Pembahasan Garis Singgung Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f $ adalah fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $ y = -x+1 $ di titik $ x = -1 $. Jika $ f^\prime (1) = 3 $ , maka $ f(4) = ... $
A). $ 11 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 14 \, $ D). $ 17 \, $ E). $ 22 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1, y_1) $ :
-). Gradiennya :
$ m = f^\prime (x_1) $
-). Jika garis singgungnya sudah diketahui misalkan $ y = px + q $, maka
$ p = f^\prime (x_1) $
-). Untuk melengkapkan titik singgungnya, substitusi saja $ x_1 $ ke garis singgung yang diketahui untuk menentukan $ y_1 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan fungsi kuadratnya $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
turunan pertamanya $ f^\prime (x) = 2ax + b $
garis singgungnya di $ x_1 = -1 $
persamaan garis singgungya $ y = -x + 1 \rightarrow m = -1 $
*). Menentukan titik singgungnya $ (x_1,y_1) $ :
$\begin{align} x_1 = -1 \rightarrow y & = -x + 1 \\ y_1 & = -(-1) + 1 = 2 \end{align} $
sehingga titik $ (x_1,y_1) = (-1,2) $.
*). Menyusun persamaan :
-). persamaan pertama dari $ f^\prime (1) = 3 $
$\begin{align} f^\prime (1) & = 3 \\ 2a.1 + b & = 3 \\ 2a + b & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). persamaan kedua dari $ f^\prime (x_1) = m $
$\begin{align} f^\prime (x_1) & = m \\ f^\prime (-1) & = -1 \\ 2a . (-1) + b & = -1 \\ -2a + b & = -1 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
dengan eliminasi pers(i) dan (ii) kita peroleh $ a = 1 $ dan $ b = 1 $
sehingga $ f(x) = ax^2 + bx + c \rightarrow f(x) = x^2 + x + c $
*). Menentukan nilai $ c $ dengan substitusi titik $ (-1,2) $ :
$\begin{align} f(x) & = x^2 + x + c \\ y & = x^2 + x + c \\ 2 & = (-1)^2 + (-1) + c \\ 2 & = 1 - 1 + c \\ 2 & = c \end{align} $
Sehingga $ f(x) = x^2 + x + 2 $
*). Menentukan nilai $ f(4) $ :
$\begin{align} f(4) & = 4^2 + 4 + 2 = 22 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(4) = 22 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Daerah R persegi panjang yang memiliki titik sudut $ (-1,1) $ , $ (4,1) $ , $ (-1,-5) $ dan $ (4,-5) $. Suatu titik akan dipilih dari R. Probabilitas akan terpilih titik yang berada di atas garis $ y = \frac{3}{2}x - 5 $ adalah ...
A). $ \frac{1}{5} \, $ B). $ \frac{2}{5} \, $ C). $ \frac{3}{5} \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{3}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus peluang kejadian A disimbolkan $ P(A) $
$ \, \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (ruang sampel)
*). Pada soal ini peluang berkaitan dengan luas daerah karena banyaknya titik tak hingga.
Luas persegi panjang = panjang $ \times $ lebar
Luas trapesium = $ \frac{(a+b)}{2} \times t $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
garis $ y = \frac{3}{2}x - 5 \, $ melalui titik $ E(0, -5) $ dan $ C(4,1) $.
 

Keterangan :
$ n(S) = \, $ luas daerah persegi panjang ABCD
$ n(A) = \, $ luas daerah trapesium AECD
*). Menentukan $ n(A) $ dan $ n(S) $ :
$\begin{align} n(S) & = \text{Luas ABCD} \\ & = AB \times BC \\ & = 5 \times 6 = 30 \\ n(A) & = \text{Luas AECD} \\ & = \frac{AE+CD}{2} \times AD \\ & = \frac{1 + 5}{2} \times 6 \\ & = 3 \times 6 = 18 \end{align} $
*). Menentukan peluangnya :
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \end{align} $
Jadi, peluangannya adalah $ \frac{3}{5} . \, \heartsuit $