow 4x^2 + \left( \frac{-1}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \end{align}$
Jadi, total ada 11 kurva yang berbeda.
Nomor 14
Tiga kelas masing-masing terdiri atas 30 siswa. Satu kelas diantaranya terdiri atas laki-laki saja. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah 7/36. Peluang terpilih dua laki-laki dan satu perempuan adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep peluang komplemen : $ P(A^c) = 1 - P(A) $
$\spadesuit \, $ Satu kelas terdiri dari laki-laki dan perempuan, artinya berlaku peluang komplemen yaitu peluang perempuan kebalikan dari peluang laki-laki atau sebaliknya, sehingga bisa ditulis $ P(P) = 1 - P(L) $ .
$\spadesuit \, $ Ada tiga kelas, misalnya kelas I ada $P_1 \, $ dan $ L_1 \, $ , kelas II ada $P_2 \, $ dan $ L_2 \, $ dan kelas III hanya ada $ L_3 \, $ saja. $ P_1 \, $ artinya perempuan pada kelas I yang terpilih, begitu juga simbol $ L_1, \, P_2, \, L_2, \, L_3 $ . Karena kelas III hanya ada laki-laki saja, maka peluangnya 1 atau ditulis $ P(L_3) = 1 $.
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang masing-masing dengan setiap kelas dipilih satu siswa.
peluang terpilihnya laki-laki semua adalah $ \frac{7}{36} $
$\begin{align} P(L_1).P(L_2).P(L_3) & = \frac{7}{36} \\ P(L_1).P(L_2).1 & = \frac{7}{6 . 6} . \frac{5}{5} \\ P(L_1).P(L_2) & = \frac{7}{30} . \frac{5}{6} \end{align}$
artinya $ P(L_1) = \frac{7}{30} , \, $ dan $ P(L_2) = \frac{5}{6} $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang masing-masing dengan peluang komplemen
$ P(L_1) = \frac{7}{30} \rightarrow P(P_1) = 1 - P(L_1) = 1 - \frac{7}{30} = \frac{23}{30} $
$ P(L_2) = \frac{5}{6} \rightarrow P(P_2) = 1 - P(L_2) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} $
$ P(L_3) = 1 $
$\spadesuit \, $ Peluang dua laki-laki (2L) dan satu perempuan (1P)
$\begin{align} & P(P_1).P(L_2).P(L_3) + P(P_2).P(L_1).P(L_3) \\ & = \frac{23}{30}. \frac{5}{6}. 1 + \frac{1}{6}. \frac{7}{30}. 1 \\ & = \frac{115}{180} + \frac{7}{180} \\ & = \frac{122}{180} = \frac{61}{90} \end{align}$
Jadi, peluang terpilihnya 2L dan 1P adalah $ \frac{61}{90}. \, \heartsuit $
Nomor 15
Diketahui deret geometri takhingga mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi $ f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 2x + \frac{2}{3} \, $ untuk $ -1 \leq x \leq 2. \, $ Selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah $ -2f^\prime (0). \, $ Rasio deret geometri tersebut adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
*). Jumlah tak hingga : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
*). Syarat stasioner (nilai maksimum/minimum) : $ f^\prime (x) = 0 $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan fungsi $ f(x) $
$\begin{align} f(x) & = -\frac{2}{3}x^3 + 2x + \frac{2}{3} \\ f^\prime (x) & = -2x^2 + 2 \\ f^\prime (0) & = -2.0^2 + 2 = 2 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai maksimum fungsi $ f(x) $
$\begin{align} \text{syarat : } f^\prime (x) & = 0 \\ -2x^2 + 2 & = 0 \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \end{align}$
nilai $ x \, $ pada interval $ -1 \leq x \leq 2 $
*). Uji semua nilai $ x \, $ yang diperoleh dari syarat stasioner dan intervalnya ke fungsi $ f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 2x + \frac{2}{3} $
$\begin{align} x = -1 \rightarrow f(-1) & = -\frac{2}{3}(-1)^3 + 2.(-1) + \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} \\ x = 1 \rightarrow f(1) & = -\frac{2}{3}(1)^3 + 2.(1) + \frac{2}{3} = 2 \\ x = 2 \rightarrow f(2) & = -\frac{2}{3}(2)^3 + 2.(2) + \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} \end{align}$
Artinya, nilai maksimum fungsi $ f(x) \, $ adalah 2 pada saat $ x = 1 $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan
*). Jumlah tak hingga = nilai maksimum
$\begin{align} s_\infty & = 2 \\ \frac{a}{1-r} & = 2 \\ a & = 2(1-r) \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
*). Selisih $ u_2 \, $ dan $ u_1 \, $ = $ -2 f^\prime (0) $
$\begin{align} u_2 - u_1 & = -2 f^\prime (0) \\ ar - a & = -2 . 2 \\ a(r-1) & = -4 \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} a(r-1) & = -4 \\ 2(1-r)(r-1) & = -4 \, \, \, \, \, \text{(bagi -2)} \\ (r-1)(r-1) & = 2 \\ r^2 - 2r + 1 & = 2 \\ r^2 - 2r - 1 & = 0 \\ a = 1, \, b = -2, \, c & = -1 \\ r & = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \, \, \, \, \, \text{(Rumus ABC)} \\ r & = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4.1.(-1)}}{2.1} \\ r & = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ r & = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ r & = 1 \pm \sqrt{2} \end{align}$
Jadi, nilai rasionya $ r = 1 - \sqrt{2}. \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 517 tahun 2015 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Suku banyak $ p(x) = (x-a)^7 + (x-b)^6 + (x-3) \, $ habis dibagi oleh $ x^2 - (a+b)x + ab. \, $ Jika $ a \neq b, \, a \neq 4, \, $ maka $ b = .... $
$\spadesuit \, $ Kosep teorema sisa
*). Pembagian
$ \frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa } = P(a) \\ \text{sisa } = P(b) \end{array} \right. $
artinya substitusi semua akar pembaginya maka diperoleh sisanya.
*). Habis dibagi, artinya sisanya nol.
$\spadesuit \, P(x) \, $ dibagi $ x^2 - (a+b)x + ab \, $
dengan $ p(x) = (x-a)^7 + (x-b)^6 + (x-3) $
*). Bentuk $ x^2 - (a+b)x + ab = (x-a)(x-b) $
$ \frac{P(x)}{x^2 - (a+b)x + ab} = \frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa } = P(a) \\ \text{sisa } = P(b) \end{array} \right. $
Karena habis dibagi, maka sisanya nol.
*). Persamaan pertama :
$\begin{align} \text{sisa } & = P(a) \\ 0 & = (a-a)^7 + (a-b)^6 + (a-3) \\ 0 & = 0^7 + (a-b)^6 + (a-3) \\ (a-b)^6 & = 3 - a \\ (b-a)^6 & = 3 - a \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
*). Persamaan Kedua :
$\begin{align} \text{sisa } & = P(b) \\ 0 & = (b-a)^7 + (b-b)^6 + (b-3) \\ 0 & = (b-a)^7 + 0^6 + (b-3) \\ 0 & = (b-a)^6.(b-a) + (b-3) \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} (b-a)^6.(b-a) + (b-3) & = 0 \\ (3 - a).(b-a) + (b-3) & = 0 \\ (3-a)b - 3a + a^2 + b - 3 & = 0 \\ (3-a+1)b + a^2 - 3a - 3 & = 0 \\ (4-a)b & = 3a + 3 -a^2 \\ b & = \frac{3a + 3 -a^2}{4-a} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ b = \frac{3a + 3 -a^2}{4-a} . \, \heartsuit $
Nomor 7
Nilai $ c \, $ yang memenuhi $ (0,0081)^{(x^2+3x+c)} < (0,09)^{(x^2 - 2x + 8)} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Pertidaksamaan eksponen
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \rightarrow f(x) > g(x) \, $ untuk $ a < 1 $
*). Sifat eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$ \begin{align} (0,0081)^{(x^2+3x+c)} & < (0,09)^{(x^2 - 2x + 8)} \\ [(0,09)^2]^{(x^2+3x+c)} & < (0,09)^{(x^2 - 2x + 8)} \\ (0,09)^{(2x^2+6x+2c)} & < (0,09)^{(x^2 - 2x + 8)} \\ (\text{tanda ketaksamaan } & \text{ dibalik )} \\ 2x^2+6x+2c & > x^2 - 2x + 8 \\ x^2 + 8x + 2c - 8 & > 0 \end{align} $
Agar berlaku $ x^2 + 8x + 2c - 8 > 0 $ untuk semua $ x , \, $ maka $ x^2 + 8x + 2c - 8 \, $ harus definit positif. Syaratnya : $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan definit positif pada $ x^2 + 8x + 2c - 8 $
$ \begin{align} a & = 1 > 0 \, \, \, \, \text{(benar)}\\ D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ 8^2 - 4.1.(2c-8) & < 0 \\ 64 - 8c + 32 & < 0 \\ - 8c & < - 96 \, \, \, \, \text{(bagi -8, tanda dibalik)} \\ c & > 12 \end{align} $
Jadi, diperoleh nilai $ c > 12. \, \heartsuit$
Nomor 8
Jika $ x_1, \, x_2 \, $ adalah akar-akar $ 25^{2x} - 5^{2x+1} - 2.5^{2x+3} + a = 0 \, $ dimana $ x_1 + x_2 = 2. {}^5 \log 2 , \, $ maka $ a = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
*). Operasi akar-akar PK : $ ap^2 + bp + c = 0 $
$ x_1 . c_2 = \frac{c}{a} $
*). Sifat-sifat eksponen dan logaritma
$ a^{m+n} = a^m .a^n , \, (a^m)^n = a^{m.n}, \, a^{{}^a \log b} = b $
$\spadesuit \, $ Memodifikasi persamaan dengan substitusi $ p = 5^{2x} $
$\begin{align} 25^{2x} - 5^{2x+1} - 2.5^{2x+3} + a & = 0 \\ (5^2)^{2x} - 5^{2x} . 5^1 - 2.5^{2x}.5^3 + a & = 0 \\ (5^{2x})^2 - 5.5^{2x} - 250.5^{2x} + a & = 0 \\ (p)^2 - 5p - 250p + a & = 0 \\ (p)^2 - 255p + a & = 0 \end{align}$
$ p^2 - 255p + a = 0 \left\{ \begin{array}{c} p_1 = 5^{2x_1} \\ p_2 = 5^{2x_2} \end{array} \right. $
Operasi akar-akar PK : $ p^2 - 255p + a = 0 $
$\begin{align} p_1 . p_2 & = \frac{c}{a} \\ 5^{2x_1} . 5^{2x_2} & = \frac{a}{1} \\ 5^{2(x_1+x_2)} & = a \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x_1 + x_2 = 2. {}^5 \log 2 \, $ ke pers(i)
$\begin{align} a & = 5^{2(x_1+x_2)} \\ a & = 5^{2(2. {}^5 \log 2)} \\ a & = 5^{4. {}^5 \log 2 } \\ a & = 5^{ {}^5 \log 2^4 } \\ a & = 5^{ {}^5 \log 16 } \\ a & = 16 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 16. \, \heartsuit$
Nomor 9
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Penerapan turunan pada limit,
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \, $ solusinya : $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
diturunkan sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $ .
*). Turunan fungsi
$ y = U. V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U . V^\prime $
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
$\clubsuit \, $ Turunan fungsi
$\begin{align} y & = \left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right) \\ U & = \left( \sqrt{5-x}-2 \right) \rightarrow U^\prime = \frac{-1}{2\sqrt{5-x}} \\ V & = \left( \sqrt{2-x}+1 \right) \rightarrow V^\prime = \frac{-1}{2\sqrt{2-x}} \\ y & = UV \\ y^\prime & = U^\prime . V + U . V^\prime \\ y^\prime & = \frac{-1}{2\sqrt{5-x}} . \left( \sqrt{2-x}+1 \right) + \left( \sqrt{5-x}-2 \right) . \frac{-1}{2\sqrt{2-x}} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan limitnya
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} = \frac{0}{0} \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ \frac{-1}{2\sqrt{5-x}} . \left( \sqrt{2-x}+1 \right) + \left( \sqrt{5-x}-2 \right) . \frac{-1}{2\sqrt{2-x}} }{-1} \\ & = \frac{ \frac{-1}{2\sqrt{5-1}} . \left( \sqrt{2-1}+1 \right) + \left( \sqrt{5-1}-2 \right) . \frac{-1}{2\sqrt{2-1}} }{-1} \\ & = \frac{ \frac{-1}{2.2} . \left( 2 \right) + \left( 2-2 \right) . \frac{-1}{2.1} }{-1} \\ & = \frac{ \frac{-1}{2} + \left( 0 \right) . \frac{-1}{2} }{-1} \\ & = \frac{ \frac{-1}{2} + 0 }{-1} \\ & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} . \, \heartsuit $
Nomor 10
Jika $ u_1, u_2, u_3, ... \, $ adalah barisan geometri yang memenuhi $ u_3 - u_6 = x, \, $ dan $ u_2 - u_4 = y, \, $ maka $ x/y = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
*). Barisan geometri : $ u_n = a r^{n-1} $
*). Pemfaktoran : $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $
sehingga $ 1 - r^3 = (1-r)(1+r+r^2) $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
$\begin{align} u_3 - u_6 & = x \\ ar^2 - ar^5 & = x \\ ar^2(1-r^3) & = x \\ ar^2(1-r)(1 + r + r^2) & = x \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ u_2 - u_4 & = y \\ ar - ar^3 & = y \\ ar(1-r^2) & = y \\ ar(1-r)(1+r) & = y \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasil $ \frac{x}{y} $
$\begin{align} \frac{x}{y} & = \frac{ar^2(1-r)(1 + r + r^2)}{ar(1-r)(1+r) } \, \, \, \, \text{...(sederhanakan)} \\ & = \frac{r(1 + r + r^2)}{1 + r} \\ & = \frac{ r^3 + r^2 + r}{1 + r} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ \frac{x}{y} = \frac{ r^3 + r^2 + r}{1 + r} . \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 517 tahun 2015


Nomor 1
Misalkan titik A dan B pada lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x - 2y + k = 0 \, $ sehingga garis singgung lingkaran di titik A dan B berpotongan di titik C(8,1). Jika luas segiempat yang melalui A, B, C, dan pusat lingkaran adalah 12, maka $ k = .... $
Cara I :
$\clubsuit \, $ Konsep dasar lingkaran :
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Pusatnya : $ (a,b)= \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) $
Jari-jarinya : $ r^2 = a^2 + b^2 - C $
$\clubsuit \, $ Persamaan garis singgung lingkaran di titik ($x_1,y_1$)
$ x_1.x + y_1.y + A \frac{(x_1+x)}{2} + B\frac{(y_1+y)}{2} + C = 0 $
$\clubsuit \, $ Jarak titik ($x_1,y_1$) dan ($x_2,y_2$) : Jarak $ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } $
$\clubsuit \, $ Menentukan unsur-unsur lingkaran :
$ x^2 + y^2 - 6x - 2y + k = 0 \rightarrow A = -6, \, B = -2, \, C = k $
Pusat lingkaran : $ (a,b)= \left( -\frac{-6}{2}, - \frac{-2}{2} \right) = (3,1) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C \rightarrow r^2 = 3^2 + 1^2 - k \rightarrow r^2 = 10 - k \, $ ....pers(i)
Gambar ilustrasinya :
sbmptn_mat_ipa_kode_517_3_2015
Panjang $ OC = 5 $
$\clubsuit \, $ Menentukan titik A($x_1,y_1$)
*). Segitiga AOC dan segitiga BOC kongruen sehingga luas segiempat AOBC adalah 2 kali segitiga AOC.
$ \begin{align} \text{Luas segiempat } AOBC & = 12 \\ 2 \times \text{Luas } AOC & = 12 \\ \text{Luas } AOC & = 6 \\ \frac{1}{2}.OC.AD & = 6 \\ \frac{1}{2}.5.AD & = 6 \\ AD & = \frac{12}{5} \end{align} $
Sehingga $ y_1 = AD + 1 = \frac{12}{5} + 1 = \frac{17}{5} $
*). Persamaan garis singgung pada titik A($x_1,y_1$) dan melalui titik (8,1). Substitusi titik (8,1)
$ \begin{align} x_1.x + y_1.y -6. \frac{(x_1+x)}{2} -2.\frac{(y_1+y)}{2} + k & = 0 \\ x_1.x + y_1.y -3 (x_1+x) -(y_1+y) + k & = 0 \, \, \, \, \, \text{(substitusi (8,1))} \\ x_1.8 + y_1.1 -3 (x_1+8) -(y_1+1) + k & = 0 \\ 8x_1 + y_1 -3 x_1-24 -y_1 - 1 + k & = 0 \\ 5x_1 - 25 + k & = 0 \\ x_1 & = \frac{25-k}{5} \end{align} $
Sehingga titik A adalah $ A(x_1,y_1) = A\left( \frac{25-k}{5}, \frac{17}{5} \right) $
$\clubsuit \, $ Jari-jari lingkaran adalah OA ($r = |OA|$)
$ \begin{align} |OA| & = \sqrt{(x_1-3)^2 + (y_1-1)^2} \\ |OA| & = \sqrt{(\frac{25-k}{5}-3)^2 + (\frac{17}{5}-1)^2} \\ |OA| & = \sqrt{(\frac{10-k}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2} \\ |OA|^2 & = (\frac{10-k}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2 \end{align} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ k \, $ dari pers(i) :
$ \begin{align} |OA| & = r \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ |OA|^2 & = r^2 \\ (\frac{10-k}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2 & = 10 - k \\ \frac{k^2 - 20k + 100}{25} + \frac{144}{25} & = 10 - k \, \, \, \, \, \text{(kali 25)} \\ k^2 - 20k + 100 + 144 & = 250 - 25k \\ k^2 + 5k - 6 & = 0 \\ (k-1)(k+6) & = 0 \\ k = 1 \vee k & = -6 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 1 . \heartsuit $

Cara II :
$\clubsuit \, $ Konsep dasar lingkaran :
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Pusatnya : $ (a,b)= \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) $
Jari-jarinya : $ r^2 = a^2 + b^2 - C $
$\clubsuit \, $ Menentukan unsur-unsur lingkaran :
$ x^2 + y^2 - 6x - 2y + k = 0 \rightarrow A = -6, \, B = -2, \, C = k $
Pusat lingkaran : $ (a,b)= \left( -\frac{-6}{2}, - \frac{-2}{2} \right) = (3,1) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C \rightarrow r^2 = 3^2 + 1^2 - k \rightarrow k = 10 - r^2 \, $ ....pers(i)
Gambar ilustrasinya :
sbmptn_mat_ipa_kode_517_3_2015
Panjang $ OC = 5 $
$\clubsuit \, $ Teorema Pythagoras pada segitiga AOC
$ \begin{align} OC^2 & = AO^2 + AC^2 \\ 5^2 & = r^2 + AC^2 \\ AC^2 & = 25 - r^2 \\ AC & = \sqrt{25 - r^2} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Segitiga AOC dan segitiga BOC kongruen sehingga luas segiempat AOBC adalah 2 kali segitiga AOC.
$ \begin{align} \text{Luas segiempat } AOBC & = 12 \\ 2 \times \text{Luas } AOC & = 12 \\ \text{Luas } AOC & = 6 \\ \frac{1}{2}.OA.AC & = 6 \\ r.\sqrt{25 - r^2} & = 12 \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ r^2.(25 - r^2) & = 144 \\ r^4 - 25r^2 + 144 & = 0 \\ (r^2 - 9)(r^2 -16) & = 0 \\ r^2 = 9 \vee r^2 & = 16 \end{align} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ k \, $ dari nilai $ r^2 \, $ dan pers(i) :
$ \begin{align} r^2 = 9 \rightarrow k & = 10 - r^2 \\ k & = 10 - 9 = 1 \\ r^2 = 16 \rightarrow k & = 10 - r^2 \\ k & = 10 - 16 = -6 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 1 . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ \sin \left( x + 15^\circ \right) = a \, $ dengan $ 0^\circ \leq x \leq 15^\circ , \, $ maka nilai $ \sin \left( 2x + 60^\circ \right) \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar trigonometri
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$ \sin 2A = 2 \sin A \cos A $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai trigonometri
$ \sin (x+15^\circ ) = a \rightarrow \sin (x+15^\circ ) = \frac{a}{1} = \frac{de}{mi} $
gambar segitiga untuk sudut $ (x+15^\circ ) $ :
sbmptn_mat_ipa_kode_517_4_2015
sehingga nilai $ \cos (x+15^\circ ) = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1-a^2}}{1} = \sqrt{1-a^2} $
*). Nilai $ \sin 2(x+15^\circ ) $
$\begin{align} \sin 2(x+15^\circ ) & = 2 \sin (x+15^\circ ) . \cos (x+15^\circ ) \\ \sin 2(x+15^\circ ) & = 2 a \sqrt{1-a^2} \end{align}$
gambar segitiga untuk sudut $ 2(x+15^\circ ) $ :
sbmptn_mat_ipa_kode_517_4a_2015
Cara menentukan nilai $ x $
$\begin{align} x^2 & = 1^2 - (2 a \sqrt{1-a^2})^2 \\ x & = \sqrt{1^2 - (2 a \sqrt{1-a^2})^2 } \\ x & = \sqrt{1 - (4 a^2(1-a^2)) } \\ & = \sqrt{1 - (4 a^2 - 4a^4) } \\ & = \sqrt{1 - 4 a^2 + 4a^4 } \\ & = \sqrt{(1-2a^2)^2 } \\ x & = 1-2a^2 \end{align}$
sehingga nilai $ \cos 2(x+15^\circ ) = \frac{samping}{miring} = \frac{1-2a^2}{1} = 1-2a^2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \sin \left( 2x + 60^\circ \right) \, $ dan gunakan $ \sin (A+B) $
$\begin{align} \sin \left( 2x + 60^\circ \right) & = \sin \left( 2x + 30^\circ + 30^\circ \right) \\ & = \sin \left( \underbrace{2(x + 15^\circ )}_{A} + \underbrace{30^\circ }_{B} \right) \\ & = \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ & = \sin 2(x + 15^\circ ) \cos 30^\circ + \cos 2(x + 15^\circ ) \sin 30^\circ \\ & = 2 a \sqrt{1-a^2} . \frac{1}{2} \sqrt{3} + (1-2a^2) . \frac{1}{2} \\ & = a \sqrt{1-a^2} \sqrt{3} + \frac{1}{2} - a^2 \\ & = a \sqrt{3(1-a^2)} + \frac{1}{2} - a^2 \\ & = \frac{1}{2} - a^2 + a \sqrt{3(1-a^2)} \end{align}$
Jadi, nilai $ \sin \left( 2x + 60^\circ \right) = \frac{1}{2} - a^2 + a \sqrt{3(1-a^2)} . \, \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui $\vec{a} = 2\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k} \, $ dan $ \vec{b} = \vec{i} - 4\vec{j}. \, $ Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh $ \vec{a} + \vec{b} \, $ dan $ \vec{a} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar vektor :
*). Misalkan ada vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \, $ dan $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $
i).Penjumlahan : $ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) $
ii).Perkalian dot : $ \vec{a} . \vec{b} = a_1. b_1 + a_2 . b_2 + a_3 . b_3 $
iii).Panjang vektor : $ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 } $
iv). Sudut dua vektor : $ \cos \theta = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|} $
$\clubsuit \, $ Konsep Luas pada segitiga ABC
Luas segitiga ABC = $ \frac{1}{2} . AB. AC. \sin A $
$\clubsuit \, $ Diketahui vektor-vektor berikut :
$ \vec{a} = 2\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k} \rightarrow \vec{a} = (2, - 2, - 1) $
$ \vec{b} = \vec{i} - 4\vec{j} \rightarrow \vec{b} = (1, -4, 0 ) $
$ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (3, -6, -1) $
$ \vec{a} . \vec{c} = 2.3 + (-2).(-6) + (-1).(-1) = 6 +12 + 1 = 19 $
$ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-1)^2 } = \sqrt{9} = 3 $
$ |\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + (-1)^2 } = \sqrt{46} $
$\clubsuit \, $ Menentukan besarnya sudut $ \vec{a} \, $ dan $ \vec{c} $
$ \cos \theta = \frac{\vec{a}.\vec{c}}{|\vec{a}|.|\vec{c}|} = \frac{19}{3.\sqrt{46}} \rightarrow \cos \theta = \frac{19}{3\sqrt{46}} $
gambar segitganya :
sbmptn_mat_ipa_kode_517_5_2015
Sehingga nilai $ \sin \theta = \frac{\sqrt{53}}{3\sqrt{46}} $
$\clubsuit \, $ Gambar jajargenjang yang dibentuk oleh $ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \, $ dan $ \vec{a} $
sbmptn_mat_ipa_kode_517_5a_2015
$\clubsuit \, $ Menentukan luas jajargenjang
$\begin{align} \text{ Luas jajargenjang } & = 2 L_{\Delta ABD} \\ & = 2 . \frac{1}{2} . AB . AD . \sin \theta \\ & = AB. AD . \sin \theta \\ & = 3. \sqrt{46} . \frac{\sqrt{53}}{3\sqrt{46}} \\ & = \sqrt{53} \end{align}$
Jadi, luas jajargenjang adalah $ \sqrt{53} . \, \heartsuit $
Nomor 4
Pencerminan garis $ y = -x + 2 \, $ terhadap garis $ y = 3 \, $ menghasilkan garis ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar pencerminan (refleksi)
Titik ($x,y$) dicerminkan terhadap garis $ y = m , \, $ bayangannya ($x^\prime , y^\prime$) :
$ (x^\prime , y^\prime) = ( x, 2m-y) $
artinya $ x^\prime = x, \, $ dan $ y^\prime = 2m - y $
$\spadesuit \, $ Karena yang ditransformasi (dicerminkan) adalah garis (suatu persamaan), maka cukup kita transformasi titik ($x,y$) saja (ini berlaku umum untuk semua jenis transformasi).
$\spadesuit \, $ Pencerminan terhadap garis $ y = 3 $
$\begin{align} (x^\prime , y^\prime) & = ( x, 2m-y) \\ (x^\prime , y^\prime) & = ( x, 2.3-y) \\ (x^\prime , y^\prime) & = ( x, 6-y) \end{align}$
diperoleh $ x^\prime = x, \, $ dan $ y^\prime = 6-y \rightarrow y = 6 - y^\prime $
$\spadesuit \, $ Menentukan bayangan dengan substitusi $ x = x^\prime \, $ dan $ y = 6 - y^\prime $
Persamaan awal : $ y = -x + 2 $
$\begin{align} \text{bayangan : } 6 - y^\prime & = -x^\prime + 2 \\ y^\prime & = x^\prime + 4 \end{align}$
Jadi, bayangannya adalah $ y = x + 4 . \, \heartsuit $
Nomor 5
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4, titik P terletak pada segmen AF sehingga PF = 2AP. Titik Q adalah titik potong garis GP dan bidang ABCD. Jika $ \alpha \, $ adalah sudut yang terbentuk antara garis GQ dan garis DA, maka nilai $ \cos \alpha \, $ adalah ....
sbmptn_mat_ipa_kode_517_1_2015
$\clubsuit \, $ Menentukan unsur-unsur kubus dengan panjang rusuk kubus : $ s = 4 $
*). Panjang AF = diagonal sisi = $ s\sqrt{2} = 4\sqrt{2} $
*). PF = 2AP $ \rightarrow \frac{PF}{AP} = \frac{2}{1} $
sehingga $ AP = \frac{1}{3} AF = \frac{1}{3} . 4\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3} $
*).Panjang AQ dari segitiga berikut,
sbmptn_mat_ipa_kode_517_1a_2015
Segitiga APQ sebangun dengan segitiga GDQ :
$\begin{align} \frac{AQ}{DQ} & = \frac{AP}{DG} \\ \frac{x}{x + 4} & = \frac{\frac{1}{3}4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} \\ \frac{x}{x + 4} & = \frac{1}{3} \\ 3x & = x + 4 \\ x & = 2 \\ GQ & = \sqrt{DQ^2 + GD^2 } \\ GQ & = \sqrt{6^2 + (4\sqrt{2})^2 } \\ GQ & = \sqrt{36 + 32 } \\ GQ & = \sqrt{68 } = 2\sqrt{17} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \cos \alpha \, $ dari segitiga GDQ
$\begin{align} \cos \alpha = \frac{samping}{miring} = \frac{6}{2\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}} \end{align}$
Jadi, nilai $ \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{17}} . \, \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 624 tahun 2015 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $ A = \left[ \begin{matrix} 2 & a \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] \, $ merupakan matriks yang mempunyai invers dan $ det(B^{-1}) = 9 , \, $ maka jumlah semua nilai $ a \, $ yang mungkin sehingga $ det(A^{-1}) = det \left( (AB) \right) \, $ adalah .....
$\spadesuit \, $ sifat-sifat determinan
$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \, $ dan $ |A.B | = |A|.|B| $
sehigga : $ |B^{-1}| = 9 \rightarrow \frac{1}{|B|} = 9 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} 2 & a \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = 2.2 - a.1 = 4 - a $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A^{-1}) & = det \left( (AB) \right) \\ |A^{-1}| & = \left| (AB) \right| \\ \frac{1}{|A|} & = |A|.|B| \\ |A|^2 & = \frac{1}{|B|} \\ (4-a)^2 & = 9 \\ 16-8a+a^2 & = 9 \\ a^2 - 8a + 7 & = 0 \\ (a-1)(a-7) & = 0 \\ a = 1 \vee a & = 7 \end{align}$
hasil jumlah nilai $ a \, $ adalah $ a_1+a_2 = 1 + 7 = 8 $
atau gunakan operasi akar-akar :
$ a^2 -8a + 7 = 0 \rightarrow a_1+a_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-8)}{1} = 8 $
Jadi, hasil jumlah semua nilai $ a \, $ adalah 8. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika semua akar persamaan $ x^2 - 6x + q = 0 \, $ merupakan bilangan bulat positif, maka jumlah semua nilai $ q \, $ yang mungkin adalah .....
$\clubsuit \, $ Persamaan kuadrat : $ x^2 - 6x + q = 0 $
$ a = 1, \, b = -6 , \, $ dan $ c = q $
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-6)}{1} = 6 \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{q}{1} = q \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ q \, $ dari pers(i) dan pers(ii) dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ bilangan bulat positif.
$ x_1 + x_2 = 6 \, $ dan $ x_1.x_2 = q $
*). $ x_1 = 1, \, x_2 = 5 \rightarrow q = x_1.x_2 = 1.5 = 5 $
*). $ x_1 = 2, \, x_2 = 4 \rightarrow q = x_1.x_2 = 2.4 = 8 $
*). $ x_1 = 3, \, x_2 = 3 \rightarrow q = x_1.x_2 = 3.3 = 9 $
Sehingga jumlah semua nilai $ q \, $ yang mungkin :
Jumlah = 5 + 8 + 9 = 22.
Jadi, jumlah semua nilai $ q \, $ adalah 22. $ \heartsuit $
Nomor 13
Jika garis $ 2x-y = 3 \, $ tidak memotong maupun menyinggung kurva $ y = x^2 + ax + 1 , \, $ maka ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar hubungan garis dan parabola
Syarat garis dan parabola tidak berpotongan maupun menyinggung : $ D < 0 $ . dengan $ D \, $ adalah nilai Diskriminan , rumus : $ D = b^2-4ac $
$\spadesuit \, $ Substitusi parabola ke garis
$\begin{align} 2x-y & = 3 \\ 2x-(x^2 + ax + 1) & = 3 \\ -x^2 + 2x - ax - 1 & = 3 \\ -x^2 + (2-a)x - 4 & = 0 \\ a = -1, \, b = 2-a, \, c & = -4 \\ \text{ Syarat : } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ [2-a]^2 - 4.(-1).(-4) & < 0 \\ (4 - 4a + a^2) - 16 & < 0 \\ a^2 - 4a - 12 & < 0 \\ (a-6)(a+2) & < 0 \\ a = 6 \vee a & = -2 \end{align}$
sbmptn_matdas_4_k624_2015.png
Jadi, garis dan parabola tidak berpotongan maupun menyinggung ketika $ \{ -2 < a < 6 \} . \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui rata-rata dari 9 nilai pengamatan sama dengan dua kali mediannya. Jika jumlah nilai pengamatan yang lebih kecil daripada median adalah 106 dan jumlah nilai pengamatan yang lebih besar daripada median adalah 200, maka rata-rata dari 9 nilai pengamatan tersebut adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep rata-rata $ (\overline{X}) $
$ \overline{X} = \frac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}} $
$\clubsuit \, $ Misalkan datanya : $ a_1, a_2, a_3,a_4, x, b_1, b_2, b_3, b_4 $
dengan $ x \, $ sebagai nilai median dan
$ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 106 \, $ serta $ b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 200 $
$\begin{align} \overline{X} & = \frac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}} \\ \overline{X} & = \frac{(a_1+a_2+a_3+a_4)+x+(b_1+b_2+b_3+b_4)}{9} \\ \overline{X} & = \frac{(106)+x+(200)}{9} \\ \overline{X} & = \frac{306+x}{9} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \text{rata-rata } & = 2 \times \text{ median} \\ \overline{X} & = 2x \\ \frac{306+x}{9} & = 2x \\ 306 + x & = 18x \\ 17x & = 306 \\ x & = \frac{306}{17} = 18 \end{align} $
Sehingga nilai rata-ratanya : $ \overline{X} = 2x = 2. 18 = 36 $
Jadi, rata-ratanya adalah 36. $ \heartsuit $
Nomor 15
Seorang siswa sedang melakukan percobaan statistika dengan cara menggunakan 6 bola bilyar berturut-turut bernomor 2, 3, 4, 5, 5, dan 6. Semua bola tersebut dimasukkan ke dalam kotak. Selanjutnya, diambil tiga bola secara acak dan dicatat angka yang muncul sehingga membentuk bilangan. Angka pada bola yang muncul pertama dicatat sebagai ratusan, angka pada bola kedua sebagai puluhan, dan angka pada bola ketiga sebagai satuan. Jika bilangan yang sama dianggap sebagai satu kejadian dan peluang setiap kejadian adalah sama, maka peluang untuk mendapatkan bilangan yang lebih besar daripada 600 adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep peluang
*). $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \, $
$\spadesuit \, $ ada 6 angka yaitu 2, 3, 4, 5, 5, dan 6.
Menentukan semua tiga angka yang terbentuk [$n(S)$] dengan membagi menjadi dua kasus :
*). Kemungkinan I : Ratusan memuat angka 5
sbmptn_matdas_5_k624_2015.png
ratusannnya angka 5 sehingga ratusannya ada satu pilihan, dan sisanya angka 2, 3, 4, 5, 6 digunakan untuk mengisi angka puluhan dan satuannya. Puluhannya ada lima pilihan angka (2, 3, 4, 5, 6), dan satuannya ada empat pilihan angka tersisa.
sehingga KI = $ 1 \times 5 \times 4 = 20 $
*). Kemungkinan II : Ratusan tidak memuat angka 5
Misal ratusannya angka 2, untuk puluhannya dibagi menjadi dua kasus yaitu memuat angka 5 atau tidak
sbmptn_matdas_5a_k624_2015.png
puluhan memuat angka 5 : ratusannya angka 2 ada 1 pilihan, puluhannya angka 5 ada 1 pilihan dan satuannya ada 4 pilihan (3,4,5,6)
puluhan tidak memuat angka 5 : ratusannya angka 2 ada 1 pilihan, puluhannya ada 3 pilihan (3,4,6) dan satuannya ada 3 pilihan (angka 5 dan sisanya)
sehingga untuk ratusannya angka 2 ada $ 1 \times 1 \times 4 + 1 \times 3 \times 3 = 4 + 9 = 13 $
Sementara untuk ratusannya selain angka 2 bisa juga angka lain seperti 3,4,6 , artinya ada 4 kemungkinan ratusan (2,3,4,6) yang tidak memuat angka 5.
KII = $ 4 \times 13 = 52 $
Diperoleh : $ n(S) = KI + KII = 20 + 52 = 72 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) \, $ [bilangan $ > 600 $ ]
Agar bilangannya lebih besar dari 600, maka ratusannya harus angka 6, kemudian angka puluhannya dibagi menjadi dua kasus yaitu memuat angka 5 atau tidak.
sbmptn_matdas_5b_k624_2015.png
ratusan angka 6 ada 1 pilihan, puluhan angka 5 ada 1 pilihan, satuan ada 4 pilihan (2,3,4,5).
ratusan angka 6 ada 1 pilihan, puluhan tidak memuat angka 5 ada 3 pilihan (2,3,4), satuan ada 3 pilihan sisanya.
Sehingga $ n(A) = 1.1.4 + 1.3.3 = 4 + 9 = 13 $
Peluang kejadian A :
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{13}{72} $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang $ P(A) \, $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{13}{72} $
Jadi, peluang terbentuknya bilangan lebih besar daripada 600 adalah $ \frac{13}{72} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 624 tahun 2015 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{2}{1-x} < x+2 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align} \frac{2}{1-x} < x+2 \\ \frac{2}{1-x} - (x+2) & < 0 \\ \frac{2}{1-x} - \frac{(x+2)(1-x)}{1-x} & < 0 \\ \frac{2- (x+2)(1-x)}{1-x} & < 0 \\ \frac{2- (-x^2-x+2)}{1-x} & < 0 \\ \frac{x^2+x}{1-x} & < 0 \\ \frac{x(x+1)}{1-x} & < 0 \\ x=0, \, x= -1, \, x & = 1 \end{align}$
sbmptn_matdas_3_k624_2015.png
Jadi, solusinya $ HP = \{ -1 < x < 0 \vee x > 1 \} . \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui suatu fungsi $ f \, $ bersifat $ f(-x) = -f(x) \, $ untuk setiap bilangan real $ x . \, $ Jika $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1, \, $ maka $ f(f(-3)) = .... $
$\clubsuit \, $ Diketahui $ f(-x) = -f(x) \, $ ....pers(i)
berlaku juga : $ f(x) = - f(-x) \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Diketahui nilai : $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1 $
$ f(-3) = -f(3) = -(-5) = 5 \, $ ....dari pers(i)
$ f(5) = -f(-5) = - (1) = -1 \, $ ....dari pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} f(f(-3)) & = f(5) \, \, \, \, \text{....[ dengan } f(-3) = 5 ] \\ & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ f(f(-3)) = -1 . \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui sistem persamaan $ \left\{ \begin{array}{c} \frac{x+2}{4} + \frac{2y-1}{3}=4, \\ \frac{x-2}{2} + \frac{y-x}{3}=1. \end{array} \right. $
Nilai $ y-x \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan sistem persamaan
$\begin{align} \frac{x+2}{4} + \frac{2y-1}{3} & = 4 \, \, \, \, \text{(kali 12)} \\ 3(x+2) + 4(2y-1) & = 48 \\ 3x + 8y & = 46 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ \frac{x-2}{2} + \frac{y-x}{3} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 3(x-2) + 2(y-x) & = 6 \\ x + 2y & = 12 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 3x + 8y = 46 & \times 1 & 3x + 8y = 46 & \\ x + 2y = 12 & \times 4 & 4x + 8y = 48 & - \\ \hline & & -x = -2 & \\ & & x = 2 & \end{array} $
pers(ii) : $ x + 2y = 12 \rightarrow 2 + 2y = 12 \rightarrow y = 5 $
Sehingga nilai $ y - x = 5 - 2 = 3 $
Jadi, nilai $ y - x = 3 . \heartsuit$
Nomor 9
Empat orang siswa akan mengikuti suatu perlombaan karya inovatif. Untuk itu, diperlukan biaya Rp 900.000,00. Karena masing-masing memiliki kondisi keuangan yang berbeda, besar kontribusi masing-masing siswa tidak sama. Siswa A memberikan kontribusi setengah dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa B memberikan kontribusi sepertiga dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa C memberikan kontribusi seperempat dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Besar kontribusi siswa D adalah Rp ....
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan
$\begin{align} A = \frac{1}{2}(B+C+D) \rightarrow 2A & = B+C+D \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ B = \frac{1}{3}(A+C+D) \rightarrow 3B & = A+C+D \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \\ C = \frac{1}{4}(A+B+D) \rightarrow 4C & = A+B+D \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \\ A + B + C + D & = 900.000 \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iv) ke semua persamaan
$\begin{align} \text{pers(i) : } 2A & = B+C+D \\ 2A & = 900.000 - A \\ 3A & = 900.000 \\ A & = 300.000 \\ \text{pers(ii) : } 3B & = A+C+D \\ 3B & = 900.000 - B \\ 4B & = 900.000 \\ B & = 225.000 \\ \text{pers(iii) : } 4C & = A+B+D \\ 4C & = 900.000 - C \\ 5C & = 900.000 \\ C & = 180.000 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai D
$\begin{align} A + B + C + D & = 900.000 \\ 300.000 + 225.000 + 180.000 + D & = 900.000 \\ D & = 195.000 \end{align}$
Jadi, besarnya kontribusi siswa D adalah Rp 195.000,00. $ \heartsuit $
Nomor 10
Jika $ f(2x+4) = 2 - \frac{x}{2} , \, $ maka $ f^{-1} (x) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ f(A) = B \Leftrightarrow f^{-1} (B) = A $
sehingga : $ f(2x+4) = 2 - \frac{x}{2} \Rightarrow f^{-1} ( 2 - \frac{x}{2} ) = 2x+4 $
$\spadesuit \, $ Menentukan inversnya
Misal : $ p = 2 - \frac{x}{2} \rightarrow x = 2(2-p) = 4-2p $
Substitusi bentuk $ p $
$\begin{align} f^{-1} ( 2 - \frac{x}{2} ) & = 2x+4 \\ f^{-1} ( p ) & = 2(4-2p)+4 \\ f^{-1} ( p ) & = 12-4p \end{align}$
Sehingga diperoleh : $ f^{-1}(x) = 12-4x $
Jadi, diperoleh $ f^{-1}(x) = 12-4x . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15