Pembahasan Logaritma UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x > y \geq 1 $ dan $ \log (x^2 + y^2 + 2xy) = 2 \log (x^2-y^2) $ , maka $ {}^x \log (1 + y) = ... $
A). $ \log 2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan logaritma :
$ \log f(x) = \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). SIfat-sifat logaritma :
$ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
$ {}^a \log a = 1 $
*). Bentuk pemfaktoran :
$ x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) $
$ x^2 + y^2 + 2xy = (x+y)^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hubungan $ x $ dan $ y $ :
$\begin{align} \log (x^2 + y^2 + 2xy) & = 2 \log (x^2-y^2) \\ \log (x+y)^2 & = \log (x^2-y^2)^2 \\ (x+y)^2 & = (x^2-y^2)^2 \\ (x+y)^2 & = [(x+y)(x-y)]^2 \\ (x+y)^2 & = (x+y)^2(x-y)^2 \\ 1 & = (x-y)^2 \\ x - y & = \pm \sqrt{1} \\ x - y & = \pm 1 \end{align} $
-). Karena $ x > y \geq 1 $ , maka $ x - y = 1 $ yang memenuhi.
Sehingga $ x - y = 1 \rightarrow x = y + 1 $
*). Menentukan nilai $ {}^x \log (1 + y) $ dengan $ x = y + 1 $ :
$\begin{align} {}^x \log (1 + y) & = {}^x \log x = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^x \log (1 + y) = 1. \, \heartsuit $

Pembahasan Garis Singgung UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Jika bilangan bulat $ p $ merupakan akar $ f(x) = 0 $ dengan $ f(x)=px^2-3x-p-3 $ , maka gradien garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik dengan absis $ x = p $ adalah ...
A). $ -5 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Akar-akar dari suatu persamaan bisa disubstitusikan ke persamaannya.
*). Gradien garis singgung di $ x = x_1 $ pada kurva $ y = f(x) $ adalah $ y = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ f(x)=px^2-3x-p-3 $ :
*). Bilangan bulat $ p $ merupakan akar $ f(x) = 0 $, artinya $ f(p) = 0 $ :
$\begin{align} f(x) & = px^2-3x-p-3 \\ f(p) & = 0 \\ p.p^2-3p-p-3 & = 0 \\ p^3-3p-p-3 & = 0 \\ p^3-4p-3 & = 0 \\ (p+1)(p^2 - p - 3) & = 0 \\ p = -1 \vee p^2 - p - 3 & = 0 \end{align} $
(pemfaktoranya menggunakan metode skema/horner).
-). Bentuk $ p^2 - p - 3 = 0 $ tidak bisa difaktorkan lagi, sehingga kita hanya memperoleh $ p = -1 $. Sehingga fungsinya menjadi $ f(x) = -1x^2 - 3x - (-1) - 3 = -x^2 -3x - 2 $ dan $ f^\prime (x) = -2x - 3 $.
*). Menentukan gradien untuk $ x = p = -1 $ :
$\begin{align} m & = f^\prime (-1) \\ & = -2 (-1) - 3 \\ & = 2 - 3 = -1 \end{align} $
Jadi, gradiennya adalah $ -1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan Log UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Pertidaksamaan $ {}^2 \log (x^2-x) \leq 1 $ mempunyai penyelesaian ...
A). $ x < 0 \, $ atau $ x > 1 $
B). $ -1 < x < 2; x \neq 1 ; x \neq 0 \, $
C). $ -1 \leq x < 0 \, $ atau $ 1 < x \leq 2 $
D). $ -1 \leq x \leq 0 \, $ atau $ 1 \leq x \leq 2 $
E). $ -1 < x < 0 \, $ atau $ 1 \leq x < 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow {}^2 \log (x^2-x) & \leq 1 \\ {}^2 \log (1^2-1) & \leq 1 \\ {}^2 \log 0 & \leq 1 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=1$ SALAH karena numerus harus $ > 0 $ , opsi yang benar A, B, dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=2 \Rightarrow {}^2 \log (x^2-x) & \leq 1 \\ {}^2 \log (2^2-2) & \leq 1 \\ {}^2 \log 2 & \leq 1 \\ 1 & \leq 1 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=2$ BENAR, opsi yang benar A dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow {}^2 \log (x^2-x) & \leq 1 \\ {}^2 \log (3^2-3) & \leq 1 \\ {}^2 \log 6 & \leq 1 \\ 2,.. & \leq 1 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=3$ SALAH, opsi yang benar C.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ -1 \leq x < 0 \, $ atau $ 1 < x \leq 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Pertidaksamaan $ {}^2 \log (x^2-x) \leq 1 $ mempunyai penyelesaian ...
A). $ x < 0 \, $ atau $ x > 1 $
B). $ -1 < x < 2; x \neq 1 ; x \neq 0 \, $
C). $ -1 \leq x < 0 \, $ atau $ 1 < x \leq 2 $
D). $ -1 \leq x \leq 0 \, $ atau $ 1 \leq x \leq 2 $
E). $ -1 < x < 0 \, $ atau $ 1 \leq x < 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
5). Cari syarat jika ada, lalu iriskan semua himpunan penyelesaiannya.
*). Pertidaksamaan Logaritma :
Bentuk $ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ memiliki penyelesaian :
Jika $ a > 1 $ , maka $ f(x) \leq g(x) \, $ (ketaksamaan tetap).
Jika $ 0 < a < 1 $ , maka $ f(x) \geq g(x) \, $ (ketaksamaan diubah).
Dan memenuhi syarat : $ f(x) > 0 $ dan $ g(x) > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ {}^2 \log (x^2-x) \leq 1 $
*). Solusi syarat :
$\begin{align} (x^2-x) & > 0 \\ x(x - 1) & > 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align} $
garis bilangan pertama :
 

$ HP_1 = \{ x < 0 \vee x > 1 \} $
*). Solusi Umum :
$\begin{align} {}^2 \log (x^2-x) & \leq 1 \\ {}^2 \log (x^2-x) & \leq {}^2 \log 2 \\ (x^2-x) & \leq 2 \\ x^2-x - 2 & \leq 0 \\ (x+1)(x-2) & \leq 0 \\ x = -1 \vee x & = 2 \end{align} $
Garis bilangan kedua :
 

$ HP_2 = \{ -1 \leq x \leq 2 \} $
*). SOlusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x < 0 \vee x > 1 \} \cap \{ -1 \leq x \leq 2 \} \\ & = \{ -1 \leq x < 0 \vee 1 < x \leq 2 \} \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ -1 \leq x < 0 \vee 1 < x \leq 2 \} . \, \heartsuit $