Kode 371 Pembahasan Sistem Persamaan Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $(x, y)$ adalah salah satu solusi sistem persamaan $ x^2 + y^2 - 16x + 39 = 0, \, x^2 - y^2 - 9 = 0 $ maka $ x + y = .... $
A). 9 B). 6
C). 5 D). $ -1 $
E). $ -3$

$\spadesuit $ Konsep Dasar Sistem Persamaan
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, ada beberapa cara yaitu teknik substitusi, eliminasi, atau teknik gabungan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ x^2 + y^2 - 16x + 39 = 0 \, $ ....pers(i)
$ x^2 - y^2 - 9 = 0 \rightarrow y^2 = x^2 - 9 \, $ ....pers(ii)
*). Substitusikan pers(ii) ke pers(i) :
$ \begin{align} x^2 + y^2 - 16x + 39 & = 0 \\ x^2 + (x^2 - 9) - 16x + 39 & = 0 \\ 2x^2 - 16x + 30 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 - 8x + 15 & = 0 \\ (x - 3)(x-5) & = 0 \\ x = 3 \vee x & = 5 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ x = 3 \, $ dan $ x = 5 \, $ ke pers(ii) dan
menentukan nilai $ x + y $ :
$ \begin{align} x = 5 \rightarrow y^2 & = x^2 - 9 \\ y^2 & = 5^2 - 9 \\ y^2 & = 25 - 9 \\ y^2 & = 16 \\ y & = \pm \sqrt{16} \\ y & = \pm 4 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ x + y = 5 + 4 = 9 \, $ atau $ x + y = 5 + (-4) = 1 $
$ \begin{align} x = 3 \rightarrow y^2 & = x^2 - 9 \\ y^2 & = 3^2 - 9 \\ y^2 & = 9 - 9 \\ y^2 & = 0 \\ y & = \pm \sqrt{0} \\ y & = 0 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ x + y = 3 + 0 = 3 $
Sehingga nilai $ x + y \, $ adalah $ \{ 1, \, 3, \, 9 \} $.
Jadi, nilai $ x + y \, $ adalah $ 9 \, $ yang ada dipilihan gandanya . $ \, \heartsuit $



Kode 371 Pembahasan Fungsi Kuadrat Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui parabola $ y = x^2 - 4x +6 $ dipotong oleh garis $ l $ di dua titik berbeda. Jika garis $ l $ melalui titik $(3, 2)$ dan mempunyai gradien $m$, maka . . .
A). $ -4 < m < 0 \, $ B). $ 0 < m < 4 \, $
C). $ m < 0 \vee m > 4 \, $ D). $ m < 1 \vee m > 4 \, $
E). $ m < -4 \vee m > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Parabola dan garis lurus
*). Syarat garis dan parabola berpotongan adalah $ D > 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.
Dimana nilai $ a, \, b \, $ dan $ c \, $ diperoleh dari $ ax^2 + bx + c = 0 $.
*). Persamaan garis lurus dengan gradien $ m $ adalah $ y = mx + c $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan garis $ l $ :
Garis $ l $ melalui titik $(3,2) $, substitusi titik tersebut ke persamaan umum garis :
$ \begin{align} (x,y) = (3,2) \rightarrow y & = mx + c \\ 2 & = m.3 + c \\ 2 & =3m + c \\ c & = 2 - 3m \end{align} $
Sehingga persamaan garis $ l $ :
$ y = mx + c \rightarrow y = mx + (2 - 3m) $.
*). Kita samakan persamaan garis dan parabola
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 4x + 6 & = mx + 2 -3m \\ x^2 -4x + 6 - mx - 2 + 3m & = 0 \\ x^2 - ( m+4)x + (3m + 4) & = 0 \end{align} $
Kita peroleh : $ a = 1, \, b = -(m+4) \, $ dan $ c = 3m + 4 $.
*). Syarat berpotongan dua titik berbeda : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ [-(m+4)]^2 - 4.1.(3m+4) & > 0 \\ m^2 + 8m + 16 - 12m - 16 & > 0 \\ m^2 - 4m & > 0 \\ m(m-4) & = 0 \\ m = 0 \vee m & = 4 \end{align} $
gambar garis bilangannya :

Sehingga solusinya :
$ \{ m < 0 \vee m > 4\} $.
Jadi, solusinya adalah $ \{ m < 0 \vee m > 4\} . \, \heartsuit $