Nomor 11
Jika A=(abc−112),B=(22−1140) ,
dan AB=(315−1), maka nilai a+c adalah ...
♠ Menentukan perkaliannya
AB=(315−1)(abc−112)(22−1140)=(315−1)(2a−b+4c2a+b5−1)=(315−1)diperoleh persamaan2a−b+4c=3....pers(i)2a+b=1....pers(ii)
♠ Jumlahkan kedua persamaan
2a−b+4c=32a+b=1+4a+4c=4a+c=1
Jadi, nilai a+c=1.♡
AB=(315−1)(abc−112)(22−1140)=(315−1)(2a−b+4c2a+b5−1)=(315−1)diperoleh persamaan2a−b+4c=3....pers(i)2a+b=1....pers(ii)
♠ Jumlahkan kedua persamaan
2a−b+4c=32a+b=1+4a+4c=4a+c=1
Jadi, nilai a+c=1.♡
Nomor 12
Diketahui a,b, dan c berturut-turut adalah suku ke-2, ke-4, dan ke-6 suatu barisan aritmetika. Jika a+b+cb+1=4,
maka nilai b adalah .....
♣u2=a,u4=b, dan u6=c barisan aritmatika .
Suatu barisan aritmetika yang berurutan (contoh : u1,u2,u3 atau u3,u4,u5 atau u1,u3,u5 atau u2,u4,u6) pasti mempunyai selisih yang sama.
*). selisih sama : b−a=c−b⇒a+c=2b ...pers(i)
*). dari soal diketahui juga : a+b+cb+1=4 ...per(ii)
♣ Substiutusi pers(i) ke pers(ii)
a+b+cb+1=4(a+c)+bb+1=4(posisi b dan c ditukar)(2b)+bb+1=43bb+1=43b=4b+4b=−4
Sehingga nilai b=−4
Jadi, nilai b=−4.♡
Suatu barisan aritmetika yang berurutan (contoh : u1,u2,u3 atau u3,u4,u5 atau u1,u3,u5 atau u2,u4,u6) pasti mempunyai selisih yang sama.
*). selisih sama : b−a=c−b⇒a+c=2b ...pers(i)
*). dari soal diketahui juga : a+b+cb+1=4 ...per(ii)
♣ Substiutusi pers(i) ke pers(ii)
a+b+cb+1=4(a+c)+bb+1=4(posisi b dan c ditukar)(2b)+bb+1=43bb+1=43b=4b+4b=−4
Sehingga nilai b=−4
Jadi, nilai b=−4.♡
Nomor 13
Diketahui deret geometri tak hingga u1+u2+u3+... . Jika rasio deret tersebut adalah r dengan −1<r<1 ,
u2+u4+u6...=4 , dan u2+u4=154 , maka nilai r adalah ...
♠ Rumus dasar :
Jumlah geometri tak hingga genap : S∞(genap)=ar1−r2
Suku ke-n : Un=arn−1
♠ Menyederhanakan bentuk u2+u4+u6...=4
u2+u4+u6...=4S∞(genap)=4ar1−r2=4ar=4(1−r2)...pers(i)
♠ Menyederhanakan bentuk u2+u4=154
u2+u4=154ar+ar3=154ar(1+r2)=154ar=154(1+r2)...pers(ii)
♠ Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
ar=4(1−r2)...pers(i)154(1+r2)=4(1−r2)(kali silang)15=16(1−r2)(1+r2)15=16[1−(r2)2]1516=1−(r2)2(r2)2=1−1516(r2)2=116(r2)=14r=±√14⇔r=±12
Jadi, nilai r=±12.♡
Jumlah geometri tak hingga genap : S∞(genap)=ar1−r2
Suku ke-n : Un=arn−1
♠ Menyederhanakan bentuk u2+u4+u6...=4
u2+u4+u6...=4S∞(genap)=4ar1−r2=4ar=4(1−r2)...pers(i)
♠ Menyederhanakan bentuk u2+u4=154
u2+u4=154ar+ar3=154ar(1+r2)=154ar=154(1+r2)...pers(ii)
♠ Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
ar=4(1−r2)...pers(i)154(1+r2)=4(1−r2)(kali silang)15=16(1−r2)(1+r2)15=16[1−(r2)2]1516=1−(r2)2(r2)2=1−1516(r2)2=116(r2)=14r=±√14⇔r=±12
Jadi, nilai r=±12.♡
Nomor 14
Parabola y=x2−(k+2)x+2k memotong sumbu-Y di (0,c) dan memotong sumbu-X di (a,0) dan (b,0). Jika a+2,c, dan a+2b
membentuk barisan aritmetika, maka nilai k adalah ...
♣ Substitusi titik (0,c) ke parabola : y=x2−(k+2)x+2k
y=x2−(k+2)x+2k⇒c=02−(k+2).0+2k
⇒c=2k.
♣ Parabola memotong sumbu X di (a,0) dan (b,0) , artinya a dan b adalah akar-akar dari x2−(k+2)x+2k=0 , sehingga berlaku rumus penjumlahan akar-akar :
a+b=−ba=−(−(k+2))1⇔a+b=k+2 ...pers(i)
♣ Barisan aritmatika a+2,c, dan a+2b , selisihnya sama :
(c)−(a+2)=(a+2b)−(c)2c=(a+2b)+(a+2)2c=2(a+b)+2(gunakan pers(i) dan c=2k)2.(2k)=2(k+2)+24k=2k+62k=6k=62=3
Jadi, nilai k=3.♡
y=x2−(k+2)x+2k⇒c=02−(k+2).0+2k
⇒c=2k.
♣ Parabola memotong sumbu X di (a,0) dan (b,0) , artinya a dan b adalah akar-akar dari x2−(k+2)x+2k=0 , sehingga berlaku rumus penjumlahan akar-akar :
a+b=−ba=−(−(k+2))1⇔a+b=k+2 ...pers(i)
♣ Barisan aritmatika a+2,c, dan a+2b , selisihnya sama :
(c)−(a+2)=(a+2b)−(c)2c=(a+2b)+(a+2)2c=2(a+b)+2(gunakan pers(i) dan c=2k)2.(2k)=2(k+2)+24k=2k+62k=6k=62=3
Jadi, nilai k=3.♡
Nomor 15
Kode kupon hadiah untuk belanja pada suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 1, 3, 3, 6, 9. Jika kupon-kupon tersebut disusun
berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode kurang daripada 63000 ada sebanyak ....
♠ Pilihan angkanya : 1, 3, 3, 6, 9
kode kurang daripada 63000, disusun berdasarkan puluhan ribuannya dibagi menjadi tiga kasus :
Total cara = 12 + 24 + 3 = 39 cara.
♠ Penjelasan :
Kasus I, Puluhan ribuannya angka 1 dan sisanya (Ribuan, Ratusan, Puluhan, Satuan) dipilih dari angka 3, 3, 6, 9 yaitu permutasinya sebanyak 4!2!=12 susunan.
contohnya : 13369, 13396, 13639, dan seterusnya.
Begitu juga untuk kasus II dan III .
Jadi, total kupon sebanyak 39 kupon yang lebih kecil dari 63000. ♡
kode kurang daripada 63000, disusun berdasarkan puluhan ribuannya dibagi menjadi tiga kasus :
Total cara = 12 + 24 + 3 = 39 cara.
♠ Penjelasan :
Kasus I, Puluhan ribuannya angka 1 dan sisanya (Ribuan, Ratusan, Puluhan, Satuan) dipilih dari angka 3, 3, 6, 9 yaitu permutasinya sebanyak 4!2!=12 susunan.
contohnya : 13369, 13396, 13639, dan seterusnya.
Begitu juga untuk kasus II dan III .
Jadi, total kupon sebanyak 39 kupon yang lebih kecil dari 63000. ♡