Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 328 tahun 2013 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $A=\left( \begin{matrix} a & b & c \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right) , \, B=\left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \\ 4 & 0 \end{matrix} \right)$ , dan $ AB = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{matrix} \right), \, $ maka nilai $ a + c \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan perkaliannya
$\begin{align} AB & = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b & c \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \\ 4 & 0 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2a-b+4c & 2a+b \\ 5 & -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{matrix} \right) \\ \text{diperoleh persamaan} & \\ 2a-b+4c & = 3 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ 2a+b & = 1 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
$\spadesuit \, $ Jumlahkan kedua persamaan
$\begin{array}{cc} 2a-b+4c = 3 & \\ 2a+b = 1 & + \\ \hline 4a+4c = 4 & \\ a+c = 1 & \end{array} $
Jadi, nilai $ a + c = 1 . \heartsuit $
Nomor 12
Diketahui $a, \, b,$ dan $c$ berturut-turut adalah suku ke-2, ke-4, dan ke-6 suatu barisan aritmetika. Jika $ \frac{a+b+c}{b+1}=4, \, $ maka nilai $ b \, $ adalah .....
$\clubsuit \, u_2=a, \, u_4=b, \, $ dan $u_6=c \, $ barisan aritmatika .
Suatu barisan aritmetika yang berurutan (contoh : $ u_1, u_2, u_3 \, $ atau $ u_3,u_4,u_5 \, $ atau $ u_1,u_3,u_5 \, $ atau $ u_2,u_4,u_6 $) pasti mempunyai selisih yang sama.
*). selisih sama : $b-a = c - b \Rightarrow a+c = 2b \, $ ...pers(i)
*). dari soal diketahui juga : $\frac{a+b+c}{b+1}=4 \, $ ...per(ii)
$\clubsuit \, $ Substiutusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{a+b+c}{b+1} & =4 \\ \frac{(a+c)+b}{b+1} & =4 \, \, \, \, \text{(posisi b dan c ditukar)} \\ \frac{(2b)+b}{b+1} & =4 \\ \frac{3b}{b+1} & =4 \\ 3b & = 4b + 4 \\ b & = -4 \end{align}$
Sehingga nilai $ b = -4 $
Jadi, nilai $b=-4. \heartsuit $
Nomor 13
Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$ . Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $ -1 < r < 1 $ , $u_2+u_4+u_6...=4$ , dan $u_2+u_4= \frac{15}{4} $ , maka nilai $r$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
Jumlah geometri tak hingga genap : $S_{\infty} (\text{genap}) = \frac{ar}{1-r^2} $
Suku ke-n : $U_n=ar^{n-1}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4+u_6...=4$
$\begin{align} u_2+u_4+u_6... & = 4 \\ S_{\infty} (\text{genap}) & = 4 \\ \frac{ar}{1-r^2} & = 4 \\ ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4=\frac{15}{4}$
$\begin{align} u_2+u_4 & = \frac{15}{4} \\ ar + ar^3 & = \frac{15}{4} \\ ar(1+r^2) & = \frac{15}{4} \\ ar & = \frac{15}{4(1+r^2)} \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align} ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \\ \frac{15}{4(1+r^2)} & = 4 (1-r^2) \, \, \text{(kali silang)}\\ 15 & = 16 (1-r^2)(1+r^2) \\ 15 & = 16 \left[ 1-(r^2)^2 \right] \\ \frac{15}{16} & = 1 - (r^2)^2 \\ (r^2)^2 & = 1- \frac{15}{16} \\ (r^2)^2 & = \frac{1}{16} \\ (r^2) & = \frac{1}{4} \\ r & = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow r = \pm \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ r = \pm \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 14
Parabola $y=x^2-(k+2)x+2k $ memotong sumbu-Y di (0,$c$) dan memotong sumbu-X di ($a$,0) dan ($b$,0). Jika $a+2, \, c, \, $ dan $ a + 2b \, $ membentuk barisan aritmetika, maka nilai $ k \,$ adalah ...
$\clubsuit \,$ Substitusi titik (0,c) ke parabola : $y=x^2-(k+2)x+2k $
$y=x^2-(k+2)x+2k \Rightarrow c=0^2-(k+2).0+2k $
$ \Rightarrow c = 2k. $
$\clubsuit \, $ Parabola memotong sumbu X di (a,0) dan (b,0) , artinya a dan b adalah akar-akar dari $ x^2-(k+2)x+2k = 0 \, $ , sehingga berlaku rumus penjumlahan akar-akar :
$a+b = \frac{-b}{a} = \frac{-(-(k+2))}{1} \Leftrightarrow a+b = k + 2 \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \,$ Barisan aritmatika $a+2, \, c, \, $ dan $ a + 2b \, $ , selisihnya sama :
$\begin{align} (c) - (a+2) & = (a+2b) - (c) \\ 2c & = (a+2b) + (a+2) \\ 2c & = 2(a+b) + 2 \\ \text{(gunakan pers(i) dan } & \, c = 2k )\\ 2.(2k) & = 2(k+2) + 2 \\ 4k & = 2k + 6 \\ 2k & = 6 \\ k & = \frac{6}{2} = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ k=3 . \heartsuit $
Nomor 15
Kode kupon hadiah untuk belanja pada suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 1, 3, 3, 6, 9. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode kurang daripada 63000 ada sebanyak ....
$\spadesuit \, $ Pilihan angkanya : 1, 3, 3, 6, 9
kode kurang daripada 63000, disusun berdasarkan puluhan ribuannya dibagi menjadi tiga kasus :
sbmptn_matdas_k328_5_2013.png
Total cara = 12 + 24 + 3 = 39 cara.
$\spadesuit \, $ Penjelasan :
Kasus I, Puluhan ribuannya angka 1 dan sisanya (Ribuan, Ratusan, Puluhan, Satuan) dipilih dari angka 3, 3, 6, 9 yaitu permutasinya sebanyak $ \frac{4!}{2!} = 12 \, $ susunan.
contohnya : 13369, 13396, 13639, dan seterusnya.
Begitu juga untuk kasus II dan III .
Jadi, total kupon sebanyak 39 kupon yang lebih kecil dari 63000. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 328 tahun 2013 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika $ 1 < a < 3 $ , maka semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{(3-x)(x+2)}{-x^2 + 3x - 3a } < 0 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Nilai diskriminan (D) dari penyebutnya: $ -x^2 + 3x - 3a $
$D=b^2-4ac=(3)^2-4.(-1).(-3a)=9-12a \, , $
diperoleh $ D = 9-12a $
karena nilai $a$ terletak pada interval $ 1 < a < 3 $ , maka nilai D negatif ($D<0$).
$ -x^2 + 3x - 3a \left\{ \begin{array}{c} D < 0 \\ a = -1 < 0 \end{array} \right. $
ini artinya $ -x^2 + 3x - 3a \, $ definit negatif (nilainya akan selalu negatif untuk semua $x$), sehingga $ -x^2 + 3x - 3a \, $ bisa dicoret (tanda ketaksamaan dibalik).
$\begin{align} \frac{(3-x)(x+2)}{-x^2 + 3x - 3a } & < 0 \\ \frac{(3-x)(x+2)}{1 } & > 0 \\ x=3 \vee x & =-2 \end{align}$
sbmptn_matdas_k328_3_2013.png
Karena yang diminta $ > 0 \, $ , maka solusinya adalah $ \{ -2 < x < 3 \} \, $
Jadi, solusinya adalah $HP = \{ -2 < x < 3 \}. \heartsuit $
Catatan : jika definit positif (syarat $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $ ), maka tanda ketaksamaan tidak dibalik.
Nomor 7
Andi bekerja di toko sepatu A pada pagi hari dan di toko sepatu B pada malam hari. Setiap bulan ia memperoleh gaji dari toko A sebesar Rp 1.0000.000,00 dan bonus 10% dari penjualan, sedangkan dari toko B ia memperoleh gaji sebesar Rp 600.000,00 dan bonus 25% dari penjualan. Agar pendapatan Andi dari toko B dua kali pendapatannya di toko A, maka ia harus menjual sepatu dari masing-masing toko senilai .....
$\clubsuit \, $ Misalkan total penjualannya masing-masing toko sebesar $p$ rupiah.
pendapatan di toko A = 1.000.000 + 10%$p$ = 1.000.000 + 0,1$p$
pendapatan di toko B = 600.000 + 25%$p$ = 600.000 + 0,25$p$
$\clubsuit \, $ Menenyukan nilai $p$
$\begin{align} \text{pendapatan di toko B} \, &= \, 2 \, \text{kali pendapatan di toko A} \\ 600.000 + 0,25p & = 2(1.000.000 + 0,1p) \\ 600.000 + 0,25p & = 2.000.000 + 0,2p \\ 0,25p - 0,2p & = 2.000.000 - 600.000 \\ 0,05p & = 1.400.000 \\ p & = \frac{1.400.000}{0,05} = 28.000.000 \end{align}$
Artinya Andi harus menjual sepatu untuk masing-masing toko senilai Rp 28.000.000,00
Jadi, Andi harus menjual sepatu untuk masing-masing toko senilai Rp 28.000.000,00 . $\heartsuit$
Nomor 8
Distribusi berat bayi lahir di rumah sakit A dan B dapat dilihat pada diagram berikut,
sbmptn_matdas_k328_4_2013.png
Berat badan bayi dikatakan normal apabila berat lahirnya lebih dari 2500 gram. Banyak bayi normal yang lahir di dua rumah sakit tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Menghitung banyak bayi normal setiap rumah sakit :
RS A = 60 + 32 = 92
RS B = 68 + 12 = 80
$\spadesuit \, $ Sehingga total bayi normal :
Total = RS A + RS B = 92 + 80 = 172 bayi.
Jadi, banyak bayi normal ada 172 bayi. $\heartsuit$
Nomor 9
Median, rata-rata, dan selisih antara data terbesar dengan data terkecil dari data yang berupa empat bilangan asli yang telah diurutkan mulai dari yang terkecil adalah 6. Jika modusnya tunggal, maka hasil kali data kedua dan keempat adalah .....
$\clubsuit \, $ Misalkan datanya : $a, \, b, \, c, \, d$
$\clubsuit \, $ Median = 6, $\Rightarrow \frac{b+c}{2}=6 \Rightarrow b+c=12 .$
karena modusnya tunggal, maka haruslah nilai $b=c=6 \, $ , agar ada nilai yang kembar sebagai modusnya dari keempat bilangan
$\clubsuit \, $ Rata-rata = 6, $\Rightarrow \frac{a+b+c+d}{4}=6 \Rightarrow a+d + 12=24 .$
$a+d=12 $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Selisih data terbesar dan terkecilnya (jangkauannya) 6 .
$d-a = 6$ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan per(ii)
$\begin{array}{cc} a+d=12 & \\ d-a = 6 & + \\ \hline 2d = 18 & \\ d = 9 & \end{array} $
pers(i) : $ a+d=12 \rightarrow a+9=12 \rightarrow a = 3 $
datanya menjadi : 3, 6, 6, 9
sehingga hasil kali data kedua dan keempat = 6 $\times$ 9 = 54
Jadi, hasil kali data kedua dan keempat adalah 54. $\heartsuit $
Catatan : beberapa kemungkinan data yang diperoleh dengan $ a = 3 \, $ , $ d = 9 \, $ , dan $ b + c = 12 $
(i). 3, 3, 9, 9 : modusnya ada dua yaitu 3 dan 9
(ii). 3, 4, 8, 9 : tidak ada modusnya
(iii). 3, 5, 7, 9 : tidak ada modusnya
(iv). 3, 6, 6, 9 : modusnya tunggal yaitu 6
tidak ada lagi kemungkinan lainnya karena bilangan harus terurut dari kecil ke besar.
Nomor 10
Jika $f^{-1} \left( \frac{3}{x+3} \right) = \frac{2x+3}{x+3} $ , maka nilai $a \, $ agar $f(a) = 1 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Definisi invers : $A=f(B) \Leftrightarrow f^{-1}(A) = B$
$\spadesuit \, $ Menentukan invers soal dari definisi di atas:
$ f(a) = 1 \rightarrow a = f^{-1} (1) \, $ atau $ f^{-1}(1) = a $
$\spadesuit \, $ Samakan bentuk invers dan soal yang diketahui :
$\begin{align} f^{-1} \left( \frac{3}{x+3} \right) & = \frac{2x+3}{x+3} \, \, \, \, \text{....(dari soal)} \\ f^{-1}(1) & = a \, \, \, \, \text{....(yang ditanyakan)} \\ \text{ diperoleh kesamaan : } & \frac{3}{x+3} = 1 \, \, \text{ dan } \, \, a = \frac{2x+3}{x+3} \\ \frac{3}{x+3} = 1 \rightarrow 3 & = x+3 \\ x & = 0 \\ a = \frac{2x+3}{x+3} \rightarrow a & = \frac{2.0+3}{0+3} \, \, \, \text{(substitusi } x = 0 ) \\ a & = \frac{3}{3} = 1 \end{align} $
sehingga nilai $ a = 1 \, $
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 328 tahun 2013


Nomor 1
Jika $9^m+9^{m+1} = 20 \, $ , maka $27^m = ...$
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan: Sifat $a^{m+n}=a^m.a^n$
$\begin{align} 9^m+9^{m+1} & = 20 \\ 9^m+9^m.9^1 & = 20 \\ 9^m+9.9^m & = 20 \\ (1+9)9^m & = 20 \\ 10.(3^2)^m & = 20 \, \, \, \, \text{(bagi 10)} \\ (3^m)^2 & = 2 \\ 3^m & = \sqrt{2} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $27^m$
$\begin{align} 27^m & = (3^3)^m \\ &= (3^m)^3 \\ &= (\sqrt{2})^3 \\ &= \sqrt{2} .\sqrt{2} .\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, $27^m = 2\sqrt{2}. \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ \frac{\log xy }{\log w } = 2 $ dan $ \frac{\log w }{\log y } = \frac{1}{4} $ , maka nilai $ {}^{x}\log w \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep logaritma
Sifat-sifat logaritma :
1). $ \frac{{}^p \log b }{{}^p \log a } = {}^ a \log b $
2). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $
3). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ {}^w \log y $
$\begin{align} \frac{\log w }{\log y } & = \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ {}^y \log w & = \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ {}^w \log y & = \frac{4}{1} = 4 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ {}^x \log w $
$\begin{align} \frac{\log xy }{\log w } & = 2 \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ {}^w \log xy & = 2 \, \, \, \, \text{(sifat 3)} \\ {}^w \log x + {}^w \log y & = 2 \\ {}^w \log x + 4 & = 2 \\ {}^w \log x & = 2 - 4 = -2 \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ {}^x \log w & = \frac{1}{-2} = - \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^x \log w = - \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 3
Persamaan kuadrat $ x^2 - (c+3)x + 9 = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Jika $ x_1 < -2 \, $ dan $ x_2 < -2 , \, $ maka .....
(A) $ c < -\frac{19}{2} \, $ atau $ c > -9 $
(B) $ -\frac{19}{2} < c \leq -9 $
(C) $ -\frac{19}{2} < c \leq -7 $
(D) $ -9 < c < 3 $
(E) $ c > 3 $
$\clubsuit \, $ PK : $ x^2 - (c+3)x + 9 = 0 \, \rightarrow a = 1 , \, b = -(c+3) , \, c = 9 $
Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-(c+3))}{1} = c + 3 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{9}{1} = 9 $
$\clubsuit \, $ Modifikasi akar-akarnya : $ x_1 < -2 \, $ dan $ x_2 < -2 $
$ x_1 < -2 \rightarrow x_1+2 < 0 \, $ (negatif)
$ x_2 < -2 \rightarrow x_2+2 < 0 \, $ (negatif)
$\clubsuit \, $ Jumlahkan keduanya, hasilnya juga negatif
$\begin{align} (x_1+2)+(x_2+2) & < 0 \, \, \, \, \, \text{ (negatif)} \\ x_1 + x_2 + 4 & < 0 \\ (c + 3) + 4 & < 0 \\ c & < -7 \, \, \, \, \, \text{ ....(HP1)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Kalikan keduanya, hasilnya juga positif (negatif kali negatif)
$\begin{align} (x_1+2)(x_2+2) & > 0 \, \, \, \, \, \text{ (positif)} \\ x_1.x_2 + 2(x_1+x_2) + 4 & > 0 \\ (9) + 2(c+3) + 4 & > 0 \\ 2c + 19 & > 0 \\ c & > -\frac{19}{2} \, \, \, \, \, \text{ ....(HP2)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Karena akar-akarnya $ x_1 < -2 \, $ dan $ x_2 < -2 \, $ , maka akar-akarnya bisa berbeda atau bisa juga sama (kembar), sehinggga syaratnya : $ D \geq 0 $
$\begin{align} D = b^2 - 4ac & \geq 0 \\ (-(c+3))^2 - 4.1.(9) & \geq 0 \\ c^2+6c + 9 - 36 & \geq 0 \\ c^2 + 6c - 27 & \geq 0 \\ (c-3)(c+9) & = 0 \\ c = 3 \vee c & = -9 \end{align}$
sbmptn_matdas_k328_1_2013.png
HP3 = $ \{ c \leq -9 \vee c \geq 3 \} $
Solusinya harus memenuhi ketiganya, yaitu irisannya.
Solusi : $ HP = HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ -\frac{19}{2} < c \leq -9 \} $
Jadi, solusinya HP $ = \{ -\frac{19}{2} < c \leq -9 \} . \heartsuit $
Nomor 4
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...
$\spadesuit \, $ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.
$\spadesuit \, $ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :
sbmptn_matdas_k328_2_2013.png
$\spadesuit \, $ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai $a < 0$ .
$\spadesuit \, $ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai $ c > 0 $ .
$\spadesuit \, $ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda $a$ dan $b$ tidak sama (harus berbeda). Karena $a < 0$ , maka nilai $b$ harus $b >0 $ .
Jadi, diperoleh $a < 0 , b > 0 , c > 0. \heartsuit $
Nomor 5
Ibu mendapat potongan harga sebesar 25% dari total pembelian darang di suatu toko. Toko tersebut membebankan pajak sebesar 10% dari harga total pembelian setelah dipotong. Jika $x$ adalah harga total pembelian, maka ibu harus membayar sebesar ...
$\clubsuit \, $ Misalkan $x$ adalah total pembelian barang sebelum kena diskon dan pajak.
$\clubsuit \, $ Potongan 25%
yang harus dibayar adalah 75%$x$
$\clubsuit \, $ kena pajak 10% setelah dipotong
besar pajak = $10\% . 75\% x$
$\clubsuit \, $ Total yang harus dibayar :
$\begin{align} \text{Total} \, & = 75\% x + 10\% . 75\% x \\ & = (1+10\% ) . 75\% x \\ &= (1+0,1) . 0,75 x \\ &= (1,1). 0,75 x \end{align}$
Jadi, ibu harus membayar sebesar $(1,1\times 0,75) x. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 442 tahun 2013 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $A=\left( \begin{matrix} 0 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{matrix} \right) , \, B=\left( \begin{matrix} 3 & a \\ -2 & b \\ 1 & c \end{matrix} \right)$ , dan $ AB = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ -6 & 2 \end{matrix} \right), \, $ maka nilai $ 2c-a \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan perkaliannya
$\begin{align} AB & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ -6 & 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 0 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 3 & a \\ -2 & b \\ 1 & c \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ -6 & 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 4 & -b+2c \\ -6 & -2a+b+2c \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ -6 & 2 \end{matrix} \right) \\ \text{diperoleh persamaan} & \\ -b+ 2c & = 2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ -2a+b+2c & = 2 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
$\spadesuit \, $ Jumlahkan kedua persamaan
$\begin{array}{cc} -b+ 2c = 2 & \\ -2a+b+2c = 2 & + \\ \hline 4c - 2a = 4 & \\ 2c - a = 2 & \end{array} $
Jadi, nilai $ 2c - a = 2 . \heartsuit $
Nomor 12
Diketahui $a, \, b,$ dan $c$ adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika dengan $b > 0$ . Jika $a-b+c=b^2-6 \, $ , maka nilai $b \, $ adalah ...
$\clubsuit \, a, \, b,$ dan $c$ barisan aritmatika (selisih sama).
$b-a = c - b \Rightarrow a+c = 2b \, $ ...pers(i)
dari soal diketahui juga : $a-b+c=b^2-6 \, $ ...per(ii)
$\clubsuit \, $ Substiutusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align*} a-b+c & =b^2-6 \\ (a+c)-b &=b^2-6 \, \text{(posisi b dan c ditukar)}\\ 2b - b &= b^2-6 \\ b^2-b-6 & = 0 \\ (b-3)(b+2) & = 0 \\ b=3 \, & \vee \, b=-2 \end{align*}$
karena nilai $b > 0$ , maka nilai $b$ yang memenuhi adalah $b=3$ .
Jadi, nilai $b=3. \heartsuit $
Nomor 13
Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$ . Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $ -1 < r < 1 \, $ dan $u_1+u_3+u_5+...= \frac{2}{3} u_1 + (u_2 + u_4+u_6+ ....) \, $ , maka nilai $ r^2 \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $ u_n = ar^{n-1} $
Jumlah geometri tak hingga : $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}} $
Barisan geometri : $ u_n = a.r^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Menentukan Rumus
Persamaan pertama :
$\begin{align} u_1+u_3+u_5+... & = a + ar^2 + ar^4 + ..... \\ (\text{suku pertama} & = a , \, \text{rasio} = r^2 )\\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}} \\ u_1+u_3+u_5+... & = \frac{a}{1-r^2} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} u_2 + u_4+u_6+ .... & = ar + ar^3 + ar^5 + ..... \\ (\text{suku pertama} & = ar , \, \text{rasio} = r^2) \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}} \\ u_2 + u_4+u_6+ .... & = \frac{ar}{1-r^2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ r^2 $
$\begin{align} u_1+u_3+u_5+... & = \frac{2}{3} u_1 + (u_2 + u_4+u_6+ ....) \\ \frac{a}{1-r^2} & = \frac{2}{3} a + (\frac{ar}{1-r^2}) \, \, \, \, \text{(bagi } a ) \\ \frac{1}{1-r^2} & = \frac{2}{3} + (\frac{r}{1-r^2}) \, \, \, \, \text{[kali } 3(1-r^2) ] \\ 3 & = 2(1-r^2) + 3r \\ 3 & = 2 - 2r^2 + 3r \\ 2r^2 - 3r + 1 & = 0 \\ (2r-1)(r-1) & = 0 \\ r = \frac{1}{2} \vee r & = 1 \end{align}$
Karena nilai $ -1 < r < 1 \, $ , maka nilai yang memenuhi $ r = \frac{1}{2} $
Sehingga nilai $ r^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $
Jadi, nilai $ r^2 = \frac{1}{4} . \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui fungsi kuadrat $ f(x) = x^2 - (k+2)x + 2k \, $ dan $ f(a)=f(b)=0 . \, $ Jika $ 2b-a, \, \frac{3}{2}ab, \, $ dan $ 3a+8 \, $ membentuk barisan aritmeika, maka nilai $ k \, $ adalah .....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar
Nilai $ f(a) = f(b) = 0 , \, $ artinya $ a \, $ dan $ b \, $ adalah akar-akar persamaan $ f(x) = 0 \, $ atau $ x^2 - (k+2)x + 2k = 0 $
$\clubsuit \,$ PK : $ x^2 - (k+2)x + 2k = 0 \, $ akar-akarnya $ a \, $ dan $ b $
Operasi akar-akarnya :
$ a + b = k + 2 , \, $ dan $ a.b = 2k $
$\clubsuit \,$ Barisan aritmetika : $ 2b-a, \, \frac{3}{2}ab, \, $ dan $ 3a+8 \, $
Selisih sama :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ (\frac{3}{2}ab) - (2b-a) & = (3a+8) - (\frac{3}{2}ab) \\ (\frac{3}{2}ab) + (\frac{3}{2}ab) & = (3a+8) + (2b-a) \\ 3ab & = 2 ( a+b) + 8 \\ 3.(2k) & = 2 ( k+2 ) + 8 \\ 6k & = 2k + 4 + 8 \\ 4k & = 12 \\ k & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 3 . \heartsuit $
Nomor 15
Kode kupon hadiah untuk belanja pada suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 1, 2, 2, 3, 4. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode 32124 berada pada urutan ke- .....
$\spadesuit \, $ Untuk menentukan urutan kode 32124, kita urutkan dari terkecil yang disusun dari angka 1, 2, 2, 3, 4. Kita bagi menjadi beberapa kasus
1). Angka pertama 1, dan empat angka sisanya diisi oleh angka 2, 2, 3, 4
total = $ \frac{4!}{2!} = 4 . 3 = 12 \, $ angka,
2). Angka pertama 2, dan empat angka sisanya diisi oleh angka 1, 2, 3, 4
total = $ 4! = 4.3.2.1 = 24 $ angka,
3). Angka pertama 3 dan kedua angka 1 (agar tetap kurang dari 32124), dan tiga angka sisanya diisi oleh angka 2, 2, 4
total = $ \frac{3!}{2!} = 3 $ angka,
4). Angka pertama 3 dan kedua angka 2, otomatis angka ketiga 1, dan selanjutnya angka 2 dan 4. sehingga ketemu angka 32124 yaitu 1 angka.
Kode 32124 ada pada urutan ke 12 + 24 + 3 + 1 = 39.
Jadi, kode 32124 ada pada urutan ke-39. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15