Pembahasan Determinan UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ P = \left( \begin{matrix} \cos x & 2\cos x \\ \sin x & \tan x \end{matrix} \right) $ dan $ 0 \leq x \leq \pi $ . Jika $ |P| $ menyatakan determinan P, maka banyaknya $ x $ yang memenuhi $ |P| = 0 $ adalah ...
A). $ 4 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Determinan matriks :
Misalkan matriks : $ P = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Determinan matriks P : $ |P| = ad - bc $
*). Bentuk $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui matriks : $ P = \left( \begin{matrix} \cos x & 2\cos x \\ \sin x & \tan x \end{matrix} \right) $
*). Menentukan determinan matriks $ P $ :
$\begin{align} |P| & = 0 \\ \cos x . \tan x - 2\cos x . \sin x & = 0 \\ \cos x . \frac{\sin x}{\cos x} - 2\cos x . \sin x & = 0 \\ \sin x - 2\cos x . \sin x & = 0 \\ \sin x ( 1 - 2\cos x) & = 0 \\ \sin x = 0 \vee ( 1 - 2\cos x) & = 0 \\ \sin x = 0 \vee \cos x & = \frac{1}{2} \end{align} $
-). Pada interval $ 0 \leq x \leq \pi $ :
$ \sin x = 0 \rightarrow x = 0, x = 180^\circ $
$ \cos x = \frac{1}{2} \rightarrow x = 60^\circ $
Sehingga nilai $ x = \{ 0^\circ, 60^\circ, 180^\circ \} $
yaitu ada 3 nilai $ x $ yang memenuhi.
Jadi, ada 3 nilai $ x $ yang memenuhi $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Turunan UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) = \frac{x^2 + 2x + 5}{x + 1} $ dengan $ x \neq -1 $ mencapai ...
A). maksimum di $ x = 3 $
B). maksimum di $ x = 1 $
C). maksimum di $ x = -3 $
D). minimum di $ x = 0 $
E). minimum di $ x = -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} $
*). Syarat nilai maks/min : $ f^\prime (x) = 0 $
*). Untuk menentukan jenis maks/min bisa menggunakan turunan pertama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = \frac{x^2 + 2x + 5}{x + 1} = \frac{U}{V} \\ U & = x^2 + 2x + 5 \rightarrow U^\prime = 2x + 2 \\ V & = x + 1 \rightarrow V^\prime = 1 \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime }{V^2} \\ & = \frac{(2x+2).(x+1) - (x^2 + 2x + 5).1}{(x+1)^2} \\ & = \frac{(2x^2 + 4x + 2) - (x^2 + 2x + 5)}{(x+1)^2} \\ f^\prime (x) & = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2} \end{align} $
-). Menentukan nilai $ x $ :
$\begin{align} \text{Syarat : } f^\prime (x) & = 0 \\ \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2} & = 0 \\ x^2 + 2x - 3 & = 0 \\ (x+3)(x-1) & = 0 \\ x = -3 \vee x & = 1 \end{align} $
-). Uji turunan pertama :
$ x = -4 \rightarrow f^\prime (-4) = \frac{(-4)^2 + 2.(-4) - 3}{(-4+1)^2} = \frac{5}{9} \, $ (positif)
$ x = 0 \rightarrow f^\prime (0) = \frac{(0)^2 + 2.(0) - 3}{(0+1)^2} = -3 \, $ (negatif)
$ x = 2 \rightarrow f^\prime (2) = \frac{(2)^2 + 2.(2) - 3}{(2+1)^2} = \frac{5}{9} \, $ (positif)
-). Garis bilangannya :
 
Dari gambar, $ f(x) $ minimum saat $ x = 1 $ dan maksimum saat $ x = -3 $ .
Jadi, yang sesuai jawaban C $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)