Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan semua bilangan real $ x > 1 $ yang memenuhi $ \frac{x^2-3x+4}{-x+3}>x $ adalah $ \{x | x \in R , a < x < b \} $ . Nilai $ a + b = ... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Untuk pertidaksamaan pecahan, tidak dikalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui $ x > 1 $ , ini adalah nilai $ x $ sebagai domain yang harus terpenuhi sehingga kita anggap sebagai $ HP_1 = \{ x > 1 \} $
*). Menyelesaikan Pertidaksamaannya :
$\begin{align} \frac{x^2-3x+4}{-x+3} & > x \\ \frac{x^2-3x+4}{-x+3} - x & > 0 \\ \frac{x^2-3x+4}{-x+3} - \frac{x(-x+3)}{-x+3} & > 0 \\ \frac{x^2-3x+4}{-x+3} - \frac{-x^2 + 3x}{-x+3} & > 0 \\ \frac{(x^2-3x+4)-(-x^2 + 3x)}{-x+3} & > 0 \\ \frac{2x^2-6x+4}{-x+3} & > 0 \\ \frac{2(x^2-3x+2)}{-x+3} & > 0 \\ \frac{2(x-1)(x-2)}{-x+3} & > 0 \end{align} $
Akar pembilangnya : $ 2(x-1)(x-2) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = 2 $
Akar penyebutnya : $ -x+3 = 0 \rightarrow x = 3 $
Garis bilangannya :
 

sehingga $ HP_2 = \{ x < 1 \vee 2 < x < 3 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x > 1 \} \cap \{ x < 1 \vee 2 < x < 3 \} \\ & = \{ 2 < x < 3 \} \end{align} $
*). Solusi $ \{ 2 < x < 3 \} $ sama dengan $ \{ a < x < b \} $ , sehingga $ a = 2 $ dan $ b = 3 $.
Nilai $ a + b = 2 + 3 = 5 $
Jadi, nilai $ a + b = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Linier Kuadrat UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ dan $ y $ bilangan real yang memenuhi $ x - y = 1 $ dan $ (x^2 - y^2)(x^2-2xy+y^2) = 3 $ , maka nilai $ xy = ...$
A). $ 1 - \sqrt{2} \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 + \sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan bisa dengan teknik substitusi dan eliminasi
*). Bentuk pemfaktoran :
$ a^2 - b^2 = (a + b)(a-b) $
$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pers(i) : $ x - y = 1 \rightarrow x = y + 1 $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} (x^2 - y^2)(x^2-2xy+y^2) & = 3 \\ (x+y)(x-y)(x-y)^2 & = 3 \\ (x+y)(1)(1)^2 & = 3 \\ x + y & = 3 \\ (y+1) + y & = 3 \\ 2y & = 2 \\ y & = 1 \end{align} $
Pers(i) : $ x = y + 1 = 1 + 1 = 2 $
Sehingga nilai $ xy = 2.1 = 2 $
Jadi, nilai $ xy = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ f(x) = ax^2 + bx + c $ di titik $ (-1,a) $ melalui titik $ (0,3) $. Jika jumlah kuadrat akar-akarnya sama dengan $ 3 $ dan $ a < 0 $, maka $ b = ...$
A). $ -\frac{3}{2} \, $ B). $ -\frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Jika suatu titik dilalui oleh suatu persamaan, maka titik tersebut bisa disubstitusikan ke persamaan tersebut.
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 $
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1, y_1) $ :
$\, \, \, \, \, \, y - y_1 = m(x - x_1 ) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ ( - 1,a) $ ke fungsi kuadrat :
$\begin{align} (x,y) = (-1,a) \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + c \\ a & = a.(-1)^2 + b.(-1) + c \\ a & = a -b + c \\ c & = b \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $ memiliki jumlah kuadrat akar-akarnya sama dengan $ 3 $ :
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = 3 \\ (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 & = 3 \\ (\frac{-b}{a})^2 - 2. \frac{c}{a} & = 3 \\ \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali } a^2 ) \\ b^2 - 2ac & = 3a^2 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Garis singgung kurva $ f(x) = ax^2 + bx + c $ di titik $ (x_1,y_1) = (-1,a) $ melalui titik $ (0,3) $
-). Gradien : $ f^\prime (x) = 2ax + b $
$ m = f^\prime (x_1) = f^\prime (-1) = 2a.(-1) + b = -2a + b $
-). Menyusun persamaan garis singgungnya :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - a & = (-2a+b)(x-(-1)) \\ y - a & = (-2a+b)(x+1) \end{align} $
-). Substitusi titik $ (x,y) = (0,3) $ ke garis :
$\begin{align} y - a & = (-2a+b)(x+1) \\ 3 - a & = (-2a+b)(0+1) \\ 3 - a & = -2a+b \\ b & = a + 3 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) dan (iii) ke pers(ii) :
$\begin{align} b^2 - 2ac & = 3a^2 \\ b^2 - 2ab & = 3a^2 \\ (a+3)^2 - 2a(a+3) & = 3a^2 \\ a^2 + 6a + 9 - 2a^2 - 6a & = 3a^2 \\ 4a^2 - 9 & = 0 \\ (2a + 3)(2a-3) & = 0 \\ a = -\frac{3}{2} \vee a & = \frac{3}{2} \end{align} $
Karena $ a < 0 $ , maka $ a = -\frac{3}{2} $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ b $ dari pers(iii) :
$\begin{align} b & = a + 3 = -\frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a $ dan $ b $ memenuhi sistem persamaan :
$\left\{ \begin{array}{c} \frac{3}{\log a} + \frac{4}{\log b} = 7 \\ -\frac{1}{\log a} + \frac{2}{\log b} = 11 \end{array} \right. $
maka $ {}^a \log \frac{1}{b} + {}^b \log \frac{1}{a} = ... $
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{7}{12} \, $ C). $ 1\frac{1}{6} \, $ D). $ 2\frac{1}{12} \, $ E). $ 2\frac{1}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan bisa menggunakan metode eliminasi dan substitusi
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b $
$ {}^a \log a = 1 $
*). Sifat eksponen : $ (a^n)^m = a^{n.m} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Eliminasi sistem persamaannya :
$\begin{array}{c|c|cc} \frac{3}{\log a} + \frac{4}{\log b} = 7 & \times 1 & \frac{3}{\log a} + \frac{4}{\log b} = 7 & \\ -\frac{1}{\log a} + \frac{2}{\log b} = 11 & \times 3 & -\frac{3}{\log a} + \frac{6}{\log b} = 33 & + \\ \hline & & \frac{10}{\log b} = 40 & \\ & & \log b = \frac{1}{4} & \\ & & b = 10^\frac{1}{4} & \end{array} $
*). Substitusi $ \log b = \frac{1}{4} $ ke pers(i) :
$\begin{align} \frac{3}{\log a} + \frac{4}{\log b} & = 7 \\ \frac{3}{\log a} + \frac{4}{\frac{1}{4}} & = 7 \\ \frac{3}{\log a} + 16 & = 7 \\ \frac{3}{\log a} & = -9 \\ \log a & = -\frac{1}{3} \\ a & = 10^{-\frac{1}{3}} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ {}^a \log \frac{1}{b} + {}^b \log \frac{1}{a}$ :
$\begin{align} & {}^a \log \frac{1}{b} + {}^b \log \frac{1}{a} \\ & = {}^a \log b^{-1} + {}^b \log a^{-1} \\ & = {}^{10^{-\frac{1}{3}}} \log (10^\frac{1}{4})^{-1} + {}^{10^\frac{1}{4}} \log (10^{-\frac{1}{3}})^{-1} \\ & = {}^{10^{-\frac{1}{3}}} \log 10^{-\frac{1}{4}} + {}^{10^\frac{1}{4}} \log 10^{\frac{1}{3}} \\ & = \frac{-\frac{1}{4}}{ -\frac{1}{3} } . {}^{10} \log 10 + \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}} . {}^{10} \log 10 \\ & = \frac{3}{4} . 1 + \frac{4}{3} . 1 \\ & = \frac{3}{4} + \frac{4}{3} \\ & = \frac{9}{12} + \frac{16}{12} = \frac{25}{12} = 2 \frac{1}{12} \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^a \log \frac{1}{b} + {}^b \log \frac{1}{a} = 2\frac{1}{12} . \, \heartsuit $