Pembahasan Maksimum Trigonometri UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai maksimum dari fungsi trigonometri $ f(x) = \frac{1}{5}\sin \left(5x - \frac{\pi}{6} \right) $ adalah ....
A). $ \frac{1}{5} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ \frac{5}{6} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Nilai maksimum fungsi trigonometri
$ y = A \sin g(x) $ adalah $ y_{maks} = |A| $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi trigonometri $ f(x) = \frac{1}{5}\sin \left(5x - \frac{\pi}{6} \right) $ :
$\begin{align} f_{maks} & = |A| = \left| \frac{1}{5} \right| = \frac{1}{5} \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ \frac{1}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ memenuhi persamaan $ 3x^{0,4} - 9\left(\frac{1}{3}\right)^{0,6} = 0 $ , maka $ 3x - x^2 $ sama dengan ....
A). $ 3^{0,4} \, $ B). $ 3^{0,6} \, $ C). $ 3^{-0,26} \, $ D). $ \frac{8}{9} \, $ E). $ 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
1). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
2). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
3). $ a^m . a^n = a^{m+n} $
4). $ a^m = b^m \rightarrow a = b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ :
$\begin{align} 3x^{0,4} & - 9\left(\frac{1}{3}\right)^{0,6} = 0 \\ 3x^{0,4} & = 9\left(\frac{1}{3}\right)^{0,6} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^{0,4} & = 3\left(\frac{1}{3}\right)^{0,6} \\ x^{0,4} & = 3^1 . \left(3^{-1}\right)^{0,6} \\ x^{0,4} & = 3^1 . 3^{-0,6} \\ x^{0,4} & = 3^{1-0,6} \\ x^{0,4} & = 3^{0,4} \\ x & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ 3x - x^2 $ :
$ 3x - x^2 = 3.3 - 3^2 = 9 - 9 = 0 $
Jadi, nilai $ 3x - x^2 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Bentuk Akar UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \frac{(9+\sqrt{5})(2\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}+1} = .... $
A). $ 21\sqrt{5} \, $ B). $ 19 \, $ C). $ 8\sqrt{5} \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 5\sqrt{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat bentuk akar :
1). $ \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a $
2). $ b\sqrt{a} \times c = bc\sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \frac{(9+\sqrt{5})(2\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}+1} \\ & = \frac{18\sqrt{5} + 9 + 10 + \sqrt{5}}{\sqrt{5}+1} \\ & = \frac{19\sqrt{5} + 19}{\sqrt{5}+1} \\ & = \frac{19(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5}+1)} \\ & = 19 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 19 . \, \heartsuit $

Pembahasan Ketaksamaan Pecahan UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ k $ yang memenuhi pertaksamaan :
$ 0 < \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 2 $ adalah ....
A). $ 0 < k < 4 \, $
B). $ -2 < k < 2 \, $
C). $ k < -2 \, $ atau $ k > 2 $
D). $ 0 < k < 2 \, $
E). $ k < 0 \, $ atau $ k > 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $ a < f(x) < b $ diselesaikan dengan $ f(x) > a $ dan $ f(x) < b $ kemudian kedua HP diiriskan.
*). Definit pada bentuk kuadrat :
i). Jika $ ax^2 + bx + c > 0 $ untuk semua $ x $, maka disebut definit positif dengan syarat $ a > 0 $ dan $ D < 0 $.
ii). Jika $ ax^2 + bx + c < 0 $ untuk semua $ x $, maka disebut definit negatif dengan syarat $ a < 0 $ dan $ D < 0 $.
Dimana nilai $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ 0 < \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 2 $ dipecah menjadi dua yaitu $ \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} > 0 $ dan $ \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 2 $, kita selesaikan masing-masing.
*). Bentuk $ x^2 + x + 1 $ adalah definti positif karena $ a = 1 > 0 $ dan nilai $ D = b^2-4ac = 1^2 - 4.1.1 = -3 < 0 $, sehingga bisa kita abaikan karena nilainya akan selalu positif untuk semua $ x $ yang kita substitusikan.
*). Bentuk Pertama :
$\begin{align} \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} & > 0 \\ x^2+kx+1 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(Def +)} \\ a = 1, b = k , c & = 1 \\ \text{syarat : } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ k^2 - 4.1.1 & < 0 \\ k^2 - 4 & < 0 \\ (k + 2)(k - 2) & = 0 \\ k = -2 \vee k & = 2 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Solusinya : HP1 $ = \{ -2 < k < 2 \} $
*). Bentuk Kedua :
$\begin{align} \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} & < 2 \\ \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} - 2 & < 0 \\ \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} - \frac{2(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} & < 0 \\ \frac{-x^2+(k-2)x-1}{x^2+x+1} & < 0 \\ -x^2+(k-2)x-1 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(Def -)} \\ a = -1, b = k-2 , c & = -1 \\ \text{syarat : } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (k-2)^2 - 4.(-1).(-1) & < 0 \\ k^2 - 4k + 4 - 4 & < 0 \\ k^2 - 4k & < 0 \\ k(k - 4) & = 0 \\ k = 0 \vee k & = 4 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Solusinya : HP2 $ = \{ 0 < k < 4 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ -2 < k < 2 \} \cap \{ 0 < k < 4 \} \\ & = \{ 0 < k < 2 \} \end{align} $
Jadi, nilai $ k $ adalah $ 0 < k < 2 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan PertiKuadrat UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan :
$ (x^2 + 2)^2 - 5(x^2 + 2) > 6 $ adalah ....
A). $ x < -1 \, $ atau $ x > 6 $
B). $ x < -5 \, $ atau $ x > 2 $
C). $ x < -2 \, $ atau $ x > 6 $
D). $ x < -2 \, $ atau $ x > 5 $
E). $ x < -2 \, $ atau $ x > 2 $

$\spadesuit $ Metode SUKA adalah suatu metode dimana kita akan langsung menggantikan variabelnya dengan angka tertentu.

$\clubsuit $ Pembahasan
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow (x^2 + 2)^2 - 5(x^2 + 2) & > 6 \\ (3^2 + 2)^2 - 5(3^2 + 2) & > 6 \\ 121 - 55 & > 6 \\ 66 & > 6 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= 3 $ BENAR, opsi yang salah adalah A, C dan D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-3 \Rightarrow (x^2 + 2)^2 - 5(x^2 + 2) & > 6 \\ ((-3)^2 + 2)^2 - 5((-3)^2 + 2) & > 6 \\ 121 - 55 & > 6 \\ 66 & > 6 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= -3 $ BENAR, opsi yang salah adalah B.
Jadi, opsi yang benar adalah E (yang tersisa) yaitu
HP $ = x < -2 \, $ atau $ x > 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Kuadrat UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan :
$ (x^2 + 2)^2 - 5(x^2 + 2) > 6 $ adalah ....
A). $ x < -1 \, $ atau $ x > 6 $
B). $ x < -5 \, $ atau $ x > 2 $
C). $ x < -2 \, $ atau $ x > 6 $
D). $ x < -2 \, $ atau $ x > 5 $
E). $ x < -2 \, $ atau $ x > 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Tentukan akar-akar (pembuat nol),
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda (+ atau $-$),
3). Arsir daerah yang diminta :
Jika $ > 0 $ , maka arsir yang positif,
Jika $ < 0 $ , maka arsir yang negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = x^2 + 2 $ (nilainya positif) :
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} (x^2 + 2)^2 - 5(x^2 + 2) & > 6 \\ p^2 - 5p & > 6 \\ p^2 - 5p - 6 & > 0 \\ (p + 1)(p-6) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = 6 \end{align} $
*). Karena $ p $ positif, yang memenuhi $ p = 6 $ :
$\begin{align} p = 6 \rightarrow x^2 + 2 & = 6 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{align} $
garis bilangannya :
 

sehingga solusinya adalah $ x < -2 $ atau $ x > 2 $.
Jadi, nilai $ x $ adalah $ x < -2 $ atau $ x > 2 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM 2004 Matematika Dasar


Nomor 1
Nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan :
$ (x^2 + 2)^2 - 5(x^2 + 2) > 6 $ adalah ....
A). $ x < -1 \, $ atau $ x > 6 $
B). $ x < -5 \, $ atau $ x > 2 $
C). $ x < -2 \, $ atau $ x > 6 $
D). $ x < -2 \, $ atau $ x > 5 $
E). $ x < -2 \, $ atau $ x > 2 $
Nomor 2
Nilai $ k $ yang memenuhi pertaksamaan :
$ 0 < \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 2 $ adalah ....
A). $ 0 < k < 4 \, $
B). $ -2 < k < 2 \, $
C). $ k < -2 \, $ atau $ k > 2 $
D). $ 0 < k < 2 \, $
E). $ k < 0 \, $ atau $ k > 4 $
Nomor 3
$ \frac{(9+\sqrt{5})(2\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}+1} = .... $
A). $ 21\sqrt{5} \, $ B). $ 19 \, $ C). $ 8\sqrt{5} \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 5\sqrt{5} $
Nomor 4
Jika $ x $ memenuhi persamaan $ 3x^{0,4} - 9\left(\frac{1}{3}\right)^{0,6} = 0 $ , maka $ 3x - x^2 $ sama dengan ....
A). $ 3^{0,4} \, $ B). $ 3^{0,6} \, $ C). $ 3^{-0,26} \, $ D). $ \frac{8}{9} \, $ E). $ 0 \, $
Nomor 5
Nilai maksimum dari fungsi trigonometri $ f(x) = \frac{1}{5}\sin \left(5x - \frac{\pi}{6} \right) $ adalah ....
A). $ \frac{1}{5} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ \frac{5}{6} \, $

Nomor 6

Untuk $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} $ , grafik fungsi di atas memotong grafik $ y = \cos 2x $ pada titik yang memenuhi .....
A). $ \sin 2x = \frac{2}{3} \, $
B). $ \tan 2x = \frac{2}{3} \, $
C). $ \sin 2x = \frac{1}{3} \, $
D). $ \cos 2x = \frac{1}{3}\sqrt{5} \, $
E). $ \cos 2x = \frac{2}{\sqrt{5}} \, $
Nomor 7
$ \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin ^3 2a}{\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a \right) $ sama dengan .....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 \, $ 1 D). $ 2 \, $ E). $ \infty \, $
Nomor 8
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right) $ adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $
Nomor 9
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah akar-akar persamaan $ 6x^2 - 3x - 3 = 0 $, maka persamaan dengan akar-akar $ \frac{1}{x_1}+1 $ dan $ \frac{1}{x_2} + 1 $ dapat difaktorkan menjadi ....
A). $ (y-2)(y-3) = 0 \, $
B). $ (y-2)(y-1) = 0 \, $
C). $ (y+2)(y-3) = 0 \, $
D). $ (y+2)(y-1) = 0 \, $
E). $ (y-2)(y+1) = 0 \, $
Nomor 10
Jumlah $ x , y $ dan $ z $ yang memenuhi siste persamaan linear :
$ \begin{align} 2x + 3y + z & = 1 \\ x + 2y + 3z & = 5 \\ 3x + y + 2z & = 6 \end{align} $
adalah ....
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 \, $

Nomor 11
$\frac{\log x \sqrt{x} - \log\sqrt{y}+\log \frac{x}{y^2}}{\log \frac{x}{y}} = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ -\frac{5}{2} \, $ D). $ \frac{5}{2} \, $ E). $ \frac{3}{2} \, $
Nomor 12
Nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan $ 4^{x-2} > \sqrt{2^{3x+1}} $ adalah ....
A). $ x > 2 \, $
B). $ x > 4 \, $
C). $ 2 < x < 4 $
D). $ x > 9 $
E). $ 2 < x < 9 $
Nomor 13
Fungsi $ f(x) = \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)(1+\cos x) $ mempunyai turunan ....
A). $ \cos x \, $ B). $ \sin x \, $ C). $ -\cos x \, $
D). $ -\sin x \, $ E). $ \sin 2x $
Nomor 14
Persamaan garis singgung kurva $ y = x^2 $ di titik potong kurva tersebut dengan kurva $ y = \frac{1}{x} $ adalah ....
A). $ y + 2x + 1 = 0 \, $
B). $ y + 2x - 1 = 0 \, $
C). $ y - 2x + 1 = 0 \, $
D). $ y - 2x - 1 = 0 \, $
E). $ 2y - x + 1 = 0 \, $
Nomor 15
Jika $ I $ matriks satuan dan matriks $ A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right) $ sehingga $ A^2=pA+qI $ , maka $ p + q $ sama dengan ....
A). $ 15 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ -5 \, $ E). $ -10 \, $

Nomor 16
Hasil kali matriks $ A \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right)$. Matriks $ A $ adalah ....
A). $ \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 4 & 7 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} -2 & 4 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right) \, $ C). $ \left( \begin{matrix} 4 & -2 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right) \, $
D). $ \left( \begin{matrix} 7 & 2 \\ -1 & 4 \end{matrix} \right) \, $ E). $ \left( \begin{matrix} 7 & 2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \, $
Nomor 17
Dalam satu kelas terdapat 22 siswa. Nilai rata-rata matematikanya 5 dan jangkauan 4. Bila seseorang siswa yang paling rendah nilainya dan seorang siswa yang paling tinggi nilainya tidak disertakan, maka nilai rata-ratanya berubah menjadi $4,9$. Nilai siswa yang paling rendah adalah ....
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 \, $
Nomor 18
Bila $ A = \left( \begin{matrix} \sin ^2 x & -\cos x \\ \sqrt{3}\sin x & 1 \end{matrix} \right) $, $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $ dan determinan $ A $ sama dengan $ 1 $, maka $ x $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{\pi}{6} \, $ C). $ \frac{\pi}{4} \, $ D). $ \frac{\pi}{3} \, $
E). $ \frac{\pi}{6} \, $ dan $ \frac{\pi}{2} $
Nomor 19
Diketahui dua orang pekerja dengan gaji permulaan Rp 1.600.000,-. Setiap tahun pekerja pertama mendapat kenaikan gaji sebesar Rp 10.000,- sedangkan pekerja kedua mendapat kenaikan gaji Rp 23.000,- setiap dua tahun. Setelah 10 tahun bekerja selisih gaji kedua pekerja tersebut adalah ....
A). Rp 15.000,-
B). Rp 20.000,-
C). Rp 50.000,-
D). Rp 130.000,-
E). Rp 150.000,-
Nomor 20
Jumlah $ n $ suku pertama suatu deret aritmetika diberikan dengan rumus $ n^2 + 3n$. Beda deret tersebut adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 \, $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Nilai-nilai $ x $ yang memenuhi $ 0 \leq x \leq \pi $ dan $ {}^2 \log ^2 (\sin x) - {}^2 \log (\sin ^3 x) \leq 4 $ adalah ....
A). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{6} \, $
B). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \pi \, $
C). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} \, $
D). $ \frac{5\pi}{6} \leq x \leq \pi \, $
E). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.
*). Bentuk $ {}^a \log b $ memiliki syarat $ a > 0, a \neq 1, b> 0 $
artinya nilai $ b $ harus di atas nol.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x & = \pi \\ {}^2 \log ^2 (\sin x) - {}^2 \log (\sin ^3 x) & \leq 4 \\ {}^2 \log ^2 (\sin \pi) - {}^2 \log (\sin ^3 \pi) & \leq 4 \\ {}^2 \log ^2 0 - {}^2 \log 0 & \leq 4 \\ \text{(SALAH, karena } & {}^2 \log 0 \, \text{ tidak terdefinisi)} \end{align}$
yang ada $x= \pi $ SALAH, opsi yang salah B dan D.
yang ada $x= 0 $ juga SALAH, opsi yang salah A.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x & = \frac{5\pi}{6} \\ {}^2 \log ^2 (\sin x) - {}^2 \log (\sin ^3 x) & \leq 4 \\ {}^2 \log ^2 (\sin \frac{5\pi}{6}) - {}^2 \log (\sin ^3 \frac{5\pi}{6}) & \leq 4 \\ (-1)^2 - (-3) & \leq 4 \\ 4 & \leq 4 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= \frac{5\pi}{6} $ BENAR, opsi yang salah E.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisa).
Jadi, penyelesaiannya $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} . \, \heartsuit $