Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $ mencapai minimum di $ x = 0 $ dan grafik fungsi $ f $ melalui titik $ (0,2) $ dan $ (1,8) $ , maka nilai $ a + b + 2c = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 8 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 16 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi Kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ mencapai maksimum atau minimum pada saat $ x = \frac{-b}{2a} $
*). Titik-titik yang dilalui oleh suatu kurva bisa kita substitusikan ke fungsi kurva tersebut.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ mencapai minimum di $ x = 0 $ :
$\begin{align} x & = 0 \rightarrow \frac{-b}{2a} = 0 \rightarrow b = 0 \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = ax^2 + c $
*). Substitusikan titik yang dilalui oleh fungsi :
$\begin{align} (x,y)=(0,2) \rightarrow f(x) & = ax^2 + c \\ 2 & = a.0^2 + c \\ c & = 2 \\ \text{Sehingga } f(x) & = ax^2 + 2 \\ (x,y)=(1,8) \rightarrow f(x) & = ax^2 + 2 \\ 8 & = a.1^2 + 2 \\ a & = 6 \end{align} $
Kita peroleh : $ a = 6, b = 0 , c = 2 $
Nilai $ a + b + 2c = 6 + 0 + 2.2 = 10 $
Jadi, nilai $ a + b + 2c = 10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi $ \frac{2x+3y+2}{x+y} = 2 $ dan $ \frac{3x-y+1}{4x+5y}= 6 $ , maka $ x - y = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan bisa dengan teknik substitusi dan eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan persamaannya :
Persamaan pertama :
$\begin{align} \frac{2x+3y+2}{x+y} & = 2 \\ 2x+3y+2 & = 2(x+y) \\ 2x+3y+2 & = 2x + 2y \\ y & = -2 \end{align} $
Persamaan kedua, substitusi $ y = -2 $ :
$\begin{align} \frac{3x-y+1}{4x+5y} & = 6 \\ 3x-y+1 & = 6(4x+5y) \\ 3x-y+1 & = 24x+30y \\ 3x-(-2)+1 & = 24x+30(-2) \\ 3x + 3 & = 24x - 60 \\ -21x & = - 63 \\ x & = 3 \end{align} $
Sehingga nilai $ x - y = 3 - (-2) = 5 $.
Jadi, nilai $ x - y = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Garis UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan garis yang melalui titik potong garis $ 2x + 2y - 4 = 0 $ dan $ x - 2y - 5 = 0 $ dan tegak lurus pada garis $ 12x + 6y - 3 = 0 $ adalah $ x + by + c = 0 $. Nilai $ b + c \, $ adalah .....
A). $ -7 \, $ B). $ -3\frac{1}{2} \, $ C). $1\frac{1}{2} \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis lurus melalui titik $(x_1,y_1) $ :
$ \, \, \, \, y - y_1 = m(x - x_1) $
dengan $ m $ adalah gradien garisnya.
*). Gradien garis $ ax + by + c = 0 \, $ adalah $ m = \frac{-a}{b} $
*). Syarat dua garis tegak lurus yaitu perkalian kedua gradiennya $ - 1 $ atau bisa ditulis $ m_1.m_2 = -1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik potong :
$\begin{array}{cc} 2x + 2y - 4 = 0 & \\ x - 2y - 5 = 0 & + \\ \hline 3x - 9 = 0 & \\ x = 3 & \end{array} $
Pers(ii): $ x - 2y - 5 == 0 \rightarrow 3 - 2y - 5 = 0 \rightarrow y = -1 $
Sehingga tiik potongnya adalah $ (3,-1) $ .
*). Menentukan gradien :
$ 12x + 6y - 3 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-a}{b} = \frac{-12}{6} = -2 $
Garis yang kita cari tegak lurus dengan garis $ 12x + 6y - 3 = 0 $, sehingga :
$\begin{align} m_1.m_2 & = -1 \rightarrow (-2).m_2 = -1 \rightarrow m_2 = \frac{1}{2} \end{align} $
*). PGL melalui titik $ (x_1,y_1) = (3,-1) $ dan $ m = \frac{1}{2} $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - (-1) & = \frac{1}{2}(x - 3) \\ y + 1 & = \frac{1}{2}(x - 3) \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2 y + 2 & = x - 3 \\ x - 2y - 5 & = 0 \end{align} $
Bentuk $ x - 2y - 5 = 0 $ sama dengan $ x + by + c = 0 $ sehingga $ b = -2 $ dan $ c = -5 $.
Nilai $ b + c = -2 + (-5) = -7 $.
Jadi, nilai $ b + c = -7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Penyelesaian persamaan $ 3^{2x+2} + 8.3^x - 1 = 0 $ terletak pada interval ....
A). $ \left[ -\frac{1}{2}, 0 \right] $
B). $ \left[2, 0 \right] $
C). $ \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right] $
D). $ \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] $
E). $ \left[ 1, 2 \right] $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Eksponen :
1). $ a ^{m+n} = a^m.a^n $
2). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Interval $ [a,b] $ sama saja dengan $ a \leq x \leq b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 3^x $ :
$\begin{align} 3^{2x+2} + 8.3^x - 1 & = 0 \\ 3^{2x}. 3^2 + 8.3^x - 1 & = 0 \\ (3^x)^2. 9 + 8.3^x - 1 & = 0 \\ 9p^2 + 8p - 1 & = 0 \\ (9p-1)(p+1) & = 0 \\ p = \frac{1}{9} \vee p & = -1 \\ p = \frac{1}{9} \rightarrow 3^x & = 3^{-2} \rightarrow x = -2 \\ p = -1 \rightarrow 3^x & = -1 \, \text{(tidak memenhi)} \end{align} $
sehingga solusi persamaannya adalah $ x = - 2 $ yang ada pada interval $ [-2,0] $.
Jadi, solusinya pada interval $ [-2,0] . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^3 \log 8 = x \, $ dan $ {}^3 \log 25 = y $ , maka $ {}^3 \log 15\sqrt[3]{16} = .... $
A). $ 9x + 8y + 18 \, $
B). $ \frac{9x + 8y + 18}{18} \, $
C). $ 8x + 9y + 18 \, $
D). $\frac{ 8x + 9y + 18 }{18} \, $
E). $ \frac{2x+3y+5}{7} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
1). $ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
2). $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} $
Contoh :
$ \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = 2^\frac{4}{3} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal yang diketahui :
$\begin{align} {}^3 \log 8 = x \rightarrow {}^3 \log 2^3 & = x \\ 3. {}^3 \log 2 & = x \\ {}^3 \log 2 & = \frac{x}{3} \\ {}^3 \log 25 = y \rightarrow {}^3 \log 5^2 & = y \\ 2.{}^3 \log 5 & = y \\ {}^3 \log 5 & = \frac{y}{2} \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & {}^3 \log 15\sqrt[3]{16} \\ & = {}^3 \log 3.5.2^\frac{4}{3} \\ & = {}^3 \log 3 + {}^3 \log 5 + {}^3 \log 2^\frac{4}{3} \\ & = 1 + \frac{y}{2} + \frac{4}{3}. {}^3 \log 2 \\ & = 1 + \frac{y}{2} + \frac{4}{3}. \frac{x}{3} \\ & = 1 + \frac{y}{2} + \frac{4x}{9} \\ & = \frac{18}{18} + \frac{9y}{18} + \frac{8x}{18} \\ & = \frac{8x+9y+18}{18} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{8x+9y+18}{18} . \, \heartsuit $