Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 622 tahun 2015 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $ A = \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ a & 4 \end{matrix} \right] \, $ merupakan matriks yang mempunyai invers dan $ det(B) = 4 , \, $ maka hasil kali semua nilai $ a \, $ yang mungkin sehingga $ det(A) = 16 det \left( (AB)^{-1} \right) \, $ adalah .....
$\spadesuit \, $ sifat-sifat determinan
$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \, $ dan $ |A.B | = |A|.|B| $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ a & 4 \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = 2.4 - a.1 = 8 - a $
Diketahui juga : $ det(B) = |B| = 4 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A) & = 16 det \left( (AB)^{-1} \right) \\ |A| & = 16 | (AB)^{-1} | \\ |A| & = 16 . \frac{1}{|AB|} \\ |A| & = \frac{16}{|A|.|B|} \\ |A|^2 & = \frac{16}{|B|} \\ (8-a)^2 & = \frac{16}{4} \\ (8-a)^2 & = 4 \\ 64-16a + a^2 & = 4 \\ a^2 -16a + 60 & = 0 \\ (a-6)(a-10) & = 0 \\ a_1=6 \vee a_2 & = 10 \end{align}$
hasil kali nilai $ a \, $ adalah $ a_1.a_2 = 6.10 = 60 $
atau gunakan operasi akar-akar :
$ a^2 -16a + 60 = 0 \rightarrow a_1.a_2 = \frac{c}{a} = \frac{60}{1} = 60 $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah 60. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika akar-akar $ x^2 - ax -b = 0 \, $ saling berkebalikan dan salah satu akar tersebut merupakan bilangan bulat positif, maka nilai terkecil yang mungkin untuk $ a - b \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Akar-akar berkebalikan
Misalkan akar-akar PK $ x^2 - ax - b = 0 \, $ adalah $ x_1 \, $ dan $ x_2, \, $ karena saling berkebalikan, maka haruslah $ x_2 = \frac{1}{x_1} \, $ . Sehingga $ x_1 . x_2 = x_1 . \frac{1}{x_1} = 1 \, $ dengan $ x_1 \, $ sebagai akar bulat positif.
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar PK : $ x^2 -ax-b=0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-(-a)}{1} = a \rightarrow x_1 + \frac{1}{x_1} = a \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{-b}{1} \rightarrow 1 = -b \rightarrow b = -1 \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$ a - b = (x_1 + \frac{1}{x_1}) - (-1) $
$ a - b = x_1 + \frac{1}{x_1} + 1 \, $ ....pers(iii)
*). Agar nilai $ a - b \, $ sekecil mungkin, maka nilai $ x_1 \, $ harus sekecil mungkin. Karena $ x_1 \, $ adalah akar bulat positif, maka nilai terkecilnya adalah $ x_1 = 1 . $
Diperoleh :
$ a-b = x_1 + \frac{1}{x_1} + 1 = 1 + \frac{1}{1} + 1 = 3 $
Jadi, nilai terkecil yang mungkin untuk $ a - b \, $ adalah 3. $ \heartsuit $
Nomor 13
Jika grafik fungsi $ y = x^2 - 9 \, $ memotong sumbu x di titik A dan B, serta memotong sumbu y di titik C, maka luas segitiga ABC adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong sumbu-sumbu
*) Titik potong sumbu y : substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} y & = x^2 - 9 \\ y & = 0^2 - 9 \\ y & = - 9 \end{align}$
artinya titik C(0,-9)
*) Titik potong sumbu x : substitusi $ y = 0 $
$\begin{align} y & = x^2 - 9 \\ 0 & = x^2 - 9 \\ x^2 & = 9 \\ x & = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \end{align}$
artinya titik A(-3,0) dan B(3,0)
$\spadesuit \, $ gambar segitiganya
sbmptn_matdas_5_k622_2015.png
$\spadesuit \, $ Menentukan luas segitiganya
$\begin{align} L_{\Delta ABC} & = \frac{1}{2}.a.t = \frac{1}{2}.6.9= 27 \end{align}$
Jadi, luas segitiganya adalah 27. $ \heartsuit $
Nomor 14
Nilai semua tes matematika dinyatakan dengan bilangan bulat dari 0 sampai 10. Median terkecil yang mungkin bagi siswa yang memiliki rata-rata nilai 6 dari enam kali tes adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep rata-rata : $ \overline{X} = \frac{\text{Jumlah semua data}}{\text{banyak data}} $
$\clubsuit \, $ Misalkan datanya : $ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 x_6 \, $ yang telah diurutkan dari kecil ke besar dengan rata-ratanya 6, sehingga diperoleh :
$\begin{align} \overline{X} & = 6 \\ \frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6} & = 6 \\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 & = 36 \, \, \, \, \text{ ...pers(i)} \end{align} $
Sementara nilai mediannya : $ Me = \frac{x_3+x_4}{2} $
$\clubsuit \,$ Analisa nilai data yang mungkin
*). Agar mediannya sekecil mungkin, maka nilai $ x_3 \, $ dan $ x_4 \, $ juga harus terkecil.
*). Agar $ x_3 \, $ dan $ x_4 \, $ terkecil, maka nilai $ x_5 \, $ dan $ x_6 \, $ harus terbesar, dengan nilai $ x_5 = 10 \, $ dan $ x_6 = 10. $
$\begin{align} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 & = 36 \\ x_1+x_2+x_3+x_4+10+10 & = 36 \\ x_1+x_2+x_3+x_4& = 16 \, \, \, \, \text{ ...pers(ii)} \end{align} $
*). karena nilai $ x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 , \, $ maka dari pers(ii) diperoleh nilai $ x_1 = 4, x_2=4, x_3=4,x_4=4 \, \, \, $ yang menyebabkan nilai $ x_3 \, $ dan $ x_4 \, $ terkecil.
Sehingga : $ Me = \frac{x_3+x_4}{2} = \frac{4+4}{2} = 4 $
Jadi, nilai median terkecilnya adalah 4. $ \heartsuit $
Nomor 15
Empat buku berjudul Matematika, satu buku berjudul Ekonomi, dan satu buku berjudul Bahasa akan disusun di lemari buku dalam satu baris. Misalkan A adalah kejadian susunan buku sehingga tidak ada tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Jika buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian A adalah .....
$\spadesuit \, $ Pada kasus ini menggunakan Permutasi Berulang.
Misalkan kata "BAHAGIA" akan disusun ulang, maka banyaknya kata baru (tidak harus bermakna) yang diperoleh adalah $\frac{\text{total huruf}}{\text{huruf yang sama}} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \, $ kata, di sini huruf yang sama hanya huruf A sebanyak 3.
Contoh lain, kata "MATEMATIKA" disusun ulang, kata baru sebanyak $ \frac{10!}{2!\times 3! \times 2!} \, $ kata (total huruf = 10, yang sama : M = 2, A = 3, T = 2).
$\spadesuit \, $ Misal : M = Matematika, E = Ekonomi, B = Bahasa
Ada 4M 1E 1B , artinya $ n(S) = \frac{6!}{4!} = 6.5 = 30 $
$ n(S) \, $ adalah ruang sampel (semua susunan yang mungkin)
$\spadesuit \, $ Kejadian A menyatakan kejadian susunan buku sehingga tidak ada tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Agar kejadian ini terjadi, salah satu caranya adalah kita blok menjadi lima bagian buku dengan dua kemungkinan.
*). Kemungkinan I : sbmptn_matdas_3_k622_2015.png
KI = $ 2!.\frac{3!}{2!} = 3! = 3.2.1 = 6 $
*). Kemungkinan II : sbmptn_matdas_3a_k622_2015.png
KII = $ 2!.\frac{3!}{2!} = 3! = 3.2.1 = 6 \, $
Hanya saja susunan MMEBMM dan MMBEMM sudah muncul pada kemungikan I, sehinga harus dikurangkan 2 : KII = 6 - 2 = 4 cara.
*). Kemungkinan III , 2M ada ditengah yaitu : MEMMBM dan MBMMEM
diperoleh KIII = 2
Sehingga semua kemungkinan kejadian A :
$ n(A) = KI + KII + KIII = 6 + 4 + 2 = 12 $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} $
Jadi, peluang kejadian A adalah $ \frac{2}{5}. \heartsuit $

Keterangan kemungkinan yang ada :
Kemungkinan I :
sbmptn_matdas_3_k622_2015.png
*). Kita bagi menjadi 5 kelompok yaitu 2M, E, B, M, dan M dengan 2M posisinya pasti tetap di depan.
*). Tiga kelompok terakhir (B, M, M) kita acak posisinya dengan banyak susunan $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara.
*). E dan B bisa saling ditukar, sehingga susunannya ada 2! = 2 cara.
Sehingga semua susunan kemungkinan I ada $ \frac{3!}{2!} \times 2! = 3 \times 2 = 6 \, $ cara yaitu MMEBMM, MMEMBM, MMEMMB, MMBEMM, MMBMEM, dan MMBMME
Hal yang sama juga untuk kemungkinan II, hanya saja 2M posisinya tetap dibelakang.
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 622 tahun 2015 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{3}{x} < x-2 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align} \frac{3}{x} & < x-2 \\ \frac{3}{x} - (x-2) & < 0 \\ \frac{3}{x} - \frac{(x-2)x}{x} & < 0 \\ \frac{3-(x^2-2x)}{x} & < 0 \\ \frac{-x^2 + 2x + 3}{x} & < 0 \\ \frac{(-x+3)(x+1)}{x} & < 0 \\ x = 3, x = -1, x & = 0 \end{align}$
sbmptn_matdas_4_k622_2015.png
Jadi, solusinya $ HP = \{ -1 < x < 0 \vee x > 3 \} . \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui suatu fungsi $ f \, $ bersifat $ f(-x) = -f(x) \, $ untuk setiap bilangan real $ x . \, $ Jika $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1, \, $ maka $ f(f(-3)) = .... $
$\clubsuit \, $ Diketahui $ f(-x) = -f(x) \, $ ....pers(i)
berlaku juga : $ f(x) = - f(-x) \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Diketahui nilai : $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1 $
$ f(-3) = -f(3) = -(-5) = 5 \, $ ....dari pers(i)
$ f(5) = -f(-5) = - (1) = -1 \, $ ....dari pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} f(f(-3)) & = f(5) \, \, \, \, \text{....[ dengan } f(-3) = 5 ] \\ & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ f(f(-3)) = -1 . \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui sistem persamaan $ \left\{ \begin{array}{c} \frac{x+2}{2} - \frac{x-y}{3}=1, \\ \frac{x+y}{3} - \frac{y+1}{2}=2. \end{array} \right. $
Nilai $ x + y \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan sistem persamaan
$\begin{align} \frac{x+2}{2} - \frac{x-y}{3} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 3(x+2) - 2(x-y) & = 6 \\ x + 2y & = 0 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ \frac{x+y}{3} - \frac{y+1}{2} & =2 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 2(x+y) - 3(y+1) & = 12 \\ 2x - y & = 15 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 0 & \times 1 & x + 2y = 0 & \\ 2x - y = 15 & \times 2 & 4x - 2y = 30 & + \\ \hline & & 5x = 30 & \\ & & x = 6 & \end{array} $
pers(i) : $ x + 2y = 0 \rightarrow 6 + 2y = 0 \rightarrow y = -3 $
Sehingga nilai $ x + y = 6 + (-3) = 3 $
Jadi, nilai $ x + y = 3 . \heartsuit$
Nomor 9
Empat orang siswa akan mengikuti suatu perlombaan karya inovatif. Untuk itu, diperlukan biaya Rp 900.000,00. Karena masing-masing memiliki kondisi keuangan yang berbeda, besar kontribusi masing-masing siswa tidak sama. Siswa A memberikan kontribusi setengah dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa B memberikan kontribusi sepertiga dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa C memberikan kontribusi seperempat dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Besar kontribusi siswa D adalah Rp ....
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan
$\begin{align} A = \frac{1}{2}(B+C+D) \rightarrow 2A & = B+C+D \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ B = \frac{1}{3}(A+C+D) \rightarrow 3B & = A+C+D \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \\ C = \frac{1}{4}(A+B+D) \rightarrow 4C & = A+B+D \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \\ A + B + C + D & = 900.000 \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iv) ke semua persamaan
$\begin{align} \text{pers(i) : } 2A & = B+C+D \\ 2A & = 900.000 - A \\ 3A & = 900.000 \\ A & = 300.000 \\ \text{pers(ii) : } 3B & = A+C+D \\ 3B & = 900.000 - B \\ 4B & = 900.000 \\ B & = 225.000 \\ \text{pers(iii) : } 4C & = A+B+D \\ 4C & = 900.000 - C \\ 5C & = 900.000 \\ C & = 180.000 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai D
$\begin{align} A + B + C + D & = 900.000 \\ 300.000 + 225.000 + 180.000 + D & = 900.000 \\ D & = 195.000 \end{align}$
Jadi, besarnya kontribusi siswa D adalah Rp 195.000,00. $ \heartsuit $
Nomor 10
Jika $ f^{-1}(4x+5) = 8x+12 , \, $ maka $ f (x) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ f^{-1}(A) = B \Leftrightarrow A = f(B) $
sehingga : $ f^{-1}(4x+5) = 8x+12 \Rightarrow 4x+5 = f(8x+12) $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ f(x) $
Misal : $ p = 8x+12 \rightarrow x = \frac{p-12}{8} $
Substitusi bentuk $ p $
$\begin{align} f(8x+12) & = 4x+5 \\ f(p) & = 4\left( \frac{p-12}{8} \right) +5 \\ f(p) & = \frac{p-12}{2} +5 \\ f(p) & = \frac{p-12}{2} + \frac{10}{2} \\ f(p) & = \frac{p-2}{2} \end{align}$
Sehingga diperoleh : $ f(x) = \frac{x-2}{2} $
Jadi, diperoleh $ f(x) = \frac{x-2}{2} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 622 tahun 2015


Nomor 1
Jika $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan real positif, maka $ \frac{(\sqrt{2a}+\sqrt{b})^2-\sqrt{b}(2\sqrt{2a}+\sqrt{b})}{-2a} = .... $
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat bentuk akar
$ (\sqrt{a})^2 = a \, $ dan $ \sqrt{a}. \sqrt{b} = \sqrt{ab} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan hasilnya
$\begin{align} & \frac{(\sqrt{2a}+\sqrt{b})^2-\sqrt{b}(2\sqrt{2a}+\sqrt{b})}{-2a} \\ & = \frac{(2a + b + 2\sqrt{2ab})-2\sqrt{2ab} - b }{-2a} \\ & = \frac{2a }{-2a} = -1 \end{align}$
Jadi, diperoleh hasilnya adalah $ -1 . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ k \, $ adalah bilangan real positif, serta $ k+3, \, k+1, \, $ dan $ k \, $ adalah berturut-turut suku ketiga, keempat, dan kelima suatu barisan geometri, maka jumlah dua suku pertama barisan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Diketahui : $ u_3 = k+3, \, u_4= k+1, \, u_5 = k $
Perbandingannya sama : suku-suku $u_3, u_4, u_5 $
$\begin{align} \frac{u_4}{u_3} & = \frac{u_5}{u_4} \\ (u_4)^2 & = u_3 .u_5 \\ (k+1)^2 & = (k+3)(k) \\ k^2 + 2k + 1 & = k^2 + 3k \\ k & = 1 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r $
$ r = \frac{u_4}{u_3} = \frac{k+1}{k+3} = \frac{1+1}{1+3}= \frac{1}{2} $
$ u_3 = k+3 \rightarrow ar^2 = 1+3 \rightarrow a.(\frac{1}{2})^2 = 4 \rightarrow a = 16 $
$ u_2 = a.r = 16. \frac{1}{2} = 8 $
$\spadesuit \, $ Jumlah dua suku pertamanya
$\begin{align} u_1 + u_2 & = 16 + 8 = 24 \end{align} $
Jadi, jumlah dua suku pertamanya adalah 24. $ \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
sbmptn_matdas_1_k622_2015.png
$\clubsuit \, $ gambarnya
sbmptn_matdas_1a_k622_2015.png
$\clubsuit \, $ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui $ {}^2 \log p = \frac{1}{3} \, $ dan $ {}^3 \log q = \frac{1}{2}. \, $ Jika $ x = p^2 \, $ dan $ y = q^3, \, $ maka $ {}^x \log y = ..... $
$\spadesuit \, $ Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
Sifat logaritma : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Sifat Eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$\begin{align} {}^2 \log p & = \frac{1}{3} \rightarrow p = 2^\frac{1}{3} \\ {}^3 \log q & = \frac{1}{2} \rightarrow q = 3^\frac{1}{2} \\ x & = p^2 = (2^\frac{1}{3})^2 =2^\frac{2}{3} \\ y & = q^3 = (3^\frac{1}{2})^3 = 3^\frac{3}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} {}^x \log y & = {{}^2}^\frac{2}{3} \log 3^\frac{3}{2} \\ & = (\frac{3}{2} : \frac{2}{3}) . {}^2 \log 3 \\ & = (\frac{3}{2} \times \frac{3}{2}) . {}^2 \log 3 \\ & = \frac{9}{4}. {}^2 \log 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^x \log y = \frac{9}{4} ({}^2 \log 3) . \heartsuit $
Nomor 5
Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....
sbmptn_matdas_2_k622_2015.png
$\clubsuit \, $ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.
$\clubsuit \, $ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang
$\clubsuit \, $ Menentukan rata-ratanya $(\overline{x})$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{6.1+7.4+8.3+6.2}{1+4+3+2} \\ & = \frac{70}{10} = 7 \end{align}$
Jadi, yang lulus ujian memiliki rata-rata 7,00. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15