Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Pertidaksamaan $ 2+5x-3x^2 \leq 2-5x-x^2 < -6 -7x $ mempunyai penyelesaian .....
A). $ x \leq 0 \, $ atau $ x > 5 $
B). $ x \leq 0 \, $ atau $ x > 4 $
C). $ x < -2 \, $ atau $ x \geq 5 $
D). $ -2 < x \leq 2 \, $ atau $ 4 < x \leq 5 $
E). $ 0 \leq x < 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Bentuk $ A \leq B < C $ kita selesaikan menjadi :
$ A \leq B \rightarrow $ HP1 dan $ B < C \rightarrow $ HP2,
solusi total : HP = HP1 $ \cap $ HP2 (irisan).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Soalnya : $ 2+5x-3x^2 \leq 2-5x-x^2 < -6 -7x $
*). Penyelesaian pertama : $ 2+5x-3x^2 \leq 2-5x-x^2 $
$\begin{align} 2+5x-3x^2 & \leq 2-5x-x^2 \\ -2x^2 + 10x & \leq 0 \\ x(-2x + 10) & \leq 0 \\ x = 0 \vee x & = 5 \end{align} $
garis bilangan pertama :
 

Hp1 $ \, = \{ x \leq 0 \vee x \geq 5 \} $
*). Penyelesaian kedua : $ 2-5x-x^2 < -6 -7x $
$\begin{align} 2-5x-x^2 & < -6 -7x \\ -x^2 + 2x + 8 & < 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ x^2 - 2x - 8 & > 0 \\ (x +2)(x - 4) & > 0 \\ x = -2 \vee x & = 4 \end{align} $
garis bilangan kedua :
 

Hp2 $ \, = \{ x < -2 \vee x > 4 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ x \leq 0 \vee x \geq 5 \} \cap \{ x < -2 \vee x > 4 \} \\ & = \{ x < -2 \vee x \geq 5 \} \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ \{ x < -2 \vee x \geq 5 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat
$ \begin{align} 2y - x^2 & = 6 \\ \, \, \, \, \, \, 2x^2 + 3y^2 & = 20 \end{align} $
adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, cukup dengan substitusi atau eliminasi.
*). Bentuk $ A^2 $ (kuadrat dari bilangan) selalu positif.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Modifikasi persamaan (i) :
$ 2y - x^2 = 6 \rightarrow x^2 = 2y - 6 $.
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} 2x^2 + 3y^2 & = 20 \\ 2(2y - 6) + 3y^2 & = 20 \\ 3y^2 + 4y - 32 & = 0 \\ (3y - 8)(y + 4) & = 0 \\ y = \frac{8}{3} \vee y & = -4 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ y $ ke pers(i) :
(nilai $ x^2 $ selalu positif)
$\begin{align} y = \frac{8}{3} \rightarrow x^2 & = 2y - 6 \\ x^2 & = 2 \times \frac{8}{3} - 6 = - \frac{2}{3} \, \, \, \, \text{(TM)} \\ y = -4 \rightarrow x^2 & = 2y - 6 \\ x^2 & = 2 \times (-4) - 6 = -14 \, \, \, \, \text{(TM)} \end{align} $
Keterangan : TM = Tidak Memenuhi.
Sehingga tidak ada nilai $ x $ dan $ y $ bilangan real yang memenuhi, artinya ada 0 banyak penyelesaian.
Jadi, banyak penyelesaiannya adalah $ 0 . \, \heartsuit $