Kode 245 Pembahasan Garis Singgung Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ g $ adalah garis singgung lingkaran $ x^2+y^2=25 $ di titik A(3,4). Jika garis singgung tersebut ditransformasikan dengan matriks rotasi $ \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)$, maka absis dari titik potong antara garis singgung lingkaran dengan garis hasil transformasi adalah ....
A). $ \frac{7}{2} \, $ B). $ \frac{18}{5} \, $ C). $ 4 \, $ D). $ \frac{24}{5} \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis singgung Lingkaran dan Transformasi
*). Persamaan Garis singgung lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ di titik $ (x_1,y_1) $ dengan $(x_1,y_1)$ ada pada lingkaran adalah $ x_1.x + y_1.y = r^2 $.
*). Transformasi Matriks :
$ \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (MT) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)$
*). Sifat invers matriks :
$ A = BC \rightarrow C = B^{-1}.A $
*). Invers matriks :
$ D = \left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow D^{-1} = \frac{1}{a.d - b. c } \left(\begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan garis singgung g pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ di titik A(3,4)
$\begin{align} x_1.x+y_1.y & = r^2 \\ x_1.x+y_1.y & = 25 \\ 3x+4y & = 25 \end{align} $
*). Menentukan hasil transformasi garis g oleh matriks $\left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)$
$\begin{align} \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)^{-1} \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2} \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{1} \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left(\begin{matrix} \frac{3}{5}x^\prime - \frac{4}{5}y^\prime \\ \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime \end{matrix} \right) \end{align} $
Sehingga kita peroleh :
$ x = \frac{3}{5}x^\prime - \frac{4}{5}y^\prime $ dan $ y = \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime $
*). Substitusikan bentuk yang kita peroleh ke pesamaan awal g : $ 3x + 4y = 25 $ , sehingga kita peroleh bayangan (hasil transformasinya) :
$ \begin{align} 3x + 4y & = 25 \\ 3(\frac{3}{5}x^\prime - \frac{4}{5}y^\prime) + 4(\frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime) & = 25 \\ 3(\frac{3}{5}x - \frac{4}{5}y ) + 4(\frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y ) & = 25 \\ \frac{9}{5}x - \frac{12}{5}y + \frac{16}{5}x + \frac{12}{5}y & = 25 \\ \frac{25}{5}x & = 25 \\ 5x & = 25 \\ x & = 5 \end{align} $
Jadi, absis perpotongannya adalah 5 $ . \, \heartsuit $



Cara 3 : Kode 245 Pembahasan Garis Singgung Kurva SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis singgung kurva
*). Gradien garis singgung kurva di titik $ (x_1,y_1) $ adalah
$ m = f^\prime (x_1) $.
*). Suatu garis membentuk sudut sebesar $ \theta $ terhadap sumbu X positif, maka gradiennya bisa ditentukan dengan $ m = \tan \theta $.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 : Gradien garis
*). Ilustrasi Gambar segitiga PQR nya :
 

Catatan : Untuk konstruksi gambarnya ini, teman-teman bisa lihat langkah-langkahnya pada pembahasan cara 1.
*). Menentukan gradien garis singgung yaitu garis PR dititik P($-a,b$) pada kurva $ y = 3 - x^2 $
Turunannya : $ f^\prime (x) = -2x $
Gradien garis singgung : $ m_{PR} = f^\prime (x_1) = f^\prime (-a) = -2.(-a) = 2a $
*). Karena PQR adalah segitiga sama sisi, maka besar sudut masing-masing adalah $ 60^\circ $. gradien garis PR juga bisa dicari dengan menggunakan tangen sudutnya atau $ m = \tan RPT $. Sehingga :
$ \begin{align} m_{PR} & = \tan RPT \\ 2a & = \tan 60^\circ \\ 2a & = \sqrt{3} \\ a & = \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Garis Singgung Kurva SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar rumus Trigonmetri
*). Rumus tangen : $ \tan \theta = \frac{depan}{samping} $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Rumus Tangen Sudut Segitiga
*). Ilustrasi Gambar segitiga PQR nya :
 

Catatan : Untuk konstruksi gambarnya ini, teman-teman bisa lihat langkah-langkahnya pada pembahasan cara 1.
*). Karena PQR adalah segitiga sama sisi, maka besar sudut masing-masing adalah $ 60^\circ $. Perhatikan segitiga RTQ :
Panjang RT $ = (2a^2 + b ) - b = 2a^2 $
Panjang TQ $ = a $
$ \begin{align} \tan RQT & = \frac{RT}{TQ} \\ \tan 60^\circ & = \frac{2a^2}{a} \\ \sqrt{3} & = 2a \\ a & = \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Garis Singgung Kurva SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis singgung Kurva (PGS) Menggunakan Turunan
*). Persamaan Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik ($x_1,y_1$) yaitu :
$ y - y_1 = m(x- x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Konsep Jarak :
Jarak dua titik ($x_1,y_1$) dan ($x_2,y_2$) adalah
Jarak $ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Panjang Sisi Sama
*). Menyusun PGS kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik P($-a,b$) :
Turunannya : $ f^\prime (x) = -2x $
Gradien : $ m = f^\prime (x_1) = f^\prime (-a) = -2. (-a) = 2a $
PGS di titik $(x_1,y_1) = (-a,b) $ dan $ m = 2a $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x- x_1) \\ y - b & = 2a(x- (-a)) \\ y & = 2ax + 2a^2 + b \end{align} $
*). Titik potong PGS terhadap sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ :
$\begin{align} x = 0 \rightarrow y & = 2ax + 2a^2 + b \\ y & = 2a . 0 + 2a^2 + b \\ y & = 2a^2 + b \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu Y nya adalah R($0, 2a^2 + b$).
*). Konstruksi Gambar segitiga PQR nya :
 

*). Karena PQR adalah segitiga sama sisi, maka panjang ketiga sisinya sama :
$ \begin{align} \text{panjang QR } & = \text{ panjang PQ} \\ \sqrt{ (x_R - x_Q)^2 + (y_R-y_Q)^2} & = \sqrt{(x_Q-x_P)^2 + ( y_Q-y_P)^2} \\ \sqrt{ (0 - a)^2 + [(2a^2 + b) - b ]^2} & = \sqrt{(a - (-a))^2 + ( b - b)^2} \\ \sqrt{ a^2 + 4a^4} & = \sqrt{4a^2 + 0} \\ \sqrt{ a^2 + 4a^4} & = \sqrt{4a^2 } \\ a^2 + 4a^4 & = 4a^2 \\ 4a^4 & = 3a^2 \\ 4a^2 & = 3 \\ a^2 & = \frac{3}{4} \\ a & = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} \\ a & = \pm \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Nilai $ a $ positif, sehingga yang memenuhi : $ a = \frac{1}{2}\sqrt{3} $.
Jadi, nilai $ a = \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Kaidah Pencacahan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 72 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kaidah pencacahan
*). Aturan Penjumlahan
       Aturan penjumlahan digunakan ketika kejadiannya tidak serentak (tidak sekaligus).
*). Aturan Perkalian
       Aturan perkalian digunakan ketika kejadiannya serentak (sekaligus).
Silahkan teman-teman baca contoh lengkapnya pada artikel "Aturan Perkalian, Aturan Penjumlahan, dan Faktorial".
*). Suatu bilangan akan bernilai genap jika satuannya juga genap.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Agar $ n = abc $ merupakan bilangan genap, maka $ c $ harus bilangan genap yang memenuhi $ 3 < b < c $. Sehingga nilai $ c $ yang mungkin yaitu $ c = 6 $ atau $ c = 8 $.
*). Beberapa kemungkinan :
-). kemungkinan pertama : $ c = 6 \rightarrow 3 < b < 6 $
nilai $ b = 4 $ atau $ b = 5 $.
Nilai $ a = \{ 1,2,3, ..., 9 \} $
Artinya kita peroleh :
$ a $ ada 9 pilihan, $ b $ ada 2 pilihan, dan $ c $ ada 1 pilihan angka.
Sehingga kemungkinan pertama bilangan $ abc $ ada $ 9 \times 2 \times 1 = 18 $ bilangan.
-). kemungkinan kedua : $ c = 8 \rightarrow 3 < b < 8 $
nilai $ b = \{ 4, 5, 6, 7\} $.
Nilai $ a = \{ 1,2,3, ..., 9 \} $
Artinya kita peroleh :
$ a $ ada 9 pilihan, $ b $ ada 4 pilihan, dan $ c $ ada 1 pilihan angka.
Sehingga kemungkinan kedua bilangan $ abc $ ada $ 9 \times 4 \times 1 = 36 $ bilangan.
*). Total bilangan $ n = abc $ yang terbentuk adalah
total $ = 18 + 36 = 54 $.
Jadi, ada 54 bilangan genap $ n . \, \heartsuit $



Cara 3 : Kode 245 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, daris $ y = 4$, dan kurva $ y = x^2$. Jika garis $ y = k $ membagi dua daerah D sama besar, maka $ k^3 = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Menghitung Luas
*). Rumus Luas yang dibatasi oleh fungsi kuadrat (parabola) dan membentuk persegi panjang yang melalui titik puncaknya seperti gambar berikut ini,
Luas arsiran $ = \frac{2}{3} \times \, $ Luas Persegipanjang

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 :
*). Ilustrasi Gambar :
 

-). Luas daerah A :
Luas A $ = \frac{2}{3} \times (2 \times 4) = \frac{16}{3} $
-). Luas daerah B :
Luas B $ = \frac{2}{3} \times (\sqrt{k} \times k) = \frac{2}{3} k\sqrt{k}$
*). Garis $ y = k $ membagi daerah A menjadi dua bagia sama besar yaitu daerah B dan C, sehingga luas B sama dengan setengah dari luas daerah A.
$\begin{align} \text{ Luas B } & = \frac{1}{2} \text{ Luas A} \\ \frac{2}{3}.k\sqrt{k} & = \frac{1}{2} . \frac{16}{3} \\ \frac{2}{3}.k\sqrt{k} & = \frac{8}{3} \\ k\sqrt{k} & = 4 \\ (k\sqrt{k})^2 & = 4^2 \\ k^3 & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ k^3 = 16 . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, daris $ y = 4$, dan kurva $ y = x^2$. Jika garis $ y = k $ membagi dua daerah D sama besar, maka $ k^3 = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi $ x = f(y) $ pada interval $ a \leq y \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b f(y) \, dy $
*). Sifat eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Batas sumbu Y
*). Ilustrasi Gambar :
 

*). Garis $ y = k $ membagi daerah menjadi dua bagia sama besar yaitu daerah A dan B, sehingga luas A sama dengan luas daerah B.
$\begin{align} \text{ Luas A } & = \text{ Luas B} \\ \int \limits_0^k y^\frac{1}{2} \, dy & = \int \limits_k^4 y^\frac{1}{2} \, dy \\ \left[\frac{2}{3} y^\frac{3}{2}\right]_0^k & = \left[\frac{2}{3} y^\frac{3}{2}\right]_k^4 \\ \frac{2}{3} k^\frac{3}{2} & = \left[\frac{2}{3} . 4^\frac{3}{2}\right] - \left[\frac{2}{3} k^\frac{3}{2}\right] \\ \frac{2}{3} k^\frac{3}{2} + \frac{2}{3} k^\frac{3}{2} & = \frac{2}{3} . (2^2)^\frac{3}{2} \\ 2\times \frac{2}{3} k^\frac{3}{2} & = \frac{2}{3} (8) \\ 2 k^\frac{3}{2} & = 8 \\ k^\frac{3}{2} & = 4 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (k^\frac{3}{2})^2 & = 4^2 \\ k^3 & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ k^3 = 16 . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, daris $ y = 4$, dan kurva $ y = x^2$. Jika garis $ y = k $ membagi dua daerah D sama besar, maka $ k^3 = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Batas sumbu X
*). Ilustrasi Gambar :
 

*). Garis $ y = k $ membagi daerah A menjadi dua bagia sama besar yaitu daerah B dan C, sehingga luas B sama dengan setengah dari luas daerah A.
$\begin{align} \text{ Luas B } & = \frac{1}{2} \text{ Luas A} \\ \int \limits_0^\sqrt{k} ( k - x^2) \, dx & = \frac{1}{2} . \int \limits_0^2 ( 4 - x^2) \, dx \\ [kx - \frac{1}{3}x^3]_0^\sqrt{k} & = \frac{1}{2} . [4x - \frac{1}{3}x^3]_0^2 \\ k\sqrt{k} - \frac{1}{3}(\sqrt{k})^3 & = \frac{1}{2}. (8 - \frac{1}{3}.2^3) \\ k\sqrt{k} - \frac{1}{3}.k\sqrt{k} & = \frac{1}{2}. (8 - \frac{8}{3} ) \\ \frac{2}{3}.k\sqrt{k} & = \frac{8}{3} \\ k\sqrt{k} & = 4 \\ (k\sqrt{k})^2 & = 4^2 \\ k^3 & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ k^3 = 16 . \, \heartsuit $



Cara 3 : Kode 245 Pembahasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral
*). Sifat-sifat integral :
i). Batas integral bisa dipecah menjadi beberapa bagian :
-). $ \int \limits_a^c f(x) \, dx = \int \limits_a^b f(x) \, dx + \int \limits_b^c f(x) \, dx $
dengan $ a < b < c $.
-). $ \int \limits_a^d f(x) \, dx = \int \limits_a^b f(x) \, dx +\int \limits_b^c f(x) \, dx+\int \limits_c^d f(x) \, dx$
dengan $ a < b < c < d $
ii). Batas integral bisa diperkecil nilainya :
$ \int \limits_a^b f(x) \, dx = \int \limits_{a-k}^{b-k} f(x + k) \, dx $
(semua batas dikurangkan $ k $ dan variabel fungsinya ditambahkan $ k$).

*). Jika suatu fungsi diketahui memenuhi $ f(x) = f(x + 2) $ ,
maka berlaku juga untuk $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.
Pembuktian :
Dari bentuk $ f(x) = f(x + 2) $, kita ganti $ x $ dengan beberapa kemungkinan yaitu :
$ x = p \rightarrow f(p) = f(p+2) $
$ x = p+2 \rightarrow f(p+2) = f((p+2)+2) \rightarrow f(p+2) = f(p+4) $
$ x = p+4 \rightarrow f(p+4) = f((p+4)+2) \rightarrow f(p+4) = f(p+6) $
$ x = p+6 \rightarrow f(p+6) = f((p+6)+2) \rightarrow f(p+6) = f(p+8) $
sehingga dapat kita simpulkan bahwa :
$ f(p) =f(p+2)=f(p+4)=f(p+6)=f(p+8) \, $ dan seterusnya, atau dapat ditulis $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 :
*). Meneyelesaikan soal dengan menggunakan $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, dan $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) $ serta sifat-sifat integral di atas :
$\begin{align} \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx & = \int \limits_3^7 f(x) \, dx \\ & = \int \limits_3^4 f(x) \, dx + \int \limits_4^6 f(x) \, dx + \int \limits_6^7 f(x) \, dx \\ & = \int \limits_{3-2}^{4-2} f(x+2) \, dx + \int \limits_{4-4}^{6-4} f(x+4) \, dx + \int \limits_{6-6}^{7-6} f(x+6) \, dx \\ & = \int \limits_{1}^{2} f(x+2) \, dx + \int \limits_{0}^{2} f(x+4) \, dx + \int \limits_{0}^{1} f(x+6) \, dx \\ & = \int \limits_{1}^{2} f(x) \, dx + \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx + \int \limits_{0}^{1} f(x) \, dx \\ & = \left( \int \limits_{0}^{1} f(x) \, dx + \int \limits_{1}^{2} f(x) \, dx \right) + \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx \\ & = \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx + \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx \\ & = 2. \left( \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx \right) \\ & = 2B \end{align} $
Jadi, kita peroleh hasil $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = 2B. \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral dan persamaan Rekurensi
*). hasil integral : $ \int a^x \, dx = a^x + c $
*). Konsep dasar persamaan rekurensi
Misalkan ada persamaan rekurensi homogen :
$ f(x + n) + f(x + n-1) + ....+ f(x+1) + f(x) = 0 $ ,
maka fungsi $ f(x) $ yang memenuhi adalah $ f(x) = a_1(r_1)^x + a_2(r_2)^x + ...+a_n(r_n)^x $
dengan $ r_1, r_2, ..., r_n \, $ adalah akar-akar dari persamaan :
$ r^n + r^{n-1} + ...+r^1 + r^0 = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan persamaan rekurensinya untuk menentukan fungsi $ f(x) $ :
$\begin{align} f(x) & = f(x+2) \\ f(x+2) - f(x) & = 0 \\ r^2 - r^0 & = 0 \\ r^2 - 1 & = 0 \\ r^2 & = 1 \\ r & = \pm 1 \\ r_1 = -1 \vee r_2 & = 1 \end{align} $
sehingga fungsi $ f(x) $ nya adalah :
$ f(x) = a_1 (r_1)^x + a_2(r_2)^x \rightarrow f(x) = a_1 (-1)^x + a_2(1)^x $
atau disederhanakan : $ f(x) = a_1 (-1)^x + a_2 $
*). Dari bentuk $ f(x) = a_1 (-1)^x + a_2 $, kita tentukan $ f(x+8) $
$\begin{align} f(x) & = a_1 (-1)^x + a_2 \\ f (x+8) & = a_1 (-1)^{x+8} + a_2 \\ & = a_1 (-1)^{x}. (-1)^8 + a_2 \\ & = a_1 (-1)^{x}. 1 + a_2 \\ & = a_1 (-1)^{x} + a_2 \end{align} $
*). Dari bentuk : $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $
$\begin{align} \int \limits_0^2 f(x) \, dx & = B \\ \int \limits_0^2 [a_1 (-1)^x + a_2] \, dx & = B \\ [a_1 (-1)^x + a_2x]_0^2 & = B \\ [a_1 (-1)^2 + a_2.2] - [a_1 (-1)^0 + a_2.0] & = B \\ [a_1 + 2a_2 ] - [a_1 + 0] & = B \\ 2a_2 & = B \\ a_2 & = \frac{1}{2}B \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx & = \int \limits_3^7 [a_1 (-1)^{x} + a_2] \, dx \\ & = [a_1 (-1)^{x} + a_2x]_3^7 \\ & = [a_1 (-1)^{7} + a_2.7]- [a_1 (-1)^{3} + a_2.3] \\ & = [a_1 (-1) + 7a_2]- [a_1 (-1) + 3a_2] \\ & = 4a_2 \\ & = 4 . \frac{1}{2}B \\ & = 2B \end{align} $
Jadi, kita peroleh hasil $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = 2B. \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral
*). Sifat Integral :
$ \int \limits_a^c f(x) \, dx = \int \limits_a^b f(x) \, dx + \int \limits_b^c f(x) \, dx $
dengan $ a < b < c $.
*). Jika suatu fungsi diketahui memenuhi $ f(x) = f(x + 2) $ ,
maka berlaku juga untuk $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.
*). Jika $ f(x) = f(x+2) \, $ dan $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B \, $ , maka berlaku juga untuk integral yang batasnya berselisih dua yang hasilnya sama dengan B, atau kita peroleh :
$ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = \int \limits_1^3 f(x) \, dx =\int \limits_2^4 f(x) \, dx = \int \limits_3^5 f(x) \, dx $ dan seterusnya.

Catatan :
Pernyataan pada konsep dasar ini akan kita buktikan, dan pembuktiannya ada pada bagian paling bawah.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari konsep dasar di atas, kita peroleh bentuk $ f(x + 8 ) = f(x) $
dan juga kita peroleh : $ \int \limits_3^5 f(x) \, dx = \int \limits_5^7 f(x) \, dx = B $
*). Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx & = \int \limits_3^7 f(x) \, dx \\ & = \int \limits_3^5 f(x) \, dx + \int \limits_5^7 f(x) \, dx \\ & = B + B \\ & = 2B \end{align} $
Jadi, kita peroleh hasil $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = 2B. \, \heartsuit $


$\spadesuit $ Pembuktian Konsep Dasar di atas
*). Pernyataan Pertama : Jika suatu fungsi diketahui memenuhi $ f(x) = f(x + 2) $ ,
maka berlaku juga untuk $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.
Pembuktian :
Dari bentuk $ f(x) = f(x + 2) $, kita ganti $ x $ dengan beberapa kemungkinan yaitu :
$ x = p \rightarrow f(p) = f(p+2) $
$ x = p+2 \rightarrow f(p+2) = f((p+2)+2) \rightarrow f(p+2) = f(p+4) $
$ x = p+4 \rightarrow f(p+4) = f((p+4)+2) \rightarrow f(p+4) = f(p+6) $
$ x = p+6 \rightarrow f(p+6) = f((p+6)+2) \rightarrow f(p+6) = f(p+8) $
sehingga dapat kita simpulkan bahwa :
$ f(p) =f(p+2)=f(p+4)=f(p+6)=f(p+8) \, $ dan seterusnya .

*). Pernyataan Kedua : Jika $ f(x) = f(x+2) \, $ dan $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B \, $ , maka berlaku juga untuk integral yang batasnya berselisih dua yang hasilnya sama dengan B, atau kita peroleh :
$ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = \int \limits_1^3 f(x) \, dx =\int \limits_2^4 f(x) \, dx = \int \limits_3^5 f(x) \, dx $ dan seterusnya.
Pembuktian :
-). Misalkan hasil integral dari fungsi $ f(x) $ adalah $ g(x) $, sehingga :
$ \int \limits_a^b f(x) \, dx = [g(x)]_a^b = g(b) - g(a) $
-). dari bentuk $ f(x) = f(x + 2) $, kita substitusi $ x $ dengan $ x + 1 $, kita peroleh :
$ f(x) = f(x+2) \rightarrow f(x+1) = f((x+1)+2) \rightarrow f(x + 1) = f( x+ 3) $.
-). Kita interalkan bentuk $ f(x) = f(x + 2) $ dan bentuk $ f(x+1) = f(x + 3) $ :
$ \begin{align} \text{pertama : } \, f(x) & = f(x+2) \\ \int f(x) & = \int f(x+2) \\ g(x) & = g (x+2) + c \\ \text{kedua : } \, f(x+1) & = f(x+3) \\ \int f(x+1) & = \int f(x+3) \\ g(x+1) & = g (x+3) + c \end{align} $
Catatan : nilai $ c $ sama karena fungsinya sama yaitu dari $ f(x) = f(x+2) $.
-). kita kurangkan kedua bentuk hasil integral di atas, kita peroleh :
$ g(x) - g(x+1) = g(x+2) - g(x+3) \rightarrow g(x+3) - g(x+1) = g(x+2) - g(x) $
-). Dari bentuk $ g(x+3) - g(x+1) = g(x+2) - g(x) $ , kita substitusikan beberapa nilai $ x $ dengan angka tertentu :
$ x = 0 \rightarrow g(3) - g(1) = g(2) - g(0) $
$ x = 1 \rightarrow g(4) - g(2) = g(3) - g(1) $
$ x = 2 \rightarrow g(5) - g(3) = g(4) - g(2) $
$ x = 3 \rightarrow g(6) - g(4) = g(5) - g(3) $
$ x = 4 \rightarrow g(7) - g(5) = g(6) - g(4) $
dan seterusnya .......
Artinya kita peroleh :
$ g(2) - g(0) = g(3) - g(1) = g(4) - g(2) = g(5) - g(3) = g(6) - g(4) = g(7) - g(5) $ dan seterusnya.
-). Dari bentuk $ \int \limits_a^b f(x) \, dx = [g(x)]_a^b = g(b) - g(a) $ atau $ g(b) - g(a) = \int \limits_a^b f(x) \, dx $ , kita simpulkan :
bentuk $ g(2) - g(0) = g(3) - g(1) = g(4) - g(2) = g(5) - g(3) = g(6) - g(4) = g(7) - g(5) $ dan seterusnya.
sama saja dengan :
$ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = \int \limits_1^3 f(x) \, dx = \int \limits_2^4 f(x) \, dx = \int \limits_3^5 f(x) \, dx = \int \limits_4^6 f(x) \, dx = \int \limits_5^7 f(x) \, dx $ dan seterusnya.