Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 129

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi $ 2\sin x + \sec x - 2\tan x - 1 = 0 $ , maka nilai $ \sin x_1 + \cos x_2 \, $ yang mungkin adalah .....
A). $ \frac{4}{5} \, $ B). $ \frac{3}{4} \, $ C). $ \frac{4}{3} \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sec x = \frac{1}{\cos x} \, $ dan $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
*). Pemfaktoran :
$ ab - cb = (a-c)b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pemfaktoran dari persamaannya :
$\begin{align} 2\sin x + \sec x - 2\tan x - 1 & = 0 \\ 2\sin x + \frac{1}{\cos x} - 2 \frac{\sin x}{\cos x} - 1 & = 0 \\ 2\sin x - 2 \frac{\sin x}{\cos x} - 1 + \frac{1}{\cos x} & = 0 \\ 2\sin x \left( 1 - \frac{1}{\cos x} \right) - \left( 1 - \frac{1}{\cos x} \right) & = 0 \\ (2\sin x - 1) \left( 1 - \frac{1}{\cos x} \right) & = 0 \\ 2\sin x - 1 = 0 \vee 1 - \frac{1}{\cos x} & = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} \vee \cos x & = 1 \end{align} $
Kita peroleh : $ \sin x_1 = \frac{1}{2} \vee \cos x_2 = 1 $
Sehingga nilai :
$ \sin x_1 + \cos x_2 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} $
Jadi, nilai $ \sin x_1 + \cos x_2 = \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 129

Soal yang Akan Dibahas
Banyakknya bilangan bulat negatif $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{|x-1| - 2x}{x^2 + x - 12} \leq 0 $ adalah .....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |x-1| = \left\{ \begin{array}{ccc} x-1 & , \text{untuk } x - 1 \geq 0 & \rightarrow x \geq 1 \\ -(x-1) & , \text{untuk } x - 1 < 0 & \rightarrow x < 1 \end{array} \right. $
Artinya bentuk mutlak kita bagi menjadi dua berdasarkan batas $ x $ yaitu untuk $ x \geq 1 $ dan untuk $ x < 1 $.
*). Untuk $ x \geq 1 $ , maka $ |x-1| = x-1 $ :
$\begin{align} \text{soal : } \frac{|x-1| - 2x}{x^2 + x - 12} & \leq 0 \\ \frac{x - 1 - 2x}{(x + 4)(x - 3)} & \leq 0 \\ \frac{-x - 1 }{(x + 4)(x - 3)} & \leq 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ -x - 1 = 0 \rightarrow x = -1 $,
$ (x + 4)(x - 3) \rightarrow x = -4 \vee x = 3 $.
Garis bilangannya :
 

Karena syaratnya $ x \geq 1 $ , maka
HP1 $ = \{ x \geq 1 \} \cap \{ -4 < x \leq -1 \vee x > 3 \} = \{ x > 3 \} $
*). Untuk $ x < 1 $ , maka $ |x-1| = -(x-1) = -x + 1 $ :
$\begin{align} \text{soal : } \frac{|x-1| - 2x}{x^2 + x - 12} & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 - 2x}{(x + 4)(x - 3)} & \leq 0 \\ \frac{-3x + 1 }{(x + 4)(x - 3)} & \leq 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ -3x + 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{3} $,
$ (x + 4)(x - 3) \rightarrow x = -4 \vee x = 3 $.
Garis bilangannya :
 

Karena syaratnya $ x < 1 $ , maka
HP2 $ = \{ x < 1 \} \cap \{ -4 < x \leq \frac{1}{3} \vee x > 3 \} = \{ -4 < x \leq \frac{1}{3} \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cup HP2 \\ & = \{ x > 3 \} \cup \{ -4 < x \leq \frac{1}{3} \} \\ & = \{ -4 < x \leq \frac{1}{3} \} \cup \{ x > 3 \} \end{align} $
Bilangan bulat negatif $ =\{ -3, -2, -1 \} $.
Jadi, ada 3 bilangan bulat negatif yang memenuhi $ . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika IPA Kode 129


Nomor 1
Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{x + y} + \frac{1}{2x - y} = 2 \\ -\frac{4}{x + y} + \frac{3}{2x - y} = 1 \\ \end{array} \right. $
maka nilai $ 2x^2 + xy - y^2 = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $
Nomor 2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ....
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $ B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $ D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $ E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $
Nomor 3
Banyakknya bilangan bulat negatif $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{|x-1| - 2x}{x^2 + x - 12} \leq 0 $ adalah .....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $
Nomor 4
Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ membentuk sudut $ \alpha $ , dengan $ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}} $ . Jika $ |\vec{a}| = \sqrt{5} $ dan $ \vec{a}.\vec{b} = \sqrt{30} $ , maka $ \vec{b}.\vec{b} = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 9 \, $
Nomor 5
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi $ 2\sin x + \sec x - 2\tan x - 1 = 0 $ , maka nilai $ \sin x_1 + \cos x_2 \, $ yang mungkin adalah .....
A). $ \frac{4}{5} \, $ B). $ \frac{3}{4} \, $ C). $ \frac{4}{3} \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ 2 \, $

Nomor 6
Persamaan hiperbola yang mempunyai asimtot $ y = 2x $ dan $ y = 4 - 2x $, serta melalui $ (3,0) $ adalah .....
A). $ (x-1)^2 - 4 (y + 2)^2 = 4 \, $
B). $ (x-1)^2 - 4(y - 2)^2 = 12 \, $
C). $ 4(x-1)^2 - (y - 2)^2 = 4 \, $
D). $ 4(x-1)^2 - (y - 2)^2 = 12 \, $
E). $ 4(x-1)^2 - (y + 2)^2 = 12 $
Nomor 7
Sisa pembagian polinom $ p(x) $ oleh $ (x^2 - 4) $ adalah $ (ax + b) $ . Jika sisa pembagian $ p(x) $ oleh $ ( x - 2 ) $ adalah 3 dan pembagian $ p(x) $ oleh $ (x+2) $ adalah $ - 5 $, maka nilai $ 4a + b $ adalah .....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 7 $
Nomor 8
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $ 3\sqrt{2} $ melaui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ....
A). $ 18\pi + 18 \, $ B). $ 18\pi - 18 \, $
C). $ 14\pi + 14 \, $ D). $ 14\pi - 15 \, $
E). $ 10\pi + 10 $
Nomor 9
Jika $ \int_{-4}^4 f(x) (\sin x + 1) dx = 8 $ , dengan $ f(x) $ fungsi genap dan $ \int_{-2}^4 f(x) dx = 4 $ , maka $ \int_{-2}^0 f(x) dx = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 10
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4x + 3x \cos 2x}{\sin x \cos x} = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 2 $

Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{2x^2 \tan \left( \frac{1}{x} \right) - x \sin \left( \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{x}}{x \cos \left( \frac{2}{x} \right)} = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $
Nomor 12
Ada dua buah nilai konstanta $ C $ yang membuat kurva $ y = \frac{x^3+6x+C}{x^2+x-2} $ tepat memiliki satu asimtot tegak. Hasil penjumlahan kedua nilai $ C $ tersebut adalah ......
A). $ 10 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 14 $
Nomor 13
Misalkan $ f(x) = \sin (\cos ^2 x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ -2\sin x . \cos ( \cos ^2 x) \, $
B). $ -2\sin 2x . \cos ( \cos ^2 x) \, $
C). $ -\sin x . \cos ( \cos ^2 x) \, $
D). $ -\sin 2x . \cos ( \cos ^2 x) \, $
E). $ -\sin ^2 x . \cos ( \cos ^2 x) $
Nomor 14
Misalkan $ y_1 = -3x + 2 $ dan $ y_2 = 2x - 1 $ berturut-turut adalah garis singgung dari $ f(x) $ dan $ g(x) $ di $ x = 4 $. Jika $ F(x) = f(x)g(x) $ , maka $ F^\prime (4) = .... $
A). $ -6 \, $ B). $ -20 \, $ C). $ -21 \, $ D). $ -41 \, $ E). $ -50 \, $
Nomor 15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalia, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah .....
A). $ 0,04 \, $ B). $ 0,10 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,32 \, $ E). $ 0,40 $