Soal dan Pembahasan Simak UI 2018 Matematika Ipa Kode 414


Nomor 1
DIketahui suku banyak $ f(x) $ dibagi $ x^2 + x - 2 $ bersisa $ ax+b $ dan dibagi $ x^2 - 4x + 3 $ bersisa $ 2bx+a-1 $. Jika $ f(-2) = 7 $ , maka $ a^2 + b^2 = .... $
A). $ 12 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 9 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 5 $
Nomor 2
Himpunan penyelesaian $ 9 - x^2 \geq |x+3| $ adalah ....
A). $ \{ x \in R : -3 \leq x \leq 3 \} \, $
B). $ \{ x \in R : -3 \leq x \leq 2 \} \, $
C). $ \{ x \in R : x \leq -3 \text{ atau } x \geq 2 \} \, $
D). $ \{ x \in R : 0 \leq x \leq 2 \} \, $
E). $ R $
Nomor 3
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $ 2\sin ^2 x - \cos x = 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \pi \, $ D). $ \frac{4}{3}\pi \, $ E). $ 2\pi $
Nomor 4
$ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{ x^2 - 16} = ... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{128} \, $ C). $ \frac{1}{256} \, $ D). $ \frac{1}{512} \, $ E). $ \frac{1}{1024} \, $
Nomor 5
Jika $ \int \limits_{-2}^0 \left( \cos ( -\pi kx) + \frac{6x^2 - 10x + 7}{k+2} \right) dx = (k-2)(k+7) $ untuk nilai $ k $ bilangan bulat, maka $ k + 5 = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 6 \, $

Nomor 6
Pada balok ABCD.EFGH, dengan $ AB = 6, \, BC = 3 $ , dan $ CG = 2 $ , titik M, N, dan O masing-masing terletak pada rusuk EH, FG, dan AD. Jika $ 3EM = EH $ , $ FN = 2NG $ , $ 3DO = 2DA $ , dan $ \alpha $ adalah bidang irisan balok yang melalui M, N, O, perbandingan luas bidang $ \alpha $ dengan luas permukaan balok adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{35}}{36} \, $ B). $ \frac{\sqrt{37}}{36} \, $ C). $ \frac{\sqrt{38}}{36} \, $ D). $ \frac{\sqrt{39}}{36} \, $ E). $ \frac{\sqrt{41}}{36} $
Nomor 7
DIberikan kubus ABCD.EFGH. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP:PG=5:2$ . Jika $ \alpha $ adalah sudut terbesar yang terbentuk antara rusuk CG dan bidang PBD, maka $ \sin \alpha = .... $
A). $ -\frac{7\sqrt{11}}{33} \, $ B). $ -\frac{7\sqrt{11}}{44} \, $ C). $ \frac{7\sqrt{11}}{33} \, $ D). $ \frac{7\sqrt{11}}{44} \, $ E). $ \frac{7\sqrt{11}}{55} $
Nomor 8
Jika $ 3^x + 5^y = 18 $, maka nilai maksimum $ 3^x.5^y $ adalah ....
A). $ 72 \, $ B). $ 80 \, $ C). $ 81 \, $ D). $ 86 \, $ E). $ 88 $
Nomor 9
Diketahui $ sx-y=0 $ adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya berada di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu X. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu X dan titik pusatnya dilalui garis $ x = -2 $ , maka nilai $ 3s $ adalah ....
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
Nomor 10
Jika kurva $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $ selalu berada di atas sumbu X, bilangan bulat terkecil $ a - 2 $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

Nomor 11
Jika $ a+b-c=2 $ , $ a^2+b^2-4c^2 = 2$ , dan $ ab = \frac{3}{2}c^2 $ , maka nilai $ c $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 6 $
Nomor 12
Diketahui sebuah barisan $ 0, \frac{3}{4}, \frac{3}{16}, \frac{9}{64} , .... $ Jumlah 12 suku pertama barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{12}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{22}} \, $
C). $ \frac{1}{2^{11}} \, $ D). $ \frac{1}{2^{22}} \, $ E). $ \frac{3}{2^{12}} $
Nomor 13
Gunakan petunjuk C.
Jika vektor $ \vec{u} = (4, -5, 3) $ , $ \vec{v} = (2, -1, 3) $ , maka ....
(1). $ || \vec{u} + \vec{v} || = 6\sqrt{3} $
(2). $ || \vec{u} - \vec{v} || = \, $ jarak $ \vec{u} $ ke $ \vec{v} $
(3). $ \angle ( \vec{u}, \vec{v}) \, $ tumpul
(4). $ \text{proy}_\vec{v} \vec{u} = \frac{11}{7} (2, -1, 3) $
Nomor 14
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = (c_1 - x)^2 + (c_2 - x)^2 + (c_3 - x)^2 , $ maka pada $ y $ berlaku ....
(1). mempunyai dua titik stasioner
(2). nilai maksimum adalah $ c_1 + \frac{c_2}{2c_3} $
(3). selalu naik
(4). nilai minimumnya terjadi pada $ \frac{c_1+c_2+c_3}{3} $
Nomor 15
Gunakan petunjuk C.
Jika $ \alpha = \frac{\pi}{12} $ , maka ....
(1). $ \sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha = \frac{7}{8} \, $
(2). $ \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = \frac{11}{16} \, $
(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \, $
(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ \alpha = \frac{5\pi}{12} $ , maka ....
(1). $ \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $
(2). $ \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha = \frac{15}{32}\sqrt{3} \, $
(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{3}{4}\sqrt{3} \, $
(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
*). Rumus sudut rangkap :
$ \cos ^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x ) $
$ \sin ^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x ) $
$ \cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x $
$ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x $
*). Sifat eksponen :
$ a^4 - b^4 = (a^2 - b^2 )(a^ + b^2 ) $
$ a^6 - b^6 = (a^4 - b^4)(a^2 + b^2) + (ab)^2(a^2 - b^2) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \alpha = \frac{5\pi}{12} $ dengan $ \pi = 180^\circ $
*). Menentukan beberapa nilai :
$\begin{align} \cos 2 \alpha & = \cos 2 . \frac{5\pi}{12} = \cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin 2 \alpha & = \sin 2 . \frac{5\pi}{12} = \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \\ (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha) & = -(\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha) \\ & = -\cos 2 \alpha = - (-\frac{1}{2}\sqrt{3} ) = \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $

*). Kita cek keempat pernyataan :
(1). $ \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha & = (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha)(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) \\ & = (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha)(1) \\ & = (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha) = \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (1) SALAH.

(2). $ \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha = \frac{15}{32}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} & \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha \\ & = (\sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha )(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha ) +(\sin x \cos x)^2 (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha) \\ & = (\sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha )(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha ) +(\frac{1}{2}\sin 2 \alpha)^2 (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha) \\ & = (\frac{1}{2}\sqrt{3} )(1) +(\frac{1}{2} . \frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2}\sqrt{3} ) \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{16} . \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{32} \sqrt{3} \\ & = \frac{16}{32}\sqrt{3} + \frac{1}{32} \sqrt{3} \\ & = \frac{17}{32}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (2) SALAH.

(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{3}{4}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \cos ^4 \alpha & = \cos ^2 \alpha . \cos ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 + \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 -\frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} - \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} - \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (3) SALAH.

(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha & = \sin ^2 \alpha . \sin ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 - \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 -(-\frac{1}{2}\sqrt{3}) )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} + \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan (4) yang BENAR, jawabannya D.
Jadi, yang BENAR adalah pernyataan (4) $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = (2x-3)^7 - (2x-3)^5 + (2x-3)^3 , $ maka ....
(1). $ f $ selalu naik pada $ R $
(2). $ f $ tidak pernah turun
(3). $ f $ tidak memiliki maksimum relatif
(4). $ f $ minimum relatif pada $ x = \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). syarat fungsi $ y = f(x) $ naik atau turun :
syarat naik : $ f^\prime (x) > 0 $
syarat turun : $ f^\prime (x) < 0 $
*). Nilai maksimum atau minimum relatif dicapai saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
(turunan pertama = 0 )
*). Cek turunan kedua untuk $ x_1 $ yang memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) > 0 \, $ , maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) = 0 \, $ , maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) < 0 \, $ , maka jenisnya maksimum
*). Rumus turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ f(x) = (2x-3)^7 - (2x-3)^5 + (2x-3)^3 $
*). Menentukan turunan pertama dan keduanya :
$\begin{align} f(x) & = (2x-3)^7 - (2x-3)^5 + (2x-3)^3 \\ f^\prime (x) & = 7(2x-3)^6.2 - 5(2x-3)^4.2 + 3(2x-3)^2.2 \\ & = 14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 \\ f^{ \prime \prime } (x) & = 6.14(2x-3)^5.2 - 4.10(2x-3)^3.2 + 2.6(2x-3)^1.2 \\ & = 168(2x-3)^5 - 80(2x-3)^3 + 24(2x-3) \end{align} $

*). Kita cek keempat pernyataan :
(1). $ f $ selalu naik pada $ R $ ?
Syarat fungsi naik : $ f^\prime (x) > 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 & > 0 \end{align} $
Bentuk $ 14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 > 0 $ ini terpenuhi untuk semua $ x $ di R, artinya fungsi $ f $ selalu naik untuk semua $ x $ di R. Pernyataan (1) BENAR.

(2). $ f $ tidak pernah turun ?
Dari pernyataan (1) di atas, maka fungsi $ f $ tidak pernah turun. Pernyataan (2) BENAR

(3). $ f $ tidak memiliki maksimum relatif ?
Syarat maksimum/minimum relatif : $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 & = 0 \\ 2(2x-3)^2[7(2x-3)^4 - 5(2x-3)^2 + 3] & = 0 \end{align} $
$ (2x-3)^2 = 0 \rightarrow x = \frac{3}{2} $
$ 7(2x-3)^4 - 5(2x-3)^2 + 3 = 0 \rightarrow \, $ tidak mempunyai akar-akar.
-). Cek jenisnya untuk $ x = \frac{3}{2} $ ke turunan kedua :
$ f^{\prime \prime } (x) = 168(2x-3)^5 - 80(2x-3)^3 + 24(2x-3) $
$\begin{align} f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) & = 168(2.\frac{3}{2}-3)^5 - 80(2.\frac{3}{2}-3)^3 + 24(2.\frac{3}{2}-3) \\ f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) & = 0 - 0 + 0 \\ f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) & = 0 \end{align} $
Karena $ f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) = 0 $ , maka untuk $ x = \frac{3}{2} $ merupakan titik belok sehingga fungsi $ f $ tidak memiliki maksimum/minimum relatif. Pernyataan (3) BENAR.

(4). $ f $ minimum relatif pada $ x = \frac{3}{2} $ ?
Dari penjelasan pada pernyataan (3), maka fungsi $ f $ tidak memiliki minimum relatif. Pernyataan (4) SALAH.

Sehingga pernyataan (1), (2), dan (3) yang BENAR, jawabannya A.
Jadi, yang BENAR adalah (1), (2), dan (3) $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)