Kode 247 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui sisa pembagian $ xf(x) $ oleh $ (x^2 + 4x - 12 $ adalah $ ax + b $, sisa pembagian $ (x-1)g(x)$ oleh $ (x^2+x-6)$ adalah $ x + 3$, dan sisa pembagian $ f(x) g(x) $ oleh $(x^2 - 8x + 12) $ adalah $ 7x - 13 $ , maka $ 4a^2 + 4ab + b^2 = .... $
A). $ \frac{4}{25} \, $ B). $ \frac{6}{25}\, $ C). $ \frac{8}{25} \, $ D). $ \frac{10}{25} \, $ E). $ \frac{11}{25} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). $ xf(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 + 4x - 12 $ dengan sisa $ s(x) = ax+b $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ xf(x) = (x^2 + 4x - 12).h_1(x) + ax+b $
$ xf(x) = (x-2)(x+6).h_1(x) + ax+b $
Substitusi salah satu akar pembaginya yaitu $ (x-2)(x+6)=0 \rightarrow x = 2 \vee x = -6 $
$ \begin{align} x = 2 \rightarrow xf(x) & = (x-2)(x+6).h_1(x) + (ax+b) \\ 2f(2) & = (2-2)(2+6).h_1(2) + a.2+b \\ 2f(2) & = 2a+b \, \, \, \, \, \, ....(i) \end{align} $
*). $ (x-1)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 + x - 6 $ dengan sisa $ s(x) = x + 3 $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ (x-1)g(x) = (x^2 + x - 6).h_2(x) + (x + 3) $
$ (x-1)g(x) = (x-2)(x+3).h_2(x) + x + 3 $
Substitusi salah satu akar pembaginya yaitu $ (x-2)(x+3)=0 \rightarrow x = 2 \vee x = -3 $
$ \begin{align} x = 2 \rightarrow (x-1)g(x) & = (x-2)(x+3).h_2(x) + x + 3 \\ (2-1)g(2) & = (2-2)(2+3).h_2(2) + 2 + 3 \\ g(2) & = 5 \, \, \, \, \, \, ....(ii) \end{align} $
*). $ f(x)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 - 8x + 12 $ dengan sisa $ s(x) = 7x - 13 $ dan hasil bagi $ h_3(x) $ :
$ f(x)g(x) = (x^2 - 8x + 12).h_3(x) + (7x - 13) $
$ f(x)g(x) = (x-2)(x-6).h_3(x) + (7x - 13) $
Substitusi salah satu akar pembaginya yaitu $ (x-2)(x-6)=0 \rightarrow x = 2 \vee x = 6 $
$ \begin{align} x = 2 \rightarrow f(x)g(x) & = (x-2)(x-6).h_3(x) + (7x - 13) \\ f(2)g(2) & = (2-2)(2-6).h_3(2) + (7.2 - 13) \\ f(2). g(2) & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(dari pers(ii))} \\ f(2). 5 & = 1 \\ f(2) & = \frac{1}{5} \end{align} $
*). Dari pers(i) dan nilai $ f(2) = \frac{1}{5} $
$\begin{align} 2a + b & = 2f(2) \\ 2a + b & = 2. \frac{1}{5} \\ 2a + b & = \frac{2}{5} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (2a + b)^2 & = \left( \frac{2}{5} \right)^2 \\ 4a^2 + 4ab + b^2 & = \frac{4}{25} \end{align} $
Jadi, nilai $ 4a^2 + 4ab + b^2 = \frac{4}{25} . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk mngerjakan soal ini bisa juga menggunakan teorema sisa.



Kode 247 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Pada kubus ABCD.EFGH, titik M terletak pada diagonal BE dengan perbandingan $ EM:MB = 1:3 $ dan N adalah titik tengah rusuk CD. Jika R terletak pada rusuk AB dimana RM sejajar AE, maka $ \sin \angle MNR \, $ adalah .....
A). $ \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{26}} \, $ B). $ \frac{2}{\sqrt{26}} \, $ C). $ \frac{3}{\sqrt{26}} \, $ D). $ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{17}} \, $ E). $ \frac{5}{\sqrt{17}} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
 

Misalkan panjang rusuk kubus adalah 4.
*). Panjang RN pada segitiga RPN :
$ RN = \sqrt{RP^2 + PN^2} = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17} $
*). Panjang MN pada segitiga MNR :
$ MN = \sqrt{MR^2+RN^2} = \sqrt{3^2 + \sqrt{17}^2} = \sqrt{26} $
*). Menentukan nilai $ \sin \angle MNR $ :
$\begin{align} \sin \angle MNR & = \frac{MR}{MN} \\ & = \frac{3}{\sqrt{26}} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \angle MNR = \frac{3}{\sqrt{26}} . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk nilai trigonometri pada kubus, panjang rusuknya bebas kita misalkan dengan suatu angka tertentu karena akan terbentuk perbandingan sehingga tetap bisa disederhanakan. Pilih panjang rusuk yang bisa dihitung dengan mudah saja.