Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2000 nomor 26 sampai 30


Nomor 26
Hasil kali matriks $ (BA)(B+A^{-1})B^{-1} = .... $
A). $ AB + I $
B). $ BA + I $
C). $ A + B^{-1} $
AD). $ A^{-1} + B $
E). $ AB + A $
$\spadesuit \, $ Konsep perkalian matriks
$ P.P^{-1} = P^{-1}.P = I, \, \, AI=IA=A \, \, $ dan $ PQ \neq QP $
dengan $ I \, $ adalah matriks identitas.
$\spadesuit \, $ Menentukan perkaliannya
$ \begin{align} (BA)(B+A^{-1})B^{-1} & = (BA.B + BA.A^{-1}).B^{-1} \\ & = (BAB + BI).B^{-1} \\ & = (BAB + B).B^{-1} \\ & = BAB.B^{-1} + B.B^{-1} \\ & = BA.I + I \\ & = BA + I \end{align} $
Jadi, diperoleh $ (BA)(B+A^{-1})B^{-1} = BA + I . \heartsuit $
Nomor 27
Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{x+1}{x}, \, x \neq 0 \, $ dan $ f^{-1} \, $ adalah invers $ f . \, $ Jika $ k \, $ adalah banyaknya faktor prima dari 210, maka $ f^{-1} (k) = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep invers : $ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{-dx+b}{cx-a} $
Sehingga invers dari $ f(x) = \frac{x+1}{x} $
$ f(x) = \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x+0} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{0x+1}{x-1} = \frac{1}{x-1} $
diperoleh : $ f^{-1} (x) = \frac{1}{x-1} \rightarrow f^{-1} (k) = \frac{1}{k-1} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ k $
Faktor (pembagi bulat positif) dari 210 :
$ \{ 1, 2, 3, 5, 7, 6, 10, 14, 15, 21, 35, 30, 42, 70, 105, 210 \} $
Sehingga faktor primanya : $ \{ 2,3,5,7 \} $
$ k \, $ adalah banyak faktor prima dari 210, artinya $ k = 4 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ f^{-1} (k) $
$ \begin{align} k = 4 \rightarrow f^{-1} (k) & = \frac{1}{k-1} \\ f^{-1} (4) & = \frac{1}{4-1} \\ f^{-1} (4) & = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, $ k = 4 \, $ , sehingga nilai $ f^{-1} (k) = \frac{1}{3} . \heartsuit $
Nomor 28
Jika $ \left( \begin{matrix} 4^{x+2y} & 0 \\ 2 & 3x-2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 8 & 0 \\ 2 & 7 \end{matrix} \right) , \, $ maka $ x+y = .... $
$\spadesuit \, $ Dari persamaan matriks, diperoleh persamaan
$ 4^{x+2y} = 8 \, $ .....pers(i)
$ 3x-2 = 7 \, $ ......pers(ii)
$\spadesuit \, $ Konsep persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x \, $ dan $ y $
pers(ii) : $ 3x-2 = 7 \rightarrow 3x = 9 \rightarrow x = 3 $
pers(i) dan nilai $ x = 3 $
$\begin{align} 4^{x+2y} & = 8 \\ (2^2)^{3+2y} & = 2^3 \\ 2^{6+4y} & = 2^3 \\ \not{2}^{6+4y} & = \not{2}^3 \\ 6+4y & = 3 \\ 4y & = -3 \\ y & = - \frac{3}{4} \end{align}$
sehingga nilai $ x+ y = 3 +(-\frac{3}{4}) = \frac{12}{4} - \frac{3}{4} = \frac{9}{4} $
Jadi, nilai $ x + y = \frac{9}{4} . \heartsuit $
Nomor 29
Bilangan terdiri dari tiga angka disusun dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9. Banyaknya bilangan dengan angka-angka yang berlainan dan yang lebih kecil dari 400 adalah ....
$\clubsuit \,$ Angka-angka yang berlainan artinya angka yang sudah dipakai tidak boleh digunakan lagi.
$\clubsuit \,$ Menentukan banyak susunan angkanya
Pilihan angka : 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 , artinya ada 6 pilihan angka.
*). Ratusan : agar nilainya kurang dari 400, maka ratusannya harus angka 2 atau 3, yang artinya ada 2 pilihan.
*). Puluhan : Satu angka sudah dipakai untuk ratusan, sehingga puluhannya tersisa 5 pilihan angka.
*). Satuan : untuk satuan menggunakan sisa angka yang ada yaitu 4 pilihan karena dua angka sudah dipakai untuk ratusan dan puluhan.
Sehingga total angka yang terbentuk : $ 2 \times 5 \times 4 = 40 $
Jadi, banyaknya bilangan tiga angka kurang dari 400 adalah 40 angka. $ \heartsuit $
Nomor 30
Pendapatan rata-rata karyawan suatu perusahaan Rp 300.000 per bulan. Jika pendapatan rata-rata karyawan pria Rp 320.000 dan karyawan wanita Rp 285.000, maka perbandingan jumlah karyawan pria dengan karyawan wanita adalah .....
$\spadesuit \, $ Konsep rata-rata gabungan $(\overline{X}_{gb})$
$ \overline{X}_{gb} = \frac{n_p . \overline{X}_p + n_w.\overline{X}_w}{n_p + n_w } $
keterangan :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata-rata gabungan
$ \overline{X}_p = \, $ rata-rata karyawan pria
$ n_p = \, $ banyaknya karyawan pria
Diketahui pada soal :
$ \overline{X}_{gb} = 300.000 , \, \overline{X}_p=320.000, \, \overline{X}_w=285.000 $
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan pria dan wanita $(n_p : n_w)$
$\begin{align} \overline{X}_{gb} & = \frac{n_p . \overline{X}_p + n_w.\overline{X}_w}{n_p + n_w } \\ 300000 & = \frac{n_p . 320000 + n_w.285000}{n_p + n_w } \\ 300000(n_p+n_w) & = 320000n_p + 285000n_w \, \, \, \, \text{(bagi 1000)} \\ 300(n_p+n_w) & = 320n_p + 285n_w \\ 300n_p+300n_w & = 320n_p + 285n_w \\ 300n_w - 285n_w & = 320n_p - 300n_p \\ 15n_w & = 20n_p \\ \frac{15}{20} & = \frac{n_p}{n_w} \\ \frac{3}{4} & = \frac{n_p}{n_w} \end{align}$
Jadi, perbandingan pria dan wanita adalah 3 : 4. $ \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Konsep rata-rata gabungan $(\overline{X}_{gb})$
$ \overline{X}_{gb} = \frac{n_p . \overline{X}_p + n_w.\overline{X}_w}{n_p + n_w } $
dari rumus dasar di atas bisa dimodifikasi menjadi : $ \frac{n_p}{n_w} = \left| \frac{ \overline{X}_{gb} - \overline{X}_w}{\overline{X}_{gb} - \overline{X}_p} \right| $
keterangan :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata-rata gabungan
$ \overline{X}_p = \, $ rata-rata karyawan pria
$ n_p = \, $ banyaknya karyawan pria
Diketahui pada soal :
$ \overline{X}_{gb} = 300.000 , \, \overline{X}_p=320.000, \, \overline{X}_w=285.000 $
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan pria dan wanita $(n_p : n_w)$
$\begin{align} \frac{n_p}{n_w} & = \left| \frac{ \overline{X}_{gb} - \overline{X}_w}{\overline{X}_{gb} - \overline{X}_p} \right| \\ & = \left| \frac{ 300000 - 285000}{300000-320000} \right| \\ & = \left| \frac{ 15000}{-20000} \right| = \frac{ 15000}{20000} = \frac{ 3}{4} \end{align}$
Jadi, perbandingan pria dan wanita adalah 3 : 4. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30