Cara 2 Pembahasan Transformasi UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ P_1 $ adalah pencerminan titik $ P(2,k) $ terhadap garis $ x = y $ . Jika luas segitiga $ POP_1 $ adalah 6, maka $ |k|=... $
A). $ 2\sqrt{2} \, $ B). $ 2\sqrt{3} \, $ C). $ \sqrt{10} \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bayangan titik $ A(x,y) $ dicerminkan terhadap garis $ y = x $ adalah $ A^\prime (y,x) $
(titiknya dibalik saja).
*). Segitiga ABC dengan titik sudut $ A(a_1,a_2) $ , $ B(b_1,b_2) $ dan $ C(c_1,c_2) $.
Luas segitiga ABC $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas segitiga ABC $ = \frac{1}{2} [(a_1b_2+b_1c_2+c_1a_2)-(b_1a_2+c_1b_2+a_1c_2)] $
*). Bentuk mutlak : $ |A-B| = A - B $ atau $ |A-B| = B - A $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Titik $ P(2,k) $ dicerminkan terhadap garis $ y = x $ menghasilkan banyangan $ P_1(k,2) $. Sehingga ketiga titik sudut segitiganya adalah $ O(0,0) $ , $ P(2,k) $ , dan $ P_1(k,2) $.
*). Menentukan nilai $ k $ dengan luas segitiga $ POP_1 $ :
$\begin{align} \text{Luas } POP_1 & = 6 \\ \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| & = 6 \\ \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 0 & 2 & k & 0 \\ 0 & k & 2 & 0 \end{matrix} \right| & = 6 \\ \frac{1}{2} |(0.k+2.2+k.0)-(2.0+k.k+0.2)| & = 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ |(0+4+0)-(0+k^2+0)| & = 12 \\ |4 - k^2| & = 12 \\ k^2 - 4 & = 12 \\ k^2 & = 16 \\ k & = \pm 4 \\ |k| & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ |k| = 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Transformasi UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ P_1 $ adalah pencerminan titik $ P(2,k) $ terhadap garis $ x = y $ . Jika luas segitiga $ POP_1 $ adalah 6, maka $ |k|=... $
A). $ 2\sqrt{2} \, $ B). $ 2\sqrt{3} \, $ C). $ \sqrt{10} \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bayangan titik $ A(x,y) $ dicerminkan terhadap garis $ y = x $ adalah $ A^\prime (y,x) $
(titiknya dibalik saja).
*). Luas bangun datar :
Luas segitiga = $ \frac{1}{2} \times $ alas $ \times $ tinggi
Luas persegi panjang = panjang $ \times $ lebar.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Titik $ P(2,k) $ dicerminkan terhadap garis $ y = x $ menghasilkan banyangan $ P_1(k,2) $. Sehingga ketiga titik sudut segitiganya adalah $ O(0,0) $ , $ P(2,k) $ , dan $ P_1(k,2) $. Berikut ilustrasi gambar segitiganya.
 

*). Perhatikan gambar di atas :
-). Persegi panjang OABC, $ OA = k $ dan $ OC = k $
Luas OABC $ = p \times l = k.k = k^2 $
-). Segitiga $ OAP_1 $, $ OA = k $ dan $ AP_1 = 2 $
Luas $ OAP_1 = \frac{1}{2}.OA.AP_1 = \frac{1}{2}.k.2 = k $
-). Segitiga $ OCP $ , $ OC = k $ dan $ CP = 2 $
Luas $ OCP = \frac{1}{2}.OC.CP = \frac{1}{2}.k.2 = k $
-). Segitiga $ PBP_1 $ , $ PB = k-2 $ dan $ BP_1 = k-2 $
Luas $ PBP_1 = \frac{1}{2}.PB.BP_1 = \frac{1}{2}.(k-2).(k-2) = \frac{1}{2}(k^2 - 4k + 4) $
*). Menentukan nilai $ k $ :
$\begin{align} \text{Luas } POP_1 & = 6 \\ L_{OABC} - (L_{OAP_1} + L_{OCP} + L_{PBP_1}) & = 6 \\ L_{OABC} - L_{OAP_1} - L_{OCP} - L_{PBP_1} & = 6 \\ k^2 - k - k - \frac{1}{2}(k^2 - 4k + 4) & = 6 \\ k^2 - 2k - \frac{1}{2}(k^2 - 4k + 4) & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2k^2 - 4k - (k^2 - 4k + 4) & = 12 \\ k^2 - 4 & = 12 \\ k^2 & = 16 \\ k & = \pm 4 \\ |k| & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ |k| = 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui proyeksi vektor $ \vec{v} $ pada vektor $ \vec{u} $ sama dengan proyeksi vektor $ \vec{w} $ pada vektor $ \vec{u} $ . Jika $ 2\vec{v}.\vec{u}= \sqrt{3}|\vec{v}||\vec{u}| $ dan $ 2\vec{w}.\vec{u}= |\vec{w}||\vec{u}| $, maka $ \frac{\vec{v}.\vec{w}}{|\vec{v}||\vec{w}|} = ... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ \frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{5} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Perkalian dot vektor.
Misalkan ada vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ dimana kedua vektor membentuk sudut sebesar $ \theta $, maka berlaku :
$ \vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta $ atau $ \cos \theta = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan besar sudut yang terbentuk :
$ \angle ( \vec{v}, \vec{u} ) = x $ , $ \angle ( \vec{w}, \vec{u} ) = y $ , dan $ \angle ( \vec{v}, \vec{w} ) = z $
*). Menentukan besarnya $ x $ dan $ y $ :
$\begin{align} 2\vec{v}.\vec{u} = \sqrt{3}|\vec{v}||\vec{u}| \rightarrow \frac{\vec{v}.\vec{u}}{|\vec{v}||\vec{u}|} & = \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos x & = \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ x & = 30^\circ \\ 2\vec{w}.\vec{u} = |\vec{w}||\vec{u}| \rightarrow \frac{\vec{w}.\vec{u}}{|\vec{w}||\vec{u}|} & = \frac{1}{2} \\ \cos y & = \frac{1}{2} \\ y & = 60^\circ \end{align} $
*). Karena proyeksi $ \vec{v} $ pada $ \vec{u} $ sama dengan proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{u} $ (hasil proyeksinya adalah vektor $ \vec{c} $) , dan besar sudut $ x = 30^\circ $ , $ y = 60^\circ $ , maka gambar ketiga vektor yang mungkin adalah :
 

*). Dari gambar kita peroleh :
$ z + x = y \rightarrow z = y - x = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ $
Artinya besar sudut antara vektor $ \vec{v} $ dan $ \vec{w} $ adalah $ 30^\circ $.
*). Menentukan nilai yang diminta :
$\begin{align} \frac{\vec{v}.\vec{w}}{|\vec{v}||\vec{w}|} & = \cos z = \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{\vec{v}.\vec{w}}{|\vec{v}||\vec{w}|} = \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Trigonometri UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui segitiga ABC dengan $ |BC|= 2\sqrt{3} $ dan $ \angle BAC = 60^\circ $. Jika $ |AC| + |AB| = 6 $ , maka $ \left| |AC| - |AB| \right| = ... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan Kosinus pada segitiga ABC :
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2.AB.AC . \cos \angle BAC $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

Misalkan panjang $ |AB| = x \, $ dan $ |AC| = y $
$ |AC| + |AB| = 6 \rightarrow x + y = 6 $
*). Kuadratkan persamaan $ x + y = 6 $ :
$\begin{align} x + y & = 6 \\ (x + y)^2 & = 6^2 \\ x^2 + 2xy + y^2 & = 36 \\ x^2 + y^2 & = 36 - 2xy \end{align} $
*). Aturan kosinus pada sudut BAC dan $ x^2 + y^2 = 36 - 2xy $
$\begin{align} BC^2 & = AB^2 + AC^2 - 2.AB.AC . \cos \angle BAC \\ (2\sqrt{3})^2 & = x^2 + y^2 - 2.x.y . \cos 60^\circ \\ 12 & = x^2 + y^2 - 2. xy . \frac{1}{2} \\ 12 & = x^2 + y^2 - xy \\ 12 & = (36 - 2xy) - xy \\ 12 & = 36 - 3xy \\ xy & = 8 \end{align} $
sehingga $ x^2 + y^2 = 36 - 2xy = 36 - 2.8 = 36 - 16 = 20 $
*). Dari nilai $ x^2 + y^2 = 20 $ dan $ xy = 8 $
$\begin{align} \left| |AC|-|AB| \right| ^2 & = (y-x)^2 \\ & = x^2 + y^2 - 2xy \\ & = 20 - 2.8 \\ \left| |AC|-|AB| \right| ^2 & = 4 \\ \left| |AC|-|AB| \right| & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \left| |AC|-|AB| \right| = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui segitiga ABC dengan $ |BC|= 2\sqrt{3} $ dan $ \angle BAC = 60^\circ $. Jika $ |AC| + |AB| = 6 $ , maka $ \left| |AC| - |AB| \right| = ... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan Kosinus pada segitiga ABC :
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2.AB.AC . \cos \angle BAC $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

Misalkan panjang $ |AB| = p $
$ |AC| + |AB| = 6 \rightarrow |AC| = 6 - |AB| = 6 - p $
*). Aturan kosinus pada sudut BAC :
$\begin{align} BC^2 & = AB^2 + AC^2 - 2.AB.AC . \cos \angle BAC \\ (2\sqrt{3})^2 & = p^2 + (6-p)^2 - 2.p.(6-p) . \cos 60^\circ \\ 12 & = p^2 + (36 - 12p + p^2) - 2. (6p-p^2) . \frac{1}{2} \\ 12 & = 2p^2 - 12p + 36 - (6p-p^2) \\ 12 & = 3p^2 - 18p + 36 \\ 0 & = 3p^2 - 18p + 24 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 0 & = p^2 - 6p + 8 \\ 0 & = (p-2)(p-4) \\ p & = 2 \vee p = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \left| |AC|-|AB| \right| $
$\begin{align} p = 2 \rightarrow |AC| & = 6 - p = 6 - 2 = 4 \\ \left| |AC|-|AB| \right| & = \left| 4 - 2 \right| \\ & = |2| = 2 \\ p = 4 \rightarrow |AC| & = 6 - p = 6 - 4 = 2 \\ \left| |AC|-|AB| \right| & = \left| 2 - 4 \right| \\ & = |-2| = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \left| |AC|-|AB| \right| = 2 . \, \heartsuit $