Cara 2 Pembahasan Pecahan SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ \frac{x}{x-3} \leq \frac{x+3}{x+2} \, $ adalah ....
A). $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ x > 3 \, $
B). $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ -2 < x < 3 \, $
C). $ -\frac{9}{2} < x < -2 \, $ atau $ x > 3 \, $
D). $ -\frac{9}{2} \leq x < 3 \, $
E). $ x < -3 \, $ atau $ -2 < x < 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Salah satu cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan adalah dengan metode substitusi angka (Metode SUKA).

$\clubsuit $ Pembahasan
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \frac{x}{x-3} & \leq \frac{x+3}{x+2} \\ \frac{0}{0-3} & \leq \frac{0+3}{0+2} \\ 0 & \leq \frac{3}{2} \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=0$ BENAR, opsi yang salah adalah A dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= -4 \Rightarrow \frac{x}{x-3} & \leq \frac{x+3}{x+2} \\ \frac{-4}{-4-3} & \leq \frac{-4+3}{-4+2} \\ \frac{-4}{-7} & \leq \frac{-1}{-2} \\ \frac{4}{7} & \leq \frac{1}{2} \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= -4 $ SALAH, opsi yang salah adalah D dan E.
Sehingga opsi yang benar adalah B (yang tersisa).
Jadi, solusinya $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ -2 < x < 3 . \heartsuit$

Pembahasan Pertidaksamaan Pecahan SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ \frac{x}{x-3} \leq \frac{x+3}{x+2} \, $ adalah ....
A). $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ x > 3 \, $
B). $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ -2 < x < 3 \, $
C). $ -\frac{9}{2} < x < -2 \, $ atau $ x > 3 \, $
D). $ -\frac{9}{2} \leq x < 3 \, $
E). $ x < -3 \, $ atau $ -2 < x < 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan yaitu :
i). Nolkan ruas kanan,
ii). Samakan penyebut dan operasikan kedua pecahan,
iii). Carilah akar-akar pembilang dan penyebutnya,
iv). Buat garis bilangan, dan tentukan tanda setiap daerah (+ atau -),
v). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Syarat bentuk pecahan adalah akar penyebutnya tidak boleh menjadi solusi (tidak ikut) karena penyebut pecahan tidak boleh bernilai nol.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar
$ \begin{align} \frac{x}{x-3} & \leq \frac{x+3}{x+2} \\ \frac{x}{x-3} - \frac{x+3}{x+2} & \leq 0 \\ \frac{x(x+2)}{(x-3)(x+2)} - \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)} & \leq 0 \\ \frac{x^2 + 2x}{(x-3)(x+2)} - \frac{x^2 - 9}{(x-3)(x+2)} & \leq 0 \\ \frac{(x^2 + 2x)-(x^2 - 9)}{(x-3)(x+2)} & \leq 0 \\ \frac{2x + 9}{(x-3)(x+2)} & \leq 0 \end{align} $
-). akar-akar pembilanganya :
$ 2x + 9 = 0 \rightarrow x = -\frac{9}{2} $
-). akar-akar penyebutnya :
$ (x-3)(x+2) = 0 \rightarrow x = 3 \vee x = -2 $ (akar penyebut tidak ikut).
garis bilangannya :
 

Himpunan penyelesaiannya adalah $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ -2 < x < 3 $.
Jadi, solusinya adalah $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ -2 < x < 3 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan PK SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Jika akar-akar $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $ dan $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ saling berkebalikan, maka $ b - a = .... $
A). $ -7 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
*). Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ \frac{1}{x_1} $ dan $ \frac{1}{x_2} $
adalah $ cx^2 + bx + a = 0 $
($a$ dan $ c $ ditukarkan saja).
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ dan $ cx^2 + bx + a = 0 $ dikatakan saling berkebalikan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK1 $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $ akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ saling berkebalikan dengan PK2 $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ , artinya PK2 memiliki akar-akar $ \frac{1}{x_1} $ dan $ \frac{1}{x_2} $. Sehingga jika pada PK1 nilai $ a $ dan $ c $ kita tukarkan maka akan sama dengan PK2.
*). PK1 : $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $ kita tukar $ a $ dan $ c $ sehingga kita peroleh $ -2x + ax + 3 = 0 $ dimana bentuk ini sama dengan PK2. Kita kalikan $(-1)$ dulu agar koefisien $ x^2 $ menjadi positif yaitu $ 2x^2 - ax - 3 = 0 $.
*). Karena bentuk $ 2x^2 - ax - 3 = 0 $ sama dengan PK2 $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ , maka kita peroleh nilai :
$ -a = 6 \rightarrow a = -6 $
$ 3b = -3 \rightarrow b = -1 $.
Sehingga nilai $ b - a = -1 - (-6) = 5 $
Jadi, nilai $ b - a = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Jika akar-akar $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $ dan $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ saling berkebalikan, maka $ b - a = .... $
A). $ -7 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK1 $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $ akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ saling berkebalikan dengan PK2 $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ , artinya PK2 memiliki akar-akar $ \frac{1}{x_1} $ dan $ \frac{1}{x_2} $. Untuk memudahkan, kita misalkan saja akar-akar PK2 adalah $ y_1 = \frac{1}{x_1} $ dan $ y_2=\frac{1}{x_2} $.
*). PK1 : $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-a}{3} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{-2}{3} $.
*). PK2 : $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ akar-akar $ y_1 $ dan $ y_2 $
-). Operasi penjumlahannya :
$\begin{align} y_1 + y_2 & = \frac{-6}{2} \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} & = -3 \\ \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} & = -3 \\ \frac{\frac{-a}{3}}{\frac{-2}{3}} & = -3 \\ \frac{a}{2} & = -3 \\ a & = -6 \end{align} $
-). Operasi perkalian :
$\begin{align} y_1 . y_2 & = \frac{3b}{2} \\ \frac{1}{x_1} .\frac{1}{x_2} & = \frac{3b}{2} \\ \frac{1}{x_1.x_2} & = \frac{3b}{2} \\ \frac{1}{\frac{-2}{3} } & = \frac{3b}{2} \\ \frac{-3}{2} & = \frac{3b}{2} \\ b & = -1 \end{align} $
Sehingga nilai $ b - a = -1 - (-6) = 5 $
Jadi, nilai $ b - a = 5 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2016 Matematika Dasar Kode 350


Nomor 1
Jika akar-akar $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $ dan $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ saling berkebalikan, maka $ b - a = .... $
A). $ -7 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $
Nomor 2
Jika $ A^{2x} = 2 $, maka $ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } = .... $
A). $\frac{31}{18} \, $ B). $\frac{31}{9} \, $ C). $ \frac{32}{18} \, $ D). $ \frac{33}{9} \, $ E). $ \frac{33}{18} $
Nomor 3
Suatu garis yang melalui titik $(0,0)$ membagi persegipanjang dengan titik-titik sudut (1,2), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ \frac{12}{5} \, $ E). $ 3 $
Nomor 4
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ \frac{x}{x-3} \leq \frac{x+3}{x+2} \, $ adalah ....
A). $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ x > 3 \, $
B). $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ -2 < x < 3 \, $
C). $ -\frac{9}{2} < x < -2 \, $ atau $ x > 3 \, $
D). $ -\frac{9}{2} \leq x < 3 \, $
E). $ x < -3 \, $ atau $ -2 < x < 3 \, $
Nomor 5
Jika grafik fungsi $ y = x^2 - (9+a)x + 9a \, $ diperoleh dari grafik fungsi $ y = x^2 - 2x - 3 \, $ melalui pencerminan terhadap garis $ x = 4 $ , maka $ a = .... $
A). $ 7 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ -5 \, $ E). $ -7 \, $
Nomor 6
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasal dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil diatur bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ....
A). $ 144 \, $ B). $ 108 \, $ C). $ 72 \, $ D). $ 36 \, $ E). $ 35 $
Nomor 7
Jika $ f(x^2) = x \, $ dan $ g\left( \frac{x+1}{x} \right) = x $ , $ x > 0 $ , maka $ (g \circ f)(4) = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 8
Jika fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers dan memenuhi $ f(x) = g(4 - 2x) $, maka $ f^{-1}(x) = .... $
A). $ g^{-1}(4-2x) \, $ B). $ g^{-1}\left( 2 - \frac{x}{2} \right) \, $
C). $ 4 - 2g^{-1}(x) \, $ D). $ 2 - \frac{ g^{-1}(x) }{2} \, $
E). $ 4 - \frac{ g^{-1}(x) }{2} $
Nomor 9
Diketahui $ A = \left( \begin{matrix} 8 & a \\ a & 1 \end{matrix} \right) $ , $ B = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ b & 1 \end{matrix} \right) $ , dan C adalah matriks berukuran $ 2 \times 2 $ yang mempunyai invers. Jika AC dan BC tidak memiliki invers, maka $ 3a^2 + 4b^3 = .... $
A). $ 16 \, $ B). $ 20 \, $ C). $ 24 \, $ D). $ 28 \, $ E). $ 36 $
Nomor 10
Misalkan $ U_k $ dan $ S_k $ berturut-turut menyatakan suku ke-$k$ dan jumlah $ k $ suku pertama suatu barisan aritmetika. Jika $ U_2 + U_4 + U_6+U_8 + U_{10}+U_{12} = 72 $, maka $ S_{13} = .... $
A). $ 81 \, $ B). $ 144 \, $ C). $ 156 \, $ D). $ 194 \, $ E). $ 312 $
Nomor 11
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, lengkungan BD dan BE berturut-turut adalah busur lingkaran yang berpusat di C dan A seperti pada gambar. Jika $ AB = BC = 2 $ , maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$.
A). $ 4 - \pi \, $ B). $ 2 - \pi \, $ C). $ 2 \, $
D). $ 2 + \pi \, $ E). $ 4 + \pi $
Nomor 12
Seorang siswa mengikuti 6 kali ujian dengan nilai 5 ujian pertama adalah 6, 4, 8, 5, dan 7. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar daripada 10 dan rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya, maka nilai ujian terkahir yang mungkin ada sebanyak ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 $
Nomor 13
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{bx^2 + 15x + 15 + b }{x^2 + x - 2} \, $ ada, maka nilai $ b $ dan nilai lmit tersebut berturut-turut adalah ....
A). 1 dan 0
B). 1 dan 1
C). 3 dan $ -1 $
D). 3 dan 1
E). 5 dan 0
Nomor 14
Sistem persamaan $ x + 2y = a $ , $ 2x + 3y = b $ , dan $ 5x + 8y = c $ memiliki solusi untuk $ c = .... $
A). $ -a + 2b \, $
B). $ a - 2b \, $
C). $ a + 2b \, $
D). $ 2a - b \, $
E). $ 2a + b \, $
Nomor 15
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} < 1 \, $ adalah ....
A). $ x < 0 \, $
B). $ -2 < x < 2 $
C). $ 0 < x < 4 \, $
D). $ x < 0 \, $ atau $ x > 4 $
E). $ x > 4 $

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ ax + y = 4, \, x + by = 7 , \, $ dan $ ab = 2 $, maka $ x - y = .... $
A). $ 7a - 4b + 3 \, $
B). $ 7a - 4b - 3 \, $
C). $ 7a + 4b + 3 \, $
D). $ -7a + 4b + 3 \, $
E). $ -7a + 4b - 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan kita gunakan metode eliminasi atau substitusi atau metode gabungan.

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Diketahui empat persamaan :
$ ax + y = 4 \, $ ...pers(i)
$ x + by = 7 \, $ ...pers(ii)
$ ab = 2 \, $ ...pers(iii)
*). Menyelesaikan pers(i) dan pers(ii) dengan $ ab = 2 $ :
-). Menentukan $ x $
$ \begin{array}{c|c|c|cc} ax + y = 4 & \times b & abx + by = 4b & 2x + by = 4b & \\ x + by = 7 & \times 1 & x + by = 7 & x + by = 7 & - \\ \hline & & & x = 4b - 7 & \end{array} $
-). Menentukan $ y $
$ \begin{array}{c|c|c|cc} ax + y = 4 & \times 1 & ax + y = 4 & ax + y = 4 & \\ x + by = 7 & \times a & ax + aby = 7 & ax + 2y = 7a & - \\ \hline & & & -y = 4 - 7a & \\ & & & y = 7a - 4 & \end{array} $
*). Menentukan hasil $ x - y $ :
$ \begin{align} x - y & = (4b - 7) - (7a - 4) \\ & = 4b - 7 - 7a + 4 \\ & = -7a + 4b - 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ x - y = -7a + 4b - 3 . \, \heartsuit $