Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah suku ketiga dan ketujuh suatu deret aritmetika adalah 12 dan suku ke sepuluh adalah $ -24 $. Rumus jumlah $ n $ suku pertama tersebut adalah $ S_n = .... $
A). $ 18n - 3n^2 \, $
B). $ 27n - 3n^2 \, $
C). $ 30n - 3n^2 $
D). $ 33n - 3n^2 $
E). $ 66n - 3n^2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
*). RUmus suku ke-$n $ : $ U_n = a + (n-1) b $
*). Rumus $ S_n $ : $ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlah $ U_3 $ dan $ U_7 $ sama dengan 12 :
$\begin{align} U_3 + U_7 & = 12 \\ (a + 2b) + (a + 6b) & = 12 \\ 2a + 8b & = 12 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ a + 4b & = 6 \\ a & = 6 - 4b \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ b $ dari $ U_{10} = -24 $ dan pers(i) :
$\begin{align} U_{10} & = -24 \\ a + 9b & = -24 \\ (6 - 4b) + 9b & = -24 \\ 6 + 5b & = -24 \\ 5b & = -30 \\ b & = -6 \end{align} $
Pers(i): $ a = 6 - 4b = 6 - 4. (-6) = 30 $
*). Menentukan rumus $ S_n $ :
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ & = \frac{n}{2}(2. 30 + (n-1).(-6)) \\ & = \frac{n}{2}(60 -6n + 6) \\ & = \frac{n}{2}(66 -6n ) \\ & = \frac{n}{2}. 66 - \frac{n}{2}. 6n \\ & = 33n - 3n^2 \end{align} $
Jadi, rumus $ S_n = 33n - 3n^2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Umur rata-rata dari suatu kelompok yang terdiri dari guru dan dosen adalah 42 tahun. Jika umur rata-rata para guru 39 tahun dan umur rata-rata pada dosen 47 tahun, maka perbandingan banyaknya guru dan banyaknya dosen adalah ....
A). $ 5 : 3 $
B). $ 5 : 4 $
C). $ 3 : 4 $
D). $ 3 : 5 $
E). $ 3 : 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Perbandingan dua kelompok diketahui rata-ratanya :
$ \, \, \, \, \, \, \frac{n_A}{n_B} = \left| \frac{\overline{X}_{gb} - \overline{X}_B}{\overline{X}_{gb} - \overline{X}_A} \right| $
Keterangan :
$ \overline{X}_{gb}= \, $ rata-rata gabungan,
$ \overline{X}_{A}= \, $ rata-rata kelompok A,
$ \overline{X}_{B}= \, $ rata-rata kelompok B,
$ n_A = \, $ banyak anggota kelompok A,
$ n_B = \, $ banyak anggota kelompok B.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal deketahui :
$ \overline{X}_{gb} = 42, \overline{X}_G = 39 , \overline{X}_D = 47 $.
*). Menentukan nilai $ n_G : n_D $ :
$\begin{align} \frac{n_A}{n_B} & = \left| \frac{\overline{X}_{gb} - \overline{X}_B}{\overline{X}_{gb} - \overline{X}_A} \right| \\ & = \left| \frac{42 - 47}{42 - 39} \right| \\ & = \left| \frac{-5}{3} \right| \\ & = \frac{5}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ n_G : n_D = 5 : 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika A dan B merupakan dua kejadian dengan $ P(A) = \frac{1}{3} $ , $ P(B) = \frac{1}{6} $ dan $ P(A \cup B) = \frac{4}{9} $ , maka kejadian A dan B adalah ....
A). saling lepas
B). saling bebas
C). tidak bebas
D). saling lepas dan tidak bebas
E). tidak dapat ditentukan hubungannya

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Ada dua kejadian A dan B,
-). Rumus Umum :
$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $
-). Syarat saling bebas :
$ P(A \cap B ) = P(A) \times P(B) $
-). Syarat saling lepas :
$ P(A \cup B ) = P(A) + P(B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal deketahui :
$ P(A) = \frac{1}{3} $ , $ P(B) = \frac{1}{6} $ , dan $ P(A \cup B ) = \frac{4}{9} $.
*). Menentukan nilai $ P(A \cap B) $ :
$\begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ \frac{4}{9} & = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} - P(A \cap B) \\ P(A \cap B) & = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{4}{9} = \frac{1}{18} \end{align} $
*). Menentukan nilai lainnya :
$\begin{align} P(A) + P(B) & = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \\ P(A) \times P(B) & = \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18} \end{align} $
*). Dari hasil perhitungan dan yang diketahui di atas, nilai $ P(A \cap B) $ sama dengan nilai $ P(A) \times P(B) $ , artinya kejadian A dan B memenuhi syarat saling bebas.
Jadi, kedua kejadian saling bebas $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Suku pertama dari deret geometri adalah 4 dan jumlah delapan suku pertama sama dengan tujuh belas kali jumlah empat suku pertama. Rasio deret geometri itu sama dengan ....
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri :
*). Rumus $ S_n $ : $ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} $
*). Pemfaktoran :
$ a^{2 \times p} - 1 = (a^p + 1)(a^p - 1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ r $ :
jumlah delapan suku pertama sama dengan tujuh belas kali jumlah empat suku pertama , persamaannya :
$\begin{align} S_8 & = 17 \times S_4 \\ \frac{a(r^8-1)}{r -1} & = 17 \times \frac{a(r^4-1)}{r -1} \\ (r^8-1) & = 17 \times (r^4-1) \\ (r^{2 \times 4} -1) & = 17 \times (r^4-1) \\ (r^4+1) (r^4-1) & = 17 \times (r^4-1) \\ (r^4+1) & = 17 \\ r^4 & = 16 \\ r & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ r = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Operasi Akar UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika akar-akar persamaan $ 2x^2-x-2=0 $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $, maka $ \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} \, $ sama dengan ....
A). $ -\frac{13}{4} \, $ B). $ -\frac{13}{8} \, $ C). $ -\frac{5}{4} \, $ D). $ \frac{5}{8} \, $ E). $ \frac{13}{8} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Kuadrat $ ax^2+bx+c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $.
-). Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Rumus bantu :
$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2) $
$ x_1^3.x_2^3 = (x_1.x_2)^3 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan kuadrat : $ 2x^2-x-2=0 $
Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2} $
$ x_1 . x_2 = \frac{-2}{2} = -1 $
*). Menentukan nilai $ \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} $ :
$\begin{align} \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} & = \frac{x_1^3 + x_2^3}{x_1^3.x_2^3} \\ & = \frac{(x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)}{(x_1.x_2)^3} \\ & = \frac{(\frac{1}{2})^3 - 3.(-1)(\frac{1}{2})}{(-1)^3} \\ & = \frac{\frac{1}{8} + \frac{3}{2}}{-1} = \frac{\frac{1}{8} + \frac{12}{8}}{-1} \\ & = \frac{ \frac{13}{8}}{-1} = -\frac{13}{8} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} = -\frac{13}{8} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Turunan UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Turunan dari $ f(x) = \frac{x^2-7}{x\sqrt{x}} \, $ adalah ....
A). $ \frac{x^2 + 21}{2x^2\sqrt{x}} \, $
B). $ \frac{x^2 + 21}{x^2\sqrt{x}} \, $
C). $ \frac{x^2 - 21}{2x^2\sqrt{x}} \, $
D). $ \frac{x^2}{x^2\sqrt{x} + 21} \, $
E). $ \frac{x^2 + 21}{2x\sqrt{x}} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
*). Sifat-sifat eksponen :
1). $ a^m . a^n = a^{m+n} $
2). $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
3). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n } $
4). $ a^\frac{1}{2} = \sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = \frac{x^2-7}{x\sqrt{x}} $ :
$\begin{align} f(x) & = \frac{x^2-7}{x\sqrt{x}} = \frac{x^2-7}{x. x^\frac{1}{2} } \\ & = \frac{x^2-7}{x^\frac{3}{2}} = \frac{x^2}{x^\frac{3}{2}} - \frac{ 7}{x^\frac{3}{2}} \\ & = x^{2 - \frac{3}{2}} - 7x^{-\frac{3}{2}} \\ f(x) & = x^{\frac{1}{2}} - 7x^{-\frac{3}{2}} \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} - (-\frac{3}{2}) . 7x^{-\frac{3}{2} - 1 } \\ & = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} } + \frac{21}{2} x^{-\frac{5}{2} } \\ & = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} }} + \frac{21}{2x^{\frac{5}{2} } } \\ & = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{21}{2x^2. x^{\frac{1}{2} } } \\ & = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{21}{2x^2\sqrt{x} } \\ & = \frac{x^2}{2 x^2 \sqrt{x}} + \frac{21}{2x^2\sqrt{x} } \\ & = \frac{x^2 + 21}{2 x^2 \sqrt{x}} \end{align} $
Jadi, bentuk $ f^\prime (x) = \frac{x^2 + 21}{2x^2\sqrt{x}} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Fungsi UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Turunan dari $ f(x) = \frac{x^2-7}{x\sqrt{x}} \, $ adalah ....
A). $ \frac{x^2 + 21}{2x^2\sqrt{x}} \, $
B). $ \frac{x^2 + 21}{x^2\sqrt{x}} \, $
C). $ \frac{x^2 - 21}{2x^2\sqrt{x}} \, $
D). $ \frac{x^2}{x^2\sqrt{x} + 21} \, $
E). $ \frac{x^2 + 21}{2x\sqrt{x}} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
*). Turunan bentuk pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime. V - U . V^\prime}{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = \frac{x^2-7}{x\sqrt{x}} $ :
$\begin{align} f(x) & = \frac{x^2-7}{x\sqrt{x}} = \frac{U}{V} \\ U & = x^2 - 7 \rightarrow U^\prime = 2x \\ V & = x\sqrt{x} = x^\frac{3}{2} \rightarrow V^\prime = \frac{3}{2}x^\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\sqrt{x} \\ V & = x\sqrt{x} \rightarrow V^2 = x^2 . \sqrt{x}.\sqrt{x} \\ f(x) & = \frac{U}{V} \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime. V - U . V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2x. x\sqrt{x} - (x^2 - 7). \frac{3}{2}\sqrt{x} }{x^2 . \sqrt{x}. \sqrt{x}} \\ & = \frac{2x^2 - \frac{3}{2}(x^2 - 7)}{x^2\sqrt{x}} \\ & = \frac{2x^2 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{21}{2}}{x^2\sqrt{x}} \\ & = \frac{\frac{1}{2}x^2 + \frac{21}{2}}{x^2\sqrt{x}} \times \frac{2}{2} \\ & = \frac{x^2 + 21}{2x^2\sqrt{x}} \end{align} $
Jadi, bentuk $ f^\prime (x) = \frac{x^2 + 21}{2x^2\sqrt{x}} . \, \heartsuit $