Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2007 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Jika $f(x)=\sqrt{x+1} $ dan $g(x)=\frac{1}{x^2-1} $ , maka daerah asal fungsi komposisi $(g \circ f)(x) $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
Daerah asal $g \circ f $ adalah $\{ D_f \cap D_{g\circ f} \} $
$\spadesuit \, $ Menentukan daerah asal $f(x) $ yaitu $D_f$
$f(x)=\sqrt{x+1} \rightarrow D_f = \{ x+1 \geq 0 \} = \{ x \geq -1 \} $
$\spadesuit \, $ Menentukan daerah asal $D_{g\circ f} $
$g\circ f = g(f(x)) = \frac{1}{(\sqrt{x+1})^2 -1} = \frac{1}{x} $
$D_{g\circ f} = \{ x \neq 0 \} $
$\spadesuit \, $ Menentukan daerah asal $g\circ f $
$\{ D_f \cap D_{g\circ f} \} = \{x\geq -1\} \cap \{x \neq 0 \} = \{-1\leq x < 0 \vee x > 0 \} $
Jadi, daerah asal $g\circ f $ adalah $ \{-1\leq x < 0 \vee x > 0 \} . \heartsuit $
Nomor 22
Pada matriks $A = \left( \begin{matrix} 1 & a \\ b & c \end{matrix} \right) $ , jika bilangan positif $1,a,c $ membentuk barisan geometri berjumlah 13 dan bilangan $1,b,c $ membentuk barisan aritmetika, maka det A = ....
$\clubsuit \, $ Barisan geometri : $1,a,c$
Rasio sama : $\frac{a}{1} = \frac{c}{a} \rightarrow c = a^2 $ ...pers(i)
jumlahnya : $1+a+c=13 \rightarrow a+c = 12 $ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika : $1,b,c$
Selisih sama : $ b-1 = c-b \rightarrow 2b = 1 + c $ ...pers(iii)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$a+c = 12 \rightarrow a + a^2 = 12 \rightarrow a^2+a-12=0 $
$(a-3)(a+4)=0 \rightarrow a=3 \vee a =-4 $
yang memenuhi $a=3 $ (yang positif)
$c = a^2 = 3^2 = 9 $
pers(iii) : $2b = 1+c \rightarrow 2b = 1 + 9 \rightarrow b= 5 $
Matriks $A = \left( \begin{matrix} 1 & a \\ b & c \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 5 & 9 \end{matrix} \right) $
Determinan $A $ : $|A| = 1.9 -5.3 = 9 - 15 = -6 $
Jadi, determinan A adalah $ -6 . \heartsuit $
Nomor 23
Jika $U_1,U_2,...,U_7 $ membentuk barisan geometri, $U_3=12 $ dan $\log U_1 + \log U_2 + ... + \log U_7 = 7\log 3 $ , maka $U_5=...$
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $U_n = ar^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk logaritma
$\begin{align} \log U_1 + \log U_2 + ... + \log U_7 & = 7\log 3 \\ \log (U_1.U_2...U_7) & = \log 3^7 \\ U_1.U_2...U_7 & = 3^7 \\ a.(ar).(ar^2)...(ar^6) & = 3^7 \\ a^7r^{21} & = 3^7 \\ (ar^3)^7 & = 3^7 \\ ar^3 & = 3 \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
Suku ketiga : $U_3=12 \rightarrow ar^2 = 12 $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Bagi pers(i) dan pers(ii)
$\frac{ar^3}{ar^2} = \frac{3}{12} \rightarrow r = \frac{1}{4} $
pers(ii) : $ar^2 = 12 \rightarrow a\left( \frac{1}{4} \right)^2 = 12 \rightarrow a = 12 \times 4^2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan suku kelima
$U_5 = ar^4 = 12 \times 4^2 . \left( \frac{1}{4} \right)^4 = \frac{3}{4} $
Jadi, nilai $ U_5 = \frac{3}{4} .\heartsuit $
Nomor 24
Suatu proyek dapat dikerjakan selama $p$ hari, dengan biaya setiap harinya $(4p+\frac{1500}{p}-40) $ juta rupiah. Jika biaya minimum proyek tersebut adalah R juta rupiah, maka R = ....
$\clubsuit \,$ Biaya total
$B = p(4p+\frac{1500}{p}-40) = 4p^2 -40p +1500 $
$B^\prime = 8p-40 $ (turunannya)
$\clubsuit \, $ Biaya minimum : Turunannya = 0
$B^\prime = 0 \rightarrow 8p-40 = 0 \rightarrow p=5 $
$\clubsuit \, $ Biaya minimum (R) saat $p=5 $
$\begin{align} R & = 4p^2 -40p +1500 \\ & = 4.5^2 -40.5 +1500 \\ & = 100 - 200 + 1500 \\ R & = 1400 \end{align}$
Jadi, nilai R = 1400. $\heartsuit $
Nomor 25
Jika $f(x)=\frac{2x+1}{x^2-3} $ , maka turunan pertama dari fungsi $f $ di $-3 $ adalah $f^\prime (-3) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $y=\frac{u}{v} \rightarrow y^\prime = \frac{u^\prime .v - u.v^\prime }{v^2} $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunannya
$f(x)=\frac{2x+1}{x^2-3} $
$u=2x+1 \rightarrow u^\prime = 2 $
$v=x^2-3 \rightarrow v^\prime = 2x $
$f^\prime (x) = \frac{u^\prime .v - u.v^\prime }{v^2} = \frac{2 .(x^2-3) - (2x+1).2x }{(x^2-3)^2} $
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=-3 $ ke turunannya
$f^\prime (-3) = \frac{2 .((-3)^2-3) - (2.(-3)+1).2(-3) }{((-3)^2-3)^2} = \frac{12-30}{36} = \frac{-1}{2} $
Jadi, nilai $ f^\prime (-3) = \frac{-1}{2} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2007 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Tiga siswa dan tiga siswi duduk berjajar pada sebuah bangku. Jika yang menempati pinggir bangku harus siswa, maka banyaknya susunan posisi duduk yang mungkin adalah ....
$\spadesuit \, $ Urutan duduk diperhatikan sehingga pakai permutasi.
$\spadesuit \, $ Tempat pinggir sebelah kiri dan kanan harus diisi oleh pria sehingga kita harus memilih 2 pria dari 3 pria yang ada.
Cara I = $P_2^3 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3.2.1}{1!} = 6 $
$\spadesuit \, $ Sementara untuk 4 tempat duduk yang ditengah diisi oleh 4 orang yang dipilih dari 1 pria tersisa dan 3 wanita.
Cara II = $P_4^4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4.3.2.1}{0!} = 24 $
Sehingga total cara = Cara I $\times $ Cara II = 6 $\times $ 24 = 144 cara
Jadi, banyaknya posisi duduk yang mungkin ada 144 susunan. $ \heartsuit $
Nomor 17
Jumlah semua sudut $\alpha $ , $0 \leq \alpha \leq \frac{1}{2}\pi $ , yang memenuhi $\sin 3\alpha = \cos 2\alpha $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
$\cos x = \sin (\frac{\pi}{2} - x ) \rightarrow \cos 2\alpha = \sin (\frac{\pi}{2} - 2\alpha ) $
$\sin f(x) = \sin \theta \, \, \, $ Solusinya :
1. $f(x) = \theta + k.2\pi $
2. $f(x) = (\pi - \theta) + k.2\pi $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \sin 3\alpha & = \cos 2\alpha \\ \sin 3\alpha & = \sin (\frac{\pi}{2} - 2\alpha ) \\ f(x) = 3\alpha \, \, & \text{dan} \, \, \theta = \frac{\pi}{2} - 2\alpha \end{align}$
Solusinya :
$\begin{align} 1. \, \, f(x) & = \theta + k.2\pi \\ 3\alpha & = \frac{\pi}{2} - 2\alpha + k.2\pi \\ 5\alpha & = \frac{\pi}{2} + k.2\pi \\ \alpha & = \frac{\pi}{10} + \frac{k.2\pi}{5} \\ k = 0 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{10} \\ k = 1 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{10} + \frac{1.2\pi}{5} = \frac{\pi}{2} \\ k = 2 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{10} + \frac{2.2\pi}{5} = \frac{9\pi}{10} \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align}$
$\begin{align} 2. \, \, f(x) & = (\pi - \theta) + k.2\pi \\ 3\alpha & = [\pi - (\frac{\pi}{2} - 2\alpha)] + k.2\pi \\ 3\alpha & = \frac{\pi}{2} + 2\alpha + k.2\pi \\ \alpha & = \frac{\pi}{2} + k.2\pi \\ k = 0 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} \\ k = 1 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} + 1.2\pi = \frac{5\pi}{2} \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align}$
Sehingga solusinya : $ \{ \frac{\pi}{10} , \, \, \frac{\pi}{2} \} $
Jumlah solusinya : $ \frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{2} = \frac{3}{5} \pi $
Jadi, Jumlah solusinya adalah $ \frac{3}{5} \pi. \heartsuit $
Nomor 18
Dalam sebuah ruangan pertemuan terdapat enam pasang suami istri. Jika dipilih dua orang secara acak dari ruangan tersebut, maka peluang terpilihnya dua orang tersebut suami istri adalah ....
$\spadesuit \, $ Ada 6 pasang suami istri, artinya ada 12 orang
Dipilih 2 orang, sehingga $n(S) = C_2^{12} = \frac{12!}{(12-2)!.2!} = 66 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $n(A)$
Harapannya terpilih pasangan suami istri.
karena ada 6 pasang suami istri, maka $n(A) = 6 $
sehingga peluangnya :
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{66} = \frac{1}{11} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{1}{11} . \heartsuit $
Nomor 19
Jika $A = \left( \begin{matrix} 2x+1 & x-1 \\ 3 & x \end{matrix} \right) $ , maka jumlah semua nilai $x $ sehingga det $A $ = 27 adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep determinan
$A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad-bc $
$\clubsuit \,$ Menentukan determinan
$\begin{align} |A| & = 27 \\ (2x+1)(x) - (x-1).3 & = 27 \\ 2x^2 + x - 3x + 3 & = 27 \\ 2x^2 -2x - 24 & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{2} = 1 \end{align}$
Jadi, jumlah semua nilai $x$ adalah 1. $ \heartsuit $
Nomor 20
$\displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = .... $
$\spadesuit \, $ Merasionalkan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} . \frac{(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)^2}{(x-1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } (\sqrt{x}+1)^2 \\ & = (\sqrt{1}+1)^2 = 2^2 = 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = 4. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2007 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika keliling segitiga tersebut adalah 72, maka luasnya adalah ....
$\spadesuit \, $ Misalkan sisinya : $a-b, a, a+b \, \, \, $ (seperti gambar 11a di bawah)
spmb_matdas_4_2007.png
$\begin{align} \text{Keliling} \, \Delta & = 72 \\ (a-b) + a + (a+b) & = 72 \\ 3a & = 72 \rightarrow a = 24 \end{align}$
Substitusi $a=24 $ ke segitiga seperti gambar 11b
$\spadesuit \, $ Teorema Pythagoras pada segitiga
$\begin{align} (24+b)^2 & = 24^2 + (24-b)^2 \\ (24+b)^2 - (24-b)^2 & = 24\times 24 \\ [(24+b)-(24-b)][(24+b)+(24-b)] & = 24\times 24 \\ 2b \times 48 & = 24\times 24 \rightarrow b = 8 \end{align}$
Sehingga : tinggi = 24 dan alas = 24 - b = 24 - 6 = 18
Luas $\Delta = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.18.24 = 216 $
Jadi, luas segitiganya adalah 216. $ \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Triple pythagoras yang membentuk barisan aritmetika : 3, 4, 5
spmb_matdas_4a_2007.png
$\begin{align} \text{Keliling} \, \Delta & = 72 \\ 3x+4x+5x & = 72 \\ 12x & = 72 \rightarrow x = 6 \end{align}$
Sehingga : tinggi = $4x=4.6=24 \, \, $ dan alas = $3x=3.6 = 18 $
Luas $\Delta = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.18.24 = 216 $
Jadi, luas segitiganya adalah 216. $ \heartsuit $
Nomor 12
Untuk membuat barang A diperlukan 6 jam kerja mesin I dan 4 jam kerja mesin II. Sedangkan untuk barang B diperlukan 4 jam kerja mesin I dan 8 jam kerja mesin II. Setiap hari kedua mesin tersebut bekerja tidak lebih dari 18 jam. Jika setiap hari dapat dihasilkan $x$ barang A dan $y$ barang B, maka model matematikanya adalah ....
$\clubsuit \, $ Tabelnya
spmb_matdas_5_2007.png
$\clubsuit \, $ Model matematikanya
$6x+4y \leq 18 \rightarrow 3x+2y \leq 9 $
$4x+8y \leq 18 \rightarrow 2x+4y \leq 9 $
$x \geq 0 , y \geq 0 $
Jadi, modelnya : $ 3x+2y \leq 9 , 2x+4y \leq 9 , x \geq 0 , y \geq 0 . \heartsuit $
Nomor 13
Jika invers dari $A = \left( \begin{matrix} a & 1+a \\ 0 & a \end{matrix} \right) $ adalah $A^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $ , maka konstanta $b$ adalah ....
$\spadesuit \, $ Sifat invers matriks : $(A^{-1})^{-1} = A $
Invers matriks $A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right)$
$\begin{align} (A^{-1})^{-1} & = A \\ \left( \begin{matrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)^{-1} & = \left( \begin{matrix} a & 1+a \\ 0 & a \end{matrix} \right) \\ \frac{1}{1.1-0.b} \left( \begin{matrix} 1 & -b \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & 1+a \\ 0 & a \end{matrix} \right) \\ \frac{1}{1}\left( \begin{matrix} 1 & -b \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & 1+a \\ 0 & a \end{matrix} \right) \\ a & =1 \\ -b & = 1 + a \\ -b & = 1 + 1 \rightarrow b =-2 \end{align}$
Jadi, nilai $ b = -2 . \heartsuit $
Nomor 14
Jika data $2,a,a,3,4,6 $ mempunyai rataan $c $ . Dan data $2,c,c,4,6,2,1 $ mempunyai rataan $2a$ , maka nilai $c$ adalah ....
$\clubsuit \,$ Rataan pertama
$\begin{align} \frac{2+a+a+3+4+6}{6} & = c \\ 2a + 15 & = 6c \\ 2a - 6c & = -15 \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Rataan kedua
$\begin{align} \frac{2+c+c+4+6+2+1}{7} & = 2a \\ 2c + 15 & = 14a \\ 14a - 2c & = 15 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 2a - 6c = -15 & \times 7 & 14a - 42c = -105 & \\ 14a - 2c = 15 & \times 1 & 14a - 2c = 15 & - \\ \hline & & -40c = -120 \rightarrow c=3 & \end{array} $
Jadi, nilai $ c=3. \heartsuit $
Nomor 15
Dalam $\Delta$ABC , jika D pada AB sehingga CD$\bot \, $AB, BC = $a$ , $\angle$CAB = 60$^\circ$ , $\angle$ABC = 45$^\circ$ maka AD = ....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_6_2007.png
$\spadesuit \, $ Segitiga BCD
$\begin{align} \sin CBD & = \frac{CD}{BC} \\ CD & = BC . \sin CBD \\ CD & = a . \sin 45^\circ = a. \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{1}{2} a \sqrt{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Segitiga ACD
$\begin{align} \tan CAD & = \frac{CD}{AD} \\ AD & = \frac{CD}{\tan CAD} \\ AD & = \frac{\frac{1}{2} a \sqrt{2}}{\tan 60^\circ } = \frac{\frac{1}{2} a \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{6} a \sqrt{6} \\ \end{align}$
Jadi, panjang $ AD = \frac{1}{6} a \sqrt{6} .\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2007 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Agung mempunyai satu bundel tiket piala dunia untuk dijual. Pada hari pertama terjual sepuluh lembar tiket, hari kedua terjual setengah dari tiket yang tersisa, dan pada hari ketiga terjual 5 lembar tiket. Jika tersisa 2 lembar tiket, maka banyaknya tiket dalam satu bundel adalah ....
$\spadesuit \, $ Jumlah awal tiket dalam satu bundel sebanyak $x$
Hari I : terjual 10 tiket
Sisa I = $x-10$
Hari II : terjual setengah
Sisa II = $\frac{1}{2}(x-10) $
Hari III : terjual 5 tiket
Sisa III = $\frac{1}{2}(x-10) - 5 = \frac{1}{2}x - 10 $
$\spadesuit \, $ Sisa tiket di hari III adalah 2
$\begin{align} \text{Sisa III} \, & = 2 \\ \frac{1}{2}x - 10 & = 2 \\ \frac{1}{2}x & = 12 \\ x & = 24 \end{align}$
Jadi, banyak tiket dalam satu bundel sebanyak 24 buah. $ \heartsuit $
Nomor 7
Jika ($a,b,c$) adalah solusi sistem persamaan linear :
$\left\{ \begin{array}{c} x+y+2z=9 \\ 2x+4y-3z=1 \\ 3x+6y-5z=0 \end{array} \right. $
Maka $a+b+c = ....$
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} x+y+2z=9 & \text{kali 2} & 2x+2y+4z=18 & \\ 2x+4y-3z=1 & \text{kali 1} & 2x+4y-3z=1 & - \\ \hline & & -2y+7z=17 & (iv) \end{array}$
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(iii)
$\begin{array}{c|c|cc} x+y+2z=9 & \text{kali 3} & 3x+3y+6z=27 & \\ 3x+6y-5z=0 & \text{kali 1} & 3x+6y-5z=0 & - \\ \hline & & -3y+11z=27 & (v) \end{array}$
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(iv) dan pers(v)
$\begin{array}{c|c|cc} -2y+7z=17 & \text{kali 3} & -6y+21z=51 & \\ -3y+11z=27 & \text{kali 2} & -6y+22z=54 & - \\ \hline & & z=3 & \end{array}$
$\clubsuit \, $ pers(iv)
$ -2y+7z=17 \rightarrow -2y+7.(3)=17 \rightarrow y = 1 $
$\clubsuit \, $ pers(i)
$ x+y+2z=9 \rightarrow x+1+2.(3)=9 \rightarrow x = 2 $
sehingga : $a=x=2,b=y=1,c=z=3 \rightarrow a+b+c= 2+1+3 = 6 $
Jadi, nilai $ a+b+c = 6. \heartsuit$
Nomor 8
Solusi pertaksamaan $\frac{(x-2)(x^2+x-6)}{x^2+x-20} > 0 $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan akar-akarnya
$\begin{align*} \frac{(x-2)(x^2+x-6)}{x^2+x-20} & > 0 \\ \frac{(x-2)(x-2)(x+3)}{(x-4)(x+5)} & > 0 \\ x=2, x=-3, x & = 4, x=-5 \end{align*}$
spmb_matdas_2_2007.png
Jadi, $HP = \{-5< x < -3 \vee x > 4 \} \heartsuit$
Nomor 9
Solusi pertaksamaan $\frac{2x^2+x-3}{6x^2+x-1} < 0 $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akarnya
$\begin{align*} \frac{2x^2+x-3}{6x^2+x-1} & < 0 \\ \frac{(2x+3)(x-1)}{(2x+1)(3x-1)} & < 0 \\ x=-\frac{3}{2}, x=1, x & = -\frac{1}{2}, x=\frac{1}{3} \end{align*}$
spmb_matdas_3_2007.png
Jadi, $HP = \{-\frac{3}{2} < x < -\frac{1}{2} \vee \frac{1}{3} < x < 1 \} \heartsuit$
Nomor 10
Suku ke-$n$ suatu barisan geometri adalah $U_n $ . Jika $U_1 = k, \, U_2=3k, \, \, $ dan $U_3=8k+4 , \, $ maka $ U_5=....$
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : Rasio sama
$\begin{align} \frac{U_2}{U_1} & = \frac{U_3}{U_2} \\ \frac{3k}{k} & = \frac{8k+4}{3k} \\ 3 & = \frac{8k+4}{3k} \\ 9k & = 8k + 4 \\ k & = 4 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $k=4 $ ke barisannnya, menjadi :
Barisannya : 4, 12, 36 $\rightarrow r = \frac{12}{4} = 3 $
$\spadesuit \, $ Menentukan suku kelima
$U_5 = ar^4 = 4. (3)^4 = 4.81 = 324 $
Jadi, nilai $U_5 = 324. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2007


Nomor 1
Jika $a > 0 $ dan $a\neq 1 $ memenuhi $a^{\sqrt[3]{4}} = \left( \frac{1}{a} \right)^{-b} $ , maka ${}^2 \log b = ....$
$\clubsuit \, $ Konsep dasar : $a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\begin{align} a^{\sqrt[3]{4}} & = \left( \frac{1}{a} \right)^{-b} \\ a^{\sqrt[3]{4}} & = \left( a^{-1} \right)^{-b} \\ \not{a}^{\sqrt[3]{4}} & = \not{a}^b \\ b & = \sqrt[3]{4} \\ b & = (4)^\frac{1}{3} = (2^2)^\frac{1}{3} = 2^\frac{2}{3} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai ${}^2 \log b $
$\begin{align} {}^2 \log b & = {}^2 \log 2^\frac{2}{3} \\ & = \frac{2}{3} . {}^2 \log 2 \\ & = \frac{2}{3} . 1 = \frac{2}{3} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^2 \log b = \frac{2}{3} . \heartsuit $
Nomor 2
Sebuah bilangan dikalikan 2, kemudian dikurangi 16 dan setelah itu dikalikan bilangan semula. Jika hasil akhirnya adalah $P $ , maka nilai minimum dari $P $ tercapai bilamana bilangan semula adalah ....
$\spadesuit \, $ Misalkan bilangan awalnya $x$
Dikali 2 : $2x$
dikurangi 16 : $2x-16$
dikali semula : $(2x-16)x$
Hasil akhirnya $P$ , sehingga : $P= (2x-16)x = 2x^2 - 16x $
$\spadesuit \, $ Nilai minimum $P$ saat $P^\prime = 0 $ (turunannya = 0 )
$P = 2x^2 - 16x \rightarrow P^\prime = 4x-16 $
$P^\prime = 0 \rightarrow 4x-16 = 0 \rightarrow x=4 $
Jadi, bilangan semula adalah 4. $ \heartsuit $
Nomor 3
Persamaan kuadrat $4x^2+p=-1 $ , mempunyai akar $x_1 $ dan $x_2 $ . Jika $x_1 = \frac{1}{2} $ , maka $p(x_1^2+x_2^2) = .... $
$\clubsuit \, $ Substitusi $x_1 = \frac{1}{2} $ ke persamaan kuadrat
$4x^2+p=-1 \rightarrow 4 \left( \frac{1}{2} \right)^2+p=-1 \rightarrow p=-2 $
$\clubsuit \, $ Substitusi $p=-2 $ ke persamaan kuadrat
$\begin{align*} 4x^2+p & = -1 \\ 4x^2+(-2) & = -1 \\ 4x^2 & = 1 \\ x^2 & = \frac{1}{4} \rightarrow x = \pm \frac{1}{2} \\ x_1 = \frac{1}{2} & \vee x_2 = -\frac{1}{2} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Nilai $p(x_1^2+x_2^2)$
$\begin{align*} p(x_1^2+x_2^2) & = (-2)\left(\left( \frac{1}{2} \right)^2+\left( -\frac{1}{2} \right)^2\right) \\ & = -2. \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) = -1 \end{align*}$
Jadi, nilai $ p(x_1^2+x_2^2) = -1. \heartsuit $
Nomor 4
Jika $x_1 $ dan $x_2 $ adalah akar-akar persamaan $(5-2\log x ) \log x = \log 1000 $ , maka $x_1^2+x_2^2 = .... $
$\spadesuit \, $ Misalkan $p=\log x $
$\begin{align} (5-2\log x ) \log x & = \log 1000 \\ (5-2p)p & = 3 \\ 5p-2p^2 & = 3 \\ 2p^2 - 5p +3 & = 0 \\ (2p-3)(p-1) & = 0 \\ p=\frac{3}{2} & \vee p = 1 \\ p=\frac{3}{2} \rightarrow & \log x = \frac{3}{2} \rightarrow x_1 = 10^\frac{3}{2} \\ p=1 \rightarrow & \log x = 1 \rightarrow x_2 = 10^1 = 10 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x_1^2+x_2^2 $
$\begin{align} x_1^2+x_2^2 & = \left( 10^\frac{3}{2} \right)^2 + 10^2 \\ & = 10^3 + 10^2 \\ & = 1000+100 = 1100 \end{align}$
Jadi, nilai $x_1^2+x_2^2 = 1100. \heartsuit $
Nomor 5
Fungsi kuadrat $y= ax^2+x+a $ definit negatif untuk konstanta $a $ yang memenuhi ....
$\clubsuit \, $ Syarat definit negatif : $a < 0 $ dan $ D < 0 $ dengan $D=b^2-4ac $
$y= ax^2+x+a $
Syarat I : $ a < 0 \rightarrow HP_1 = \{ a < 0 \} $
Syarat II : $ D < 0 \rightarrow b^2-4ac < 0 $
$\begin{align*} b^2-4ac & < 0 \\ 1^2-4.a.a & < 0 \\ 1-4a^2 & < 0 \\ (1-2a)(1+2a) & < 0 \\ a = \frac{1}{2} & \vee a = -\frac{1}{2} \end{align*}$
spmb_matdas_1_2007.png
$HP_2 = \{a < -\frac{1}{2} \vee a > \frac{1}{2} \} $
Sehingga solusinya : $HP = HP_1 \cap HP_2 = \{ a < -\frac{1}{2} \} $
Jadi, nilai $a$ memenuhi $ \{ a < -\frac{1}{2} \}. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25