Pembahasan Integral SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 552

Soal yang Akan Dibahas
$ \int \left( \frac{x^4-1}{x^3 + x} \right)^2 dx = .... $
A). $ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{x} - 2x + C \, $
B). $ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{x} - 2x + C \, $
C). $ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{x} + 2x + C \, $
D). $ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{x} + x + C \, $
E). $ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{x} - x + C $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar integral :
$ \int \, ax^n \, dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + c $
*). Sifat pemfaktoran :
i). $ a^2-b^2 = (a+b)(a-b) $ dan $ a^4 - b^4 = (a^2+b^2)(a^2 - b^2) $
ii). $ ( a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hasil integralnya :
$\begin{align} & \int \left( \frac{x^4-1}{x^3 + x} \right)^2 dx \\ & = \int \left( \frac{(x^2+1)(x^2-1)}{x(x^2+1)} \right)^2 dx \\ & = \int \left( \frac{x^2-1}{x} \right)^2 dx \\ & = \int \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 dx \\ & = \int \left( x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \right) dx \\ & = \int \left( x^2 + x^{-2} - 2 \right) dx \\ & = \frac{1}{2+1}x^{2+1} + \frac{1}{-2+1} x^{-2+1} - 2x + C \\ & = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{-1} x^{-1} - 2x + C \\ & = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{x} - 2x + C \end{align} $
Jadi, hasil $ \int \left( \frac{x^4-1}{x^3 + x} \right)^2 dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{x} - 2x + C . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Fungsi SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 552

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(g(x)) + g(f(x)) = 2x $ dan $ f(g(x)) - g(f(x)) = 0 $ . Jika $ g(x-1) = \frac{1}{3x + 1} $ , maka $ f(x) = ...$
A). $ \frac{1+4x}{3x} \, $ B). $ \frac{3x}{1+4x} \, $ C). $ \frac{3x}{1-4x} \, $ D). $ \frac{1-4x}{3x} \, $ E). $ \frac{1-3x}{1+4x} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, dapat menggunakan eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} f(g(x)) + g(f(x)) = 2x & \\ f(g(x)) - g(f(x)) = 0 & + \\ \hline 2f(g(x)) = 2x & \\ f(g(x)) = x & \end{array} $
*). Menentukan fungsi $ g(x) $ :
Misalkan $ x - 1 = p \rightarrow x = p + 1 $
$\begin{align} g(x-1) & = \frac{1}{3x + 1} \\ g(p) & = \frac{1}{3(p+1) + 1} \\ g(p) & = \frac{1}{3p+4} \\ g(x) & = \frac{1}{3x+4} \end{align} $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
Misalkan $ \frac{1}{3x+4} = q \rightarrow 3x + 4 = \frac{1}{q} \rightarrow x = \frac{1-4q}{3q} $
$\begin{align} f(g(x)) & = x \\ f \left( \frac{1}{3x+4} \right) & = x \\ f (q) & = \frac{1-4q}{3q} \\ f (x) & = \frac{1-4x}{3x} \\ \end{align} $
Jadi, fungsi $ f(x) = \frac{1 - 4x}{3x} . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 552

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(g(x)) + g(f(x)) = 2x $ dan $ f(g(x)) - g(f(x)) = 0 $ . Jika $ g(x-1) = \frac{1}{3x + 1} $ , maka $ f(x) = ...$
A). $ \frac{1+4x}{3x} \, $ B). $ \frac{3x}{1+4x} \, $ C). $ \frac{3x}{1-4x} \, $ D). $ \frac{1-4x}{3x} \, $ E). $ \frac{1-3x}{1+4x} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, dapat menggunakan eliminasi.
*). Komposisi fungsi :
$ g(f(x)) \, $ artinya fungsi $ f(x) $ masuk ke fungsi $ g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} f(g(x)) + g(f(x)) = 2x & \\ f(g(x)) - g(f(x)) = 0 & - \\ \hline 2g(f(x)) = 2x & \\ g(f(x)) = x & \end{array} $
*). Menentukan fungsi $ g(x) $ :
Misalkan $ x - 1 = p \rightarrow x = p + 1 $
$\begin{align} g(x-1) & = \frac{1}{3x + 1} \\ g(p) & = \frac{1}{3(p+1) + 1} \\ g(p) & = \frac{1}{3p+4} \\ g(x) & = \frac{1}{3x+4} \\ g(f(x)) & = \frac{1}{3f(x)+4} \end{align} $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
$\begin{align} g(f(x)) & = x \\ \frac{1}{3f(x)+4} & = x \\ 3f(x)+4 & = \frac{1}{x} \\ 3f(x) & = \frac{1}{x} - 4 \\ 3f(x) & = \frac{1}{x} - \frac{4x}{x} \\ 3f(x) & = \frac{1 - 4x}{x} \\ f(x) & = \frac{1 - 4x}{3x} \end{align} $
Jadi, fungsi $ f(x) = \frac{1 - 4x}{3x} . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Komposisi SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 552

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ (f \circ g)(x) = 1 - \frac{2}{x-4} $ dan $ f(x) = \frac{1}{x} $ , maka himpunan penyelesaian $ g(x) \leq f(x) $ adalah ...
A). $ \{ x | x < 0 \text{ atau } 2 \leq x \leq 3 \} \, $
B). $ \{ x | x \leq 2 \text{ atau } x \geq 3 \} \, $
C). $ \{ x | 0 < x \leq 2 \text{ atau } 3 \leq x < 6 \} \, $
D). $ \{ x | 2 \leq x < 6 \} \, $
E). $ \{ x | 0 < x \leq 3 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi komposisi pengerjaannya dari kanan ke kiri :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan fungsi $ g(x) $ dengan $ f(x) = \frac{1}{x} $ :
$\begin{align} (f \circ g)(x) & = 1 - \frac{2}{x-4} \\ f(g(x)) & = \frac{x-4}{x-4} - \frac{2}{x-4} \\ \frac{1}{g(x)} & = \frac{x - 6}{x-4} \\ g(x) & = \frac{x - 4}{x-6} \end{align} $
*). Menyelesaikan pertidaksamaan :
$\begin{align} g(x) & \leq f(x) \\ \frac{x - 4}{x-6} & \leq \frac{1}{x} \\ \frac{x - 4}{x-6} - \frac{1}{x} & \leq 0 \\ \frac{x(x - 4)}{x(x-6)} - \frac{x-6}{x(x-6)} & \leq 0 \\ \frac{x^2 - 4x}{x(x-6)} - \frac{x-6}{x(x-6)} & \leq 0 \\ \frac{x^2 - 5x + 6}{x(x-6)} & \leq 0 \\ \frac{(x-2)(x-3)}{x(x-6)} & \leq 0 \end{align} $
Akar-akar pembilangnya : $ x = 2 $ dan $ x = 3 $
Akar-akar penyebutnya : $ x = 0 $ dan $ x = 6 $
Garis bilangannya :
 

HP $ = \{ 0 < x \leq 2 \vee 3 \leq x < 6 \} $
Jadi, penyelesaiannya : $ \{ 0 < x \leq 2 \vee 3 \leq x < 6 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 552

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui grafik fungsi $ f(x) = -x^2 + ax + b $ memotong sumbu X di titik $ (-p-3,0) $ dan titik $ (p,0) $ untuk suatu bilangan prima $ p $. Jika $ p + 3 $ juga merupakan suatu bilangan prima, maka nilai maksimum dari $ f(x) $ adalah ...
A). $ \frac{49}{2} \, $ B). $ \frac{49}{4} \, $ C). $ 10 \, $ D). $ -\frac{49}{4} \, $ E). $ -\frac{49}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akar : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*). Nilai maksimum/minimum fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $
$ f_{maks/min} = \frac{D}{-4a} $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Titik potong sumbu X maka substitusi $ y = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ p $ dan $ p + 3 $ adalah bilangan prima. Agar $ p $ dan $ p+3$ keduanya prima, maka nilai $ p = 2 $.
*). Titik $ (-p-3,0) $ dan titik $ (p,0) $ adalah titik potong fungsi $ f(x) = -x^2 + ax + b $ dengan sumbu X, artinya $ x_1 = -p-3 $ dan $ x_2 = p $ adalah akar-akar dari persamaan $ -x^2 + ax + b = 0 $.
*). Karena nilai $ p = 2 $, maka :
$ x_1 = -p-3 = -2 -3 = -5 $ dan $ x_2 = p = 2 $.
*). Operasi akar-akar pada PK $ \, -x^2 + ax + b = 0 $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ (-5) + 2 & = \frac{-a}{-1} \\ -3 & = a \\ x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ (-5). 2 & = \frac{b}{-1} \\ -10 & = -b \\ 10 & = b \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = -x^2 -3x + 10 $
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ f(x) = -x^2 -3x + 10 $
$\begin{align} f_{maks} & = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} \\ & = \frac{(-3)^2 - 4.(-1).10}{-4.(-1)} \\ & = \frac{9 + 40}{4} = \frac{49}{4} \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ \frac{49}{4} . \, \heartsuit $