dunia informa

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2010

Nomor 1

Jika

$2^x = 2 - \sqrt{3} , \,$ maka

${}^{2+\sqrt{3}} \log 4^x = ....$

$\clubsuit \,$ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :

${}^a \log a = 1 \,$ dan

${}^a \log b^n = n . \, {}^a \log b$
*). Sifat Eksponen :

$\, (a^m)^n = (a^n)^m = a^{m.n} \,$ dan

$\frac{1}{a^n} = a^{-n}$

$\clubsuit \,$ Memodifikasi bentuk

$\, 2^x = 2 - \sqrt{3} \,$ dengan merasionalkan sehingga sama dengan basis pada logaritmanya.

$\begin{align} 2^x & = 2 - \sqrt{3} \\ 2^x & = 2 - \sqrt{3} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \\ & = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \\ & = \frac{4 - 3}{2 + \sqrt{3}} \\ & = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \\ & = (2 + \sqrt{3})^{-1} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya

$\begin{align} {}^{2+\sqrt{3}} \log 4^x & = {}^{2+\sqrt{3}} \log (2^2)^x \\ & = {}^{2+\sqrt{3}} \log (2^x)^2 \\ & = {}^{2+\sqrt{3}} \log [(2 + \sqrt{3})^{-1}]^2 \\ & = {}^{2+\sqrt{3}} \log (2 + \sqrt{3})^{-2} \\ & = -2 . \, {}^{2+\sqrt{3}} \log (2 + \sqrt{3}) \\ & = -2 . \, 1 \\ & = -2 \end{align}$
Jadi, diperoleh

${}^{2+\sqrt{3}} \log 4^x = -2 . \, \heartsuit$

Nomor 2

Jika

${}^{x+y} \log 2 = a \,$ dan

$\, {}^{x-y} \log 8 = b , \,$ dengan

$0 < y < x, \,$ maka

${}^4 \log (x^2 - y^2) = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep dasar
*). Sifat eksponen :

$a^n = b \rightarrow a = b^\frac{1}{n} \,$ dan

$a^m . a^n = a^{m+n}$
*). Definisi dan sifat Logaritma :

${}^a \log b = c \leftrightarrow a^c = b$

${}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b$

$\spadesuit \,$ Memodifikasi yang diketahui
Persamaan Pertama :

$\begin{align} {}^{x+y} \log 2 & = a \rightarrow (x+y)^a = 2 \rightarrow x + y = 2^\frac{1}{a} \\ {}^{x-y} \log 8 & = b \rightarrow (x-y)^b = 8 \rightarrow x - y = 8^\frac{1}{b} \\ \rightarrow x - y & = (2^3)^\frac{1}{b} \rightarrow x - y = 2^\frac{3}{b} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan bentuk

$(x^2 - y^2)$

$\begin{align} x^2 - y^2 & = (x+y)(x-y) \\ & = 2^\frac{1}{a} \times 2^\frac{3}{b} \\ & = 2^{ \frac{1}{a} + \frac{3}{b} } \\ & = 2^\frac{3a + b}{ab} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan soalnya

$\begin{align} {}^4 \log (x^2 - y^2) & = {}^4 \log 2^\frac{3a + b}{ab} \\ & = {{}^2}^2 \log 2^\frac{3a + b}{ab} \\ & = \frac{\frac{3a + b}{ab}}{2} \times {}^2 \log 2 \\ & = \frac{3a + b}{2ab} \times 1 \\ & = \frac{3a + b}{2ab} \end{align}$
Jadi, nilai

${}^4 \log (x^2 - y^2) = \frac{3a + b}{2ab} . \, \heartsuit$

Cara II :

$\spadesuit \,$ Konsep dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :

${}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a}$

${}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b$

${}^a \log (b.c)) = {}^a \log b + {}^a \log c$

$\spadesuit \,$ Memodifikasi yang diketahui
Persamaan Pertama :

$\begin{align} {}^{x+y} \log 2 & = a \rightarrow {}^2 \log (x+y) = \frac{1}{a} \end{align}$
Persamaan kedua :

$\begin{align} {}^{x-y} \log 8 & = b \rightarrow {}^8 \log (x-y) = \frac{1}{b} \\ \rightarrow {{}^2}^3 \log (x-y) & = \frac{1}{b} \rightarrow \frac{1}{3} {}^2 \log (x-y) = \frac{1}{b} \\ \rightarrow {}^2 \log (x-y) & = \frac{3}{b} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan soalnya

$\begin{align} {}^4 \log (x^2 - y^2) & = {{}^2}^2 \log (x+y)(x-y) \\ & = \frac{1}{2} {}^2 \log (x+y)(x-y) \\ & = \frac{1}{2} [{}^2 \log (x+y) + {}^2 \log (x-y) ] \\ & = \frac{1}{2} [ \frac{1}{a} + \frac{3}{b} ] \\ & = \frac{1}{2} [ \frac{3a + b}{ab} ] \\ & = \frac{3a + b}{2ab} \end{align}$
Jadi, nilai

${}^4 \log (x^2 - y^2) = \frac{3a + b}{2ab} . \, \heartsuit$

Nomor 3

Jika akar-akar persamaan

$\frac{x^2 + ax}{bx-2} = \frac{m+2}{m-2} \,$ berlawanan dan

$a \neq b \,$ maka nilai

$m \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep Dasar pada persamaan kuadrat (PK),
Persamaan kuadrat

$ax^2 + bx + c = 0 \,$ memiliki akar-akar berlawanan dengan syarat

$b = 0$

$\clubsuit \,$ Menyusun persamaan kuadratnya dengan kali silang

$\begin{align} & \frac{x^2 + ax}{bx-2} = \frac{m+2}{m-2} \\ & (x^2 + ax).(m-2) = (m+2).(bx - 2) \\ & (m-2)x^2 + (m-2)ax = (m+2)bx - 2(m+2) \\ & (m-2)x^2 + (m-2)ax - (m+2)bx + 2(m+2) = 0 \\ & (m-2)x^2 + [(m-2)a - (m+2)b]x + 2(m+2) = 0 \end{align}$
artinya

$a = m - 2 , \, b = [(m-2)a - (m+2)b] \, \, \, \,$ dan

$c = 2(m+2)$

$\clubsuit \,$ Syarat akar-akar berlawanan :

$b = 0$

$\begin{align} b & = 0 \\ [(m-2)a - (m+2)b] & = 0 \\ ma - 2a - mb - 2b & = 0 \\ m(a - b) - 2(a+b) & = 0 \\ m(a - b) & = 2(a+b) \\ m & = \frac{2(a+b)}{(a - b)} \end{align}$
Jadi, kita peroleh

$m = \frac{2(a+b)}{(a - b)} . \, \heartsuit$

Nomor 4

Grafik fungsi kuadrat

$y = f(x) \,$ mempunyai titik puncak

$(-1,8)$ dan memotong sumbu X di

$(x_1,0)$ dan

$(x_2,0)$ . Jika

$x_1.x_2 = -3 \,$ , maka grafik tersebut memotong sumbu Y di ....

$\spadesuit \,$ Konsep Dasar pada fungsi kuadrat (FK)
*). Fungsi kuadrat diketahui titik puncak

$(x_p,y_p)$ :
FK :

$y = a(x-x_p)^2 + y_p$
*). Fungsi

$y = ax^2 + bx + c \,$ memotong sumbu X di

$(x_1,0) \,$ dan

$(x_2 , 0 ) \,$ , maka

$x_1.x_2 = \frac{c}{a}$ .

$\spadesuit \,$ FK dengan titik puncak

$(x_p,y_p) = (-1,8)$

$\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-(-1))^2 + 8 \\ y & = a(x+1)^2 + 8 \\ y & = a(x^2 + 2x + 1) + 8 \\ y & = ax^2 + 2ax + a + 8 \\ y & = ax^2 + 2ax + (a + 8) \end{align}$

$\spadesuit \,$ FK

$\, \, y = ax^2 + 2ax + (a + 8) \,$ memotong sumbu X ,
maka

$x_1.x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow x_1.x_2 = \frac{a+8}{a}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a$

$\begin{align} x_1.x_2 & = -3 \\ \frac{a+8}{a} & = -3 \\ a + 8 & = -3a \\ 4a & = -8 \\ a & = -2 \end{align}$
Sehingga FK nya menjadi :

$y = ax^2 + 2ax + (a + 8) \rightarrow y = -2x^2 + 2.(-2)x + (-2 + 8)$

$y = -2x^2 - 4x + 6$

$\spadesuit \,$ Menentukan titik potong sumbu Y dengan substitusi

$x = 0$

$\begin{align} x = 0 \rightarrow y & = -2x^2 - 4x + 6 \\ y & = -2.0^2 - 4.0 + 6 \\ y & = 0 - 0 + 6 \\ y & = 6 \end{align}$
Jadi, titik potong sumbu Y adalah

$\, (0,6) . \, \heartsuit$

Nomor 5

Salah satu nilai

$x \,$ yang memenuhi sistem persamaan

$xy+y^2 = 0 \,$ dan

$x-2y = 3 \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Memodifikasi Persamaan pertama :

$x-2y = 3 \rightarrow y = \frac{x-3}{2} \,$ ....pers(i)

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{align} xy+y^2 & = 0 \\ x . (\frac{x-3}{2} ) + (\frac{x-3}{2} )^2 & = 0 \\ \frac{x^2-3x}{2} + \frac{x^2 - 6x + 9}{4} & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 2(x^2-3x) + (x^2 - 6x + 9) & = 0 \\ 2x^2- 6x + (x^2 - 6x + 9) & = 0 \\ 3x^2 - 12x + 9 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^2 - 4x + 3 & = 0 \\ (x - 1)(x - 3) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = 3 \end{align}$
Jadi, salah satu nilai

$x \,$ adalah 1.

$\, \heartsuit$

Pages - Menu

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2010