Pembahasan Invers Matriks UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Hasil kali matriks $ A \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right)$. Matriks $ A $ adalah ....
A). $ \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 4 & 7 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} -2 & 4 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right) \, $ C). $ \left( \begin{matrix} 4 & -2 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right) \, $
D). $ \left( \begin{matrix} 7 & 2 \\ -1 & 4 \end{matrix} \right) \, $ E). $ \left( \begin{matrix} 7 & 2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers Matriks $ B = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
$ B^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat invers matriks :
$ AB = C \rightarrow A C.B^{-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks A :
$\begin{align} A \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right)^{-1} \\ & = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right). \frac{1}{5.6 - (-3).0} \left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right). \frac{1}{30 - 0} \left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right). \frac{1}{30} \left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{30} \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{30} \left( \begin{matrix} -60 & 120 \\ 210 & -30 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 4 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, matirks $ A = \left( \begin{matrix} -2 & 4 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ I $ matriks satuan dan matriks $ A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right) $ sehingga $ A^2=pA+qI $ , maka $ p + q $ sama dengan ....
A). $ 15 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ -5 \, $ E). $ -10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Matriks satuan : $ I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
*). Operasi pada matriks :
-). Perkalian = baris $ \times $ kolom,
-). Kali skalar = kalikan semua dengan konstantanya,
-). Penjumlahn = jumlahkan unsur-unsur yang seletak,
-). kesamaan dua matriks = unsur-unsur seletak nilainya sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan matriksnya :
$\begin{align} A^2 & =pA+qI \\ \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right) & = p\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right)+q\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 0 & 5 \\ -20 & 5 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2p & p \\ -4p & 3p \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} q & 0 \\ 0 & q \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 0 & 5 \\ -20 & 5 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2p + q & p \\ -4p & 3p + q \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan matriks ini kita peroleh : $ p = 5 $
$ 2p + q = 0 \rightarrow 2.5 + q = 0 \rightarrow q = -10 $
Sehingga nilai $ p + q 5 + (-10 ) = -5 $
Jadi, nilai $ p + q = -5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Garis Singgung UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan garis singgung kurva $ y = x^2 $ di titik potong kurva tersebut dengan kurva $ y = \frac{1}{x} $ adalah ....
A). $ y + 2x + 1 = 0 \, $
B). $ y + 2x - 1 = 0 \, $
C). $ y - 2x + 1 = 0 \, $
D). $ y - 2x - 1 = 0 \, $
E). $ 2y - x + 1 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $
$ \, \, \, \, y - y_1 = m(x- x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik potong kedua kurva :
$\begin{align} y_1 & = y^2 \\ x^2 & = \frac{1}{x} \\ x^3 & = 1 \\ x & = 1 \end{align} $
$ x = 1 \rightarrow y = x^2 = 1^2 = 1 $
Sehingga titik potongnya adalah $ (x_1,y_1) = (1 , 1 ) $
*). Menentukan turunan kurva $ y = x^2 $ dan gradien garis singgung :
$\begin{align} y & = x^2 \\ y^\prime & = 2x \\ m & = f^\prime (x_1) \\ & = f^\prime (1) \\ & = 2.1 = 2 \end{align} $
*). Menyusun persamaan garis singgung di titik $ (x_1,y_1) = (1 , 1 ) $ dan $ m = 2 $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x- x_1) \\ y - 1 & = 2(x- 1) \\ y - 1 & = 2x- 2 \\ y - 2x & + 1 = 0 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y - 2x + 1 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan fungsi UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) = \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)(1+\cos x) $ mempunyai turunan ....
A). $ \cos x \, $ B). $ \sin x \, $ C). $ -\cos x \, $
D). $ -\sin x \, $ E). $ \sin 2x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus dasar trigonometri : $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
atau $ 1 - \cos ^2 x = \sin ^2 x $
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan dan menurunkan fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)(1+\cos x) \\ & = \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}\right)(1+\cos x) \\ & = \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}\right)(1+\cos x) \\ & = \left(\frac{1 - \cos x}{\sin x}\right)(1+\cos x) \\ & = \left(\frac{(1 - \cos x)(1+\cos x) }{\sin x}\right) \\ & = \left(\frac{1 - \cos ^2 x}{\sin x}\right) \\ & = \left(\frac{\sin ^2 x}{\sin x}\right) \\ f(x) & = \sin x \\ f^\prime (x) & = \cos x \end{align} $
Jadi, turunan fungsinya adalah $ \cos x. \, \heartsuit $

Pembahasan Ketaksamaan Eksponen UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan $ 4^{x-2} > \sqrt{2^{3x+1}} $ adalah ....
A). $ x > 2 \, $
B). $ x > 4 \, $
C). $ 2 < x < 4 $
D). $ x > 9 $
E). $ 2 < x < 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Eksponen :
1). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
2). $ \sqrt{a^n} = a^\frac{n}{2} $
*). Pertidaksamaan Eksponen :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ mempunyai penyelesaian :
jika $ a > 1 $ , maka $ f(x) > g(x) $
jika $ 0 < a < 1 $ , maka $ f(x) < g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soalnya :
$\begin{align} 4^{x-2} & > \sqrt{2^{3x+1}} \\ (2^2)^{x-2} & > 2^\frac{3x+1}{2} \\ 2^{2x-4} & > 2^\frac{3x+1}{2} \\ 2x-4 & > \frac{3x+1}{2} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 4x-8 & > 3x+1 \\ 4x-3x & > 1 + 8 \\ x & > 9 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x > 9. \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$\frac{\log x \sqrt{x} - \log\sqrt{y}+\log \frac{x}{y^2}}{\log \frac{x}{y}} = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ -\frac{5}{2} \, $ D). $ \frac{5}{2} \, $ E). $ \frac{3}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
1). $ {}^a \log b - {}^a \log c + {}^a \log d = {}^a \log \frac{b.d}{c} $
2). $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
*). SIfat Eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m + n} $ dan $ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soalnya :
$\begin{align} & \frac{\log x \sqrt{x} - \log\sqrt{y}+\log \frac{x}{y^2}}{\log \frac{x}{y}} \\ & = \frac{\log \frac{ x \sqrt{x} . \frac{x}{y^2}}{\sqrt{y}} }{\log \frac{x}{y}} = \frac{\log \frac{ x \sqrt{x} .x}{\sqrt{y} . y^2} }{\log \frac{x}{y}} \\ & = \frac{\log \frac{ x^2 .x^\frac{1}{2} }{y^\frac{1}{2} . y^2} }{\log \frac{x}{y}} = \frac{\log \frac{x^\frac{5}{2} }{y^\frac{5}{2} } }{\log \frac{x}{y}} \\ & = \frac{\log \left( \frac{x}{y} \right)^\frac{5}{2} }{\log \frac{x}{y}} = \frac{ \frac{5}{2} \, \times \, \log \frac{x}{y} }{\log \frac{x}{y}} = \frac{5}{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{5}{2}. \, \heartsuit $