Pembahasan Barisan Geometri Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Suatu barisan geometri mempunyai 3 suku pertama $ a, b, b^2 $. Jika $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ 2x^2+kx+6=0 $ , maka suku keempat dari barisan dan nilai $ k $ masing-masing adalah .....
A). 27 dan $ - 8 \, $ B). 27 dan $ 8 \, $
C). 24 dan $ -8 \, $ D). 24 dan $ -4 \, $
E). 24 dan 4

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan geometri : $ u_1, u_2, u_3, .... $
-). Ciri-ciri barisan geometri : "perbandingan sama"
$ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} $
-). RUmus suku ke-$n$ : $ u_n = ar^{n-1} $
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
-). Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dketahui barisan geometri : $ a, b, b^2 $
-). Perbandingan sama :
$ \frac{b}{a} = \frac{b^2}{b} \rightarrow \frac{b}{a} = \frac{b}{1} \rightarrow a = 1 $
*). PK $ 2x^2+kx+6=0 $ dengan akar-akar $ x_1 = a = 1 $ dan $ x_2 = b $ :
-). Operasi perkalian akar-akar :
$\begin{align} x_1.x_2 & = \frac{6}{2} \rightarrow 1.b = 3 \rightarrow b = 3 \end{align} $
-). Operasi penjumlan akar-akar :
$\begin{align} x_1+x_2 & = \frac{-k}{2} \rightarrow 1 + 3 = \frac{-k}{2} \rightarrow k = -8 \end{align} $
Sehingga barisan geometrinya ($ a =1 , b = 3 $ ):
$ a, b, b^2 \rightarrow 1, 3, 9, .... $
$ u_4 = ar^3 = 1. 3^3 = 27 $
Jadi, nilai $ u_4 $ dan $ k $ adalah 27 dan $ -8 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika sudut A dan B memenuhi sistem persamaan
$ \begin{align} 2\tan A + \tan B & = 4 \\ \tan A - 3\tan B & = -\frac{17}{2} \end{align} $
maka $ \tan (2A + B) \, $ sama dengan ...
A). $ -\frac{13}{9} \, $ B). $ -\frac{11}{9} \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -\frac{7}{9} \, $ E). $ -\frac{5}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan bisa dengan metode substitusi.
*). RUmus jumlah sudut :
$ \tan (x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x . \tan y} $
$ \tan (2x) = \frac{2\tan x }{1 - \tan ^2 x } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ 2\tan A + \tan B = 4 \rightarrow \tan B = 4 - 2\tan A \, $ .....(i)
$ \tan A - 3\tan B = -\frac{17}{2} \, $ .....(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} \tan A - 3\tan B & = -\frac{17}{2} \\ \tan A - 3(4 - 2\tan A) & = -\frac{17}{2} \\ \tan A -12 + 6\tan A & = -\frac{17}{2} \\ 7\tan A & = -\frac{17}{2} + 12 \\ 7\tan A & = \frac{7}{2} \\ \tan A & = \frac{1}{2} \end{align} $
Pers(i) : $ \tan B = 4 - 2\tan A = 4 - 2. \frac{1}{2} = 4 - 1 = 3 $
*). Menentukan nilai $ \tan 2A $ :
$\begin{align} \tan (2A) & = \frac{2\tan A}{1 - \tan ^2 A} \\ & = \frac{2. \frac{1}{2} }{1 - (\frac{1}{2} )^2} \\ & = \frac{1 }{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1 }{ \frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \tan (2A + B) $ :
$\begin{align} \tan (2A + B) & = \frac{\tan 2A + \tan B}{1 - \tan 2A . \tan B} \\ & = \frac{\frac{4}{3} + 3}{1 - \frac{4}{3} .3} = \frac{\frac{13}{3} }{1 - 4} \\ & = \frac{\frac{13}{3} }{-3} = -\frac{13}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan (2A + B) = -\frac{13}{9} . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Luas Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui koordinat titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) , maka luas segitiga ABC sama dengan .....
A). $ \sqrt{14} \, $ B). $ \frac{3}{2}\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{26} \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{114} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui titik $ A(a_1, a_2, a_3) $ dan $ B(b_1, b_2, b_3) $
-). Vektor $ \vec{AB} = ( b_1 - a_1 , b_2 - a_2 , b_3 - a_3) $
-). Panjang vektor $ \vec{AB} = | \vec{AB}| = \sqrt{ (b_1 - a_1)^2 +( b_2 - a_2)^2+( b_3 - a_3)^2} $
*). Luas segitiga ABC dengan vektor $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AC} $ :
Luas $ = \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} | $
dengan $ | \vec{AB} \times \vec{AC} | $ adalah panjang hasil perkalian silang $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AC} $
*). Menentukan perkalian silang dua vektor sama dengan determinan cara sarrus.
Misalkan : $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) $ dan $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $
$ \vec{u} \times \vec{v} = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{matrix} \right| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui segitiga ABC dengan titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) :
$\begin{align} \vec{AC} & = C-A = (-2, 1, 3) \\ \vec{AB} & = B - A = (1, 2, -2) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{AC} \times \vec{AB} $ dan panjangnya :
$\begin{align} \vec{AC} \times \vec{AB} & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ -2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \end{matrix} \right| \\ & = (-2i+3j-4k)-(6i+4j+k) \\ & = -8i - j -5k = (-8, -1, -5) \\ |\vec{AC} \times \vec{AB}| & = \sqrt{(-8)^2+(-1)^2+(-5)^2} \\ & = \sqrt{64+1+25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{AB}| \\ & = \frac{1}{2} (3\sqrt{10}) = \frac{3}{2} \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{3}{2} \sqrt{10} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Luas Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui koordinat titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) , maka luas segitiga ABC sama dengan .....
A). $ \sqrt{14} \, $ B). $ \frac{3}{2}\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{26} \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{114} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui titik $ A(a_1, a_2, a_3) $ dan $ B(b_1, b_2, b_3) $
Panjang AB : $ |AB| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2} $
*). Aturan kosinus pada segitiga :
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2.AB.AC. \cos A $
atau $ \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2.AC.AB} $
*). Identitas Trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos ^2A} $
*). Luas segitiga ABC dengan menggunakan sudut A :
Luas $ = \frac{1}{2}. AC.AB. \sin A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui segitiga ABC dengan titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(3-4)^2+(1-3)^2+(2-0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \\ |BC| & = \sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2+(0-5)^2} = \sqrt{9+1+25} = \sqrt{35} \\ |AC| & = \sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2+(2-5)^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14} \end{align} $
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Menentukan nilai $ \cos A $ dan $ \sin A $ :
$\begin{align} \cos A & = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2.AC.AB} \\ & = \frac{(\sqrt{14})^2 + 3^2 - (\sqrt{35})^2}{2.\sqrt{14}.3} \\ & = \frac{14 + 9 - 35}{2.\sqrt{14}.3} \\ & = \frac{-12}{6\sqrt{14} } \\ & = \frac{-2}{\sqrt{14} } \times \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} \\ & = \frac{-2\sqrt{14}}{14} = \frac{-\sqrt{14}}{7} \\ \sin A & = \sqrt{1 - \cos ^2 A } \\ & = \sqrt{1 - (\frac{-\sqrt{14}}{7})^2 } \\ & = \sqrt{1 - \frac{14}{49} } = \sqrt{ \frac{35}{49} } = \frac{1}{7} \sqrt{35} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2} \times AC \times AB \times \sin A \\ & = \frac{1}{2} \times \sqrt{14} \times 3 \times \frac{1}{7} \sqrt{35} \\ & = \frac{3}{14} \times \sqrt{490} = \frac{3}{14} \times 7 . \sqrt{10} \\ & = \frac{3}{2} \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{3}{2} \sqrt{10} . \, \heartsuit $

Pembahasan Luas Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui koordinat titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) , maka luas segitiga ABC sama dengan .....
A). $ \sqrt{14} \, $ B). $ \frac{3}{2}\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{26} \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{114} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui titik $ A(a_1, a_2, a_3) $ dan $ B(b_1, b_2, b_3) $
Panjang AB : $ |AB| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2} $
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui segitiga ABC dengan titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(3-4)^2+(1-3)^2+(2-0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \\ |BC| & = \sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2+(0-5)^2} = \sqrt{9+1+25} = \sqrt{35} \\ |AC| & = \sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2+(2-5)^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14} \end{align} $
Misalkan $ AD = x \rightarrow DB = 3 - x $ dan $ CD = t $ (gambar (i))
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Menentukan nilai $ x $ pada segitiga ADC dan BDC dengan pythagoras :
$\begin{align} t^2 \, (\text{segitiga ADC}) & = t^2 \, (\text{segitiga BDC}) \\ CA^2 - AD^2 & = CB^2 - BD^2 \\ (\sqrt{14})^2 - x^2 & = (\sqrt{35})^2 - (3-x)^2 \\ 14 - x^2 & = 35 - (9 - 6x + x^2) \\ 14 - x^2 & = 35 - 9 + 6x - x^2 \\ 6x & = -12 \\ x & = -2 \end{align} $
karena nilai $ x $ negatif, maka gambar yang benar adalah gambar (ii).
*). Menentukan tinggi segitiga ABC :
$ t = \sqrt{CA^2 - AD^2} = \sqrt{(\sqrt{14})^2 - 2^2} = \sqrt{10} $
*). Menentukan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2} \times AB \times CD \\ & = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{10} \\ & = \frac{3}{2} \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{3}{2} \sqrt{10} . \, \heartsuit $