Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan ke-6 adalah 27. Suku ke-2 adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 12 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus Suku ke-$n $ Barisan Geometri :
$ U_n = ar^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ r $ :
$\begin{align} \frac{U_9}{U_6} & = 27 \\ \frac{ar^8}{ar^5} & = 27 \\ r^3 & = 3^3 \\ r & = 3 \end{align} $
*). Menentkan nilai $ a $ :
$\begin{align} U_5 & = 243 \\ ar^4 & = 243 \\ a.3^4 & = 243 \\ a & = \frac{243}{3^4} = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai suku kedua $ (U_2) $ :
$\begin{align} U_2 & = ar = 3. 3= 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_2 = 9 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Aljabar UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ y = \left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^\frac{3}{2} $ , maka $ \frac{dy}{dx} \, $ adalah
A). $ -1 $
B). $ -\frac{3}{2}\sqrt[3]{a^2 - x^2} $
C). $ -\sqrt{\frac{a^2}{x^2} - 1} $
D). $ -\sqrt{\sqrt[3]{\frac{a^2}{x^2}} - 1} $
E). $ -\sqrt{\sqrt[3]{\frac{a^2}{x^2} - 1 }} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan Fungsi :
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n. [f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
$ y = x^n \rightarrow y^\prime = n. x^{n-1} $
*). Sifat-sifat Eksponen :
1). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \, $
2). $ \frac{a^n}{a^n} = (\frac{a}{b})^n $
3). $ a^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a} $
4). $ a^\frac{1}{2} = \sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Simbol $ \frac{dy}{dx} \, $ artinya turunan fungsi $ y = f(x) $ terhadap $ x $ (variabel $ x $ yang diturunkan sehingga aljabar yang lainnya dianggap sebagai konstanta).
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} y & = \left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^\frac{3}{2} = [f(x)]^\frac{3}{2} \\ f(x) & = a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \rightarrow f^\prime (x) = -\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} \\ y & = [f(x)]^\frac{3}{2} \\ y^\prime & = \frac{2}{3} [f(x)]^{\frac{3}{2} - 1} . f^\prime (x) \\ y^\prime & = \frac{3}{2} . \left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2} } . -\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} \\ & = \frac{3}{2} .-\frac{2}{3} . \left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2} } . \frac{1}{x^\frac{1}{3}} \\ & = - \left( \frac{\left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2} } }{ x^\frac{1}{3}} \right) = - \left( \frac{\left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2} } }{ (x^\frac{1}{3})^{2 . \frac{1}{2} }} \right) \\ & = - \left( \frac{\left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2} } }{ (x^\frac{2}{3})^ \frac{1}{2} } \right) = - \left( \frac{ a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} }{ x^\frac{2}{3} } \right)^\frac{1}{2} \\ & = - \left( \frac{ a^\frac{2}{3} }{ x^\frac{2}{3} } - \frac{ x^\frac{2}{3} }{ x^\frac{2}{3} } \right)^\frac{1}{2} = - \left( \frac{ a^\frac{2}{3} }{ x^\frac{2}{3} } - 1 \right)^\frac{1}{2} \\ & = - \left( \left( \frac{ a^2 }{ x^2 } \right)^\frac{1}{3} - 1 \right)^\frac{1}{2} = - \sqrt{ \sqrt[3]{ \frac{ a^2 }{ x^2 } } - 1 } \end{align} $
Jadi, bentuk $ f^\prime (x) = - \left[ 1 + \left( f(x) \right)^2 \right] . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Trigonometri UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} $ dengan $ \cos x + \sin x \neq 0 $, maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ 1 - (f(x))^2 \, $
B). $ -1 + (f(x))^2 \, $
C). $ -(1 + (f(x))^2) \, $
D). $ 1 + (f(x))^2 \, $
E). $ (f(x))^2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan Fungsi Trigonometri :
$ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $
$ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $
*). Turunan Bentuk Pecahan :
$ ^\prime y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime V - U V ^\prime }{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} f(x) & = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{U}{V} \\ U & = \cos x - \sin x \rightarrow U^\prime = -\sin x - \cos x \\ V & = \cos x + \sin x \rightarrow U^\prime = -\sin x + \cos x \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime V - U V ^\prime }{V^2} \\ & = \frac{(-\sin x - \cos x)(\cos x + \sin x) -(\cos x - \sin x)(-\sin x + \cos x) }{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = \frac{-(\sin x + \cos x)(\cos x + \sin x) -(\cos x - \sin x)(\cos x -\sin x ) }{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = \frac{-(\sin x + \cos x)^2 -(\cos x - \sin x)^2 }{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = - \left[ \frac{(\sin x + \cos x)^2 + (\cos x - \sin x)^2 }{(\cos x + \sin x)^2} \right] \\ & = - \left[ \frac{(\sin x + \cos x)^2 }{(\cos x + \sin x)^2} + \frac{(\cos x - \sin x)^2 }{(\cos x + \sin x)^2} \right] \\ & = - \left[ 1 + \left( \frac{(\cos x - \sin x) }{(\cos x + \sin x) } \right)^2 \right] \\ & = - \left[ 1 + \left( f(x) \right)^2 \right] \end{align} $
Jadi, bentuk $ f^\prime (x) = - \left[ 1 + \left( f(x) \right)^2 \right] . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x\cos x} \right) = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 $ D). $ \frac{1}{2} $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Singkat Limit Trigonometri :
$ 1 - \cos A = \frac{1}{2} A^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometri :
$\begin{align} \cos x - 1 & = - ( 1 - \cos x ) \\ & = - \frac{1}{2}x^2 \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x\cos x} \right) & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{\cos x }{x\cos x} - \frac{1}{x\cos x} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{\cos x - 1 }{x\cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{- \frac{1}{2}x^2}{x\cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{- \frac{1}{2}x }{\cos x} \\ & = \frac{- \frac{1}{2} . 0 }{\cos 0 } = \frac{0}{1} = 0 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x\cos x} \right) = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 $ D). $ \frac{1}{2} $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $
*). Rumus Trigonometri :
$ \cos x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometri :
$\begin{align} \cos x - 1 & = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x) - 1 \\ & = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x \\ & = - 2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x\cos x} \right) & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{\cos x }{x\cos x} - \frac{1}{x\cos x} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{\cos x - 1 }{x\cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{- 2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{x\cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, -2 \times \frac{\sin \frac{1}{2} x }{x } \times \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{\cos x} \\ & = -2 \times \frac{\frac{1}{2} }{1 } \times \frac{ \sin ( \frac{1}{2} . 0 ) }{\cos 0} \\ & = -2 \times \frac{1}{2} \times \frac{ 0 }{1} \\ & = -2 \times \frac{1}{2} \times 0 = 0 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM 2006 Matematika Dasar


Nomor 1
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x\cos x} \right) = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 $ D). $ \frac{1}{2} $ E). $ 1 $
Nomor 2
Jika $ f(x) = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} $ dengan $ \cos x + \sin x \neq 0 $, maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ 1 - (f(x))^2 \, $
B). $ -1 + (f(x))^2 \, $
C). $ -(1 + (f(x))^2) \, $
D). $ 1 + (f(x))^2 \, $
E). $ (f(x))^2 $
Nomor 3
Jika $ y = \left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^\frac{3}{2} $ , maka $ \frac{dy}{dx} \, $ adalah
A). $ -1 $
B). $ -\frac{3}{2}\sqrt[3]{a^2 - x^2} $
C). $ -\sqrt{\frac{a^2}{x^2} - 1} $
D). $ -\sqrt{\sqrt[3]{\frac{a^2}{x^2}} - 1} $
E). $ -\sqrt{\sqrt[3]{\frac{a^2}{x^2} - 1 }} $
Nomor 4
Suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan ke-6 adalah 27. Suku ke-2 adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 12 \, $
Nomor 5
Jika fungsi $ y = x^3 - 3x + 3 $ didefinisikan pada $ -\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{5}{2} $ , maka nilai terbesar dari $ y $ adalah .....
A). $ 3 \, $ B). $ 4\frac{1}{8} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 11\frac{1}{8} \, $ E). $ 15\frac{1}{8} \, $

Nomor 6
Nilai $ a $ agar persamaan kuadrat $ x^2 - 8x + 2a = 0 $ mempunyai dua akar yang berlainan dan positif adalah ....
A). $ a > 0 \, $ B). $ a < 8 \, $
C). $ 0 < a < 8 \, $ D). $ a > 8 \, $
E). $ a < 0 \, $
Nomor 7
Diberikan segiempat ABCD seperti pada gambar

Luas segiempat ABCD adalah ....
A). $ 60 + \frac{65}{2}\sqrt{3} \, cm^2 \, $
B). $ 30 + 136\sqrt{3} \, cm^2 \, $
C). $ 30 + 65\sqrt{3} \, cm^2 \, $
D). $ 30 + \frac{65}{2}\sqrt{3} \, cm^2 \, $
E). $ 10 + 130\sqrt{3} \, cm^2 \, $
Nomor 8
Jika $ \{ x \in R | a < x < b \} $ adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ (x-2)^2 + \sqrt{(x-1)^2} < 6 $ , maka nilai $ a + b $ adalah ....
A). $ 4 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -4 \, $
Nomor 9
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{2x-1} - \frac{x^2}{2x+1} \right) = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ 0 $
Nomor 10
Nilai maksimum dari $ 2x + y $ yang memenuhi $ x - y + 3 \geq 0 $ , $ 3x + 2y - 6 \leq 0 $ , $ x \geq 0 $ , $ y \geq 0 $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

Nomor 11
Sumbangan rata-rata warga untuk korban bencana alam adalah Rp40.000,-. Jika sumbangan dari seorang warga bernama Ali digabungkan dalam kelompok warga tersebut, maka sumbangan rata-rata 26 warga sekarang menjadi Rp41.000,-. Hal ini berarti sumbangan Ali sebesar ....
A). Rp 40.000 ,-
B). Rp 57.000 ,-
C). Rp 65.000 ,-
D). Rp 66.000 ,-
E). Rp 92.000 ,-
Nomor 12
DIketahui deret geometri dengan $ U_n = ({}^x \log 3)^n $ , $ x > 0 $ , $ x \neq 1 $. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada, maka $ x $ harus memenuhi syarat ....
A). $ x \leq \frac{1}{3} \, $ atau $ x \geq 3 $
B). $ \frac{1}{3} < x < 3 \, $
C). $ x > 3 \, $ atau $ 0 < x < \frac{1}{3} $
D). $ x \geq 3 \, $ atau $ 0 < x \leq \frac{1}{3} $
E). $ x < \frac{1}{3} \, $ atau $ x > 3 $
Nomor 13
Diketahui deret aritmetika dengan beda 1. Jika jumlah pangkat tiga dari tiga suku pertamanya adalah 18 lebih besar dari 3 kali pangkat tiga dari suku ke-2, maka jumlah tiga suku pertamanya adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 18 $
Nomor 14
Apabila $ x $ dan $ y $ memenuhi persamaan matriks
$ \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right] $
maka $ x + y = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 \, $
Nomor 15
Diketahui kejadian A dan kejadian B adalah dua kejadian yang saling bebas. Jika diketahui $ P(A) = \frac{1}{3} $ dan $ P(A^c \cup B^c) = \frac{7}{9} $ , maka $ P(A^c \cap B^c ) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{9} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ \frac{7}{9} \, $ E). $ 1 \, $

Nomor 16
Bentuk sederhana dari $ \sqrt{ 7 + \sqrt{48}} \, $ adalah ....
A). $ \sqrt{8} + \sqrt{7} \, $
B). $ \sqrt{7} + \sqrt{6} \, $
C). $ \sqrt{6} + 1 \, $
D). $ \sqrt{5} + \sqrt{2} \, $
E). $ \sqrt{4} + \sqrt{3} \, $
Nomor 17
Diberikan $ a $ dan $ b $ bilangan real dengan $ a > 1 $ dan $ b > 1 $. Jika $ ab = a^b $ dan $ \frac{a}{b} = a ^{3b} $ , maka nilai $ a $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 18
Bentuk sederhana dari
$ \frac{\left( x^{-4}y^\frac{2}{3} \right)^{-\frac{1}{2}} \left( x^{-\frac{7}{3}} y^{-1} \right)^\frac{1}{2} }{\left( x^\frac{1}{2} y^3\right)^{-\frac{1}{6}} \left(x^{-\frac{1}{4}} y^{-1} \right)^\frac{1}{3} } $
adalah ....
A). $ y \, $ B). $ x \, $ C). $ xy \, $ D). $ \frac{x}{y} \, $ E). $ \frac{y}{x} \, $
Nomor 19
Persamaan garis yang melalui titik potong garis $ 4x + 7y - 15 = 0 $ dan $ 14y=9x-4 $ serta tegak lurus pada garis $ 21x+5y = 3 $ adalah ....
A). $ 21x - 5y = 3 $
B). $ 11x - 21y = 5 $
C). $ 5x - 21y = -11 $
D). $ 5x + 21y = -11 $
E). $ 5x - 21y = 11 $
Nomor 20
Jika $ x $ memenuhi $ {}^2 \log \, {}^3 \log (x+2) = 1 $ dan $ y $ memenuhi $ ({}^a \log (3y-1))({}^2 \log a ) = 3 $ , maka nilai $ x + y $ adalah ....
A). $ 16 \, $ B). $ 13 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 4 $