Kode 251 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ adalah fungsi dengan sifat $ f(-x) = -f(x) $ dan $ g(-x) = -g(x) $. Jika sisa pembagian $f(x) $ oleh $ x^2 + x - 2 $ adalah $ 2x + 1 $ dan sisa pembagian $ xg(x) $ oleh $ x^2 - x - 2 $ adalah $ 2x - 4 $ , maka sisa pembagian $ (x+1)f(x)g(x) $ oleh $ x^2-3x+2$ adalah .....
A). $ 12x-24 \, $ B). $ 12x+12 \, $
C). $ 24x+12 \, $ D). $ -36x+72 \, $
E). $ 36x-72 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). $ f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 + x - 2 $ bersisa $ s(x) = 2x +1 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ f(x) = (x^2 + x - 2).h_1(x) + (2x + 1) $
$ f(x) = (x - 1 )(x + 2).h_1(x) + (2x + 1) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x - 1 )(x + 2)=0 \rightarrow x = 1 \vee x = -2 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = (x - 1 )(x + 2).h_1(x) + (2x + 1) \\ f(1) & = (1 - 1 )(1 + 2).h_1(1) + (2.1 + 1) \\ f(1) & = 3 \\ x = -2 \rightarrow f(x) & = (x - 1 )(x + 2).h_1(x) + (2x + 1) \\ f(-2) & = (-2 - 1 )(-2 + 2).h_1(-2) + (2.(-2) + 1) \\ f(-2) & = -3 \end{align} $
Karena $ f(-x) = -f(x) $ , maka $ f(-2) = -f(2) \rightarrow -3 = - f(2) \rightarrow f(2) = 3 $.

*). $ xg(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 -x - 2 $ dengan sisa $ s(x) = 2x - 4 $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ xg(x) = (x^2 -x - 2).h_2(x) + (2x-4) $
$ xg(x) = (x+1)(x-2).h_2(x) + (2x-4) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x+1)(x-2)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = 2 $
$ \begin{align} x = - 1 \rightarrow xg(x) & = (x+1)(x-2).h_2(x) + (2x-4) \\ -1.g(-1) & = (-1+1)(-1-2).h_2(-1) + (2.(-1)-4) \\ -g(-1) & = -6 \\ g(-1) & = 6 \\ x = 2 \rightarrow xg(x) & = (x+1)(x-2).h_2(x) + (2x-4) \\ 2.g(2) & = (2+1)(2-2).h_2(2) + (2.2-4) \\ 2g(2) & = 0 \\ g(2) & = 0 \end{align} $
Karena $ g(-x) = -g(x) $ , maka $ g(-1) = -g(1) \rightarrow 6 = - g(1) \rightarrow g(1) = -6 $.

*). $ (x+1)f(x)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 -3x + 2 $ misalkan sisanya $ s(x) = ax + b $ dan hasil bagi $ h_3(x) $ :
$ (x+1)f(x)g(x) = (x^2 -3x + 2 ).h_3(x) + (ax+b) $
$ (x+1)f(x)g(x) = (x-1)(x-2).h_3(x) + (ax+b) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x-1)(x-2)=0 \rightarrow x = 1 \vee x = 2 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow (x+1)f(x)g(x) & = (x-1)(x-2).h_3(x) + (ax+b) \\ (1+1)f(1)g(1) & = (1-1)(1-2).h_3(1) + (a.1+b) \\ 2.3.(-6) & = a + b \\ -36 & = a + b \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ x = 2 \rightarrow (x+1)f(x)g(x) & = (x-1)(x-2).h_3(x) + (ax+b) \\ (2+1)f(2)g(2) & = (2-1)(2-2).h_3(2) + (a.2+b) \\ 3.3.0 & = 2a + b \\ 0 & = 2a + b \\ b & = -2a \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $

*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align} b = -2a \rightarrow a + b & = -36 \\ a + (-2a) & = -36 \\ -a & = -36 \\ a & = 36 \\ \end{align} $
pers(ii) : $ b = -2a = -2. 36 = -72 $.
Sehingga sisa pembagian $ (x+1)f(x)g(x) $ oleh $ x^2 -3x + 2 $ adalah $ ax + b = 36x -72 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ 36x -72 . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk mngerjakan soal ini bisa juga menggunakan teorema sisa.



Kode 251 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Pada kubus ABCD.EFGH, titik M terletak pada diagonal BE dengan perbandingan $ EM:MB = 2:3 $ dan N adalah titik tengah rusuk CD. Jika R terletak pada rusuk AB dimana RM sejajar AE, maka $ \cos \angle NMR \, $ adalah .....
A). $ \frac{6}{\sqrt{101}} \, $ B). $ \sqrt{\frac{101}{137}} \, $ C). $ \sqrt{\frac{6}{137}} \, $ D). $ \frac{3}{\sqrt{101}} \, $ E). $ \frac{3}{\sqrt{137}} \, $



$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri :
pada segitiga siku-siku berlaku :
$ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
 

Misalkan panjang rusuk kubus adalah 10.
*). Panjang RN pada segitiga RPN :
$ RN = \sqrt{RP^2 + PN^2} = \sqrt{1^2 + 10^2} = \sqrt{101} $
*). Panjang MN pada segitiga MNR :
$ MN = \sqrt{MR^2+RN^2} = \sqrt{6^2 + \sqrt{101}^2} = \sqrt{137} $
*). Menentukan nilai $ \cos \angle NMR $ :
$\begin{align} \cos \angle NMR & = \frac{MR}{MN} \\ & = \frac{6}{\sqrt{137}} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \angle NMR = \frac{6}{\sqrt{137}} . \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban pada optionnya).

Catatan :
Untuk nilai trigonometri pada kubus, panjang rusuknya bebas kita misalkan dengan suatu angka tertentu karena akan terbentuk perbandingan sehingga tetap bisa disederhanakan. Pilih panjang rusuk yang bisa dihitung dengan mudah saja.



Kode 251 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika vektor $ x = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ didilatasi sebesar $ b $ kali kemudian dirotasi sejauh $ 90^\circ $ berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat menjadi vektor $ y $, maka $ ax - y = .... $
A). $a\left( \begin{matrix} a + b \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} a^2 + b^2 \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ C). $ b\left( \begin{matrix} a + b \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ a^2 + b^2 \end{matrix} \right) \, $ E). $ b\left( \begin{matrix} 0 \\ a + b \end{matrix} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Vektor dan Transformasi
*). Pengurangan dua vektor
Misalkan dua vektor $ a = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) \, $ dan $ b = \left( \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right) $.
Pengurangan : $ a - b = \left( \begin{matrix} x_1-x_2 \\ y_1-y_2 \end{matrix} \right) $
*). Misalkan transformasi pertama oleh matriks T1 dan dilanjutkan transformasi kedua oleh matriks T2, maka matriks gabungannya adalah : $ MT= T_2 \circ T_1 $.
*). Cara menentukan bayangan pada transformasi :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks gabungan
-). pertama didilatasi sebesar $ b $ kali, artinya $ k = b $ :
$ T_1 = \left( \begin{matrix} b & 0 \\ 0 & b \end{matrix} \right) $
-). kedua, rotasi dengan sudut $ \theta = 90^\circ$
$ T_2 = \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & - \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
-). sehingga matriks gabungannya :
$ MT = T_2.T_1 = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} b & 0 \\ 0 & b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -b \\ b & 0 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan (vektor $y$) dengan awalnya vektor $x = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ y & = (MT).x \\ y & = \left( \begin{matrix} 0 & -b \\ b & 0 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -b^2 \\ ab \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ ax - y $ :
$ ax - y = a\left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} -b^2 \\ ab \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a^2 \\ ab \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} -b^2 \\ ab \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a^2 + b^2 \\ 0 \end{matrix} \right) $
Jadi, kita peroleh $ ax - y = \left( \begin{matrix} a^2 + b^2 \\ 0 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 251 Pembahasan Pertidaksamaan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ antara $ 0 $ dan $ \pi $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \cos 2x + \cos x \leq -1 $ adalah ....
A). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} $
B). $ \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
C). $ \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{2\pi}{3} $
D). $ \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{4} $
E). $\frac{2\pi}{3} \leq x \leq \pi $

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=\frac{\pi}{2} = 90^\circ \Rightarrow \cos 2x + \cos x & \leq -1 \\ \cos 2.90^\circ + \cos 90^\circ & \leq -1 \\ -1 + 0 & \leq -1 \\ -1 & \leq -1 \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=90^\circ$ BENAR, opsi yang salah adalah A, B, dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=\frac{3\pi}{4} \Rightarrow \cos 2x + \cos x & \leq -1 \\ \cos 2.\frac{3\pi}{4} + \cos \frac{3\pi}{4} & \leq -1 \\ \cos 270^\circ + \cos 135^\circ & \leq -1 \\ 0 - \frac{1}{2}\sqrt{2} & \leq -1 \\ - \frac{1}{2}\sqrt{2} & \leq -1 \, \, \, \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= \frac{3\pi}{4} $ SALAH, opsi yang salah adalah D.
Sehingga jawaban yang tersisa adalah opsi C, artinya itulah jawaban yang benar.
Jadi, HP $ = \{ \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{2\pi}{3} \} . \, \heartsuit $



Kode 251 Pembahasan Pertidaksamaan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ antara $ 0 $ dan $ \pi $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \cos 2x + \cos x \leq -1 $ adalah ....
A). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} $
B). $ \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
C). $ \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{2\pi}{3} $
D). $ \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{4} $
E). $\frac{2\pi}{3} \leq x \leq \pi $



$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Identitas Trigonometri
$ \cos 2x = 2\cos ^2 x - 1 $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
i). Mencari akar-akarnya dengan mengubah tanda ketaksamaan menjadi persamaan,
ii). Buat garis bilangan dan tanda daerahnya ( + atau $ - $ ),
iii). Arsir daerah yang diinginkan,
jika $ > 0 $ , maka daerah positif, dan
jika $ < 0 $ , maka daerah negatif.
iv). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar dengan pengkuadratan :
$\begin{align} \cos 2 x + \cos x & \leq - 1 \\ 2\cos ^ 2 x - 1 + \cos x & \leq - 1 \\ 2\cos ^ 2 x + \cos x & \leq 0 \\ \cos x ( 2\cos x + 1) & \leq 0 \\ \cos x = 0 \vee \cos x & = - \frac{1}{2} \end{align} $
Nilai-nilai $ x $ yang memenuhi :
$ \cos x = 0 \rightarrow x = \{ ... , -90^\circ , 90^\circ , 270^\circ , ... \} $
$ \cos x = - \frac{1}{2} \rightarrow x = \{ ... , 120^\circ , 240^\circ , ... \} $
*). Garis bilangan untuk $ \cos 2 x + \cos x \leq - 1 $ :
 

karena nilai $ x $ pada interval $ 0 \leq x \leq \pi $ ,
maka solusinya adalah $ 90^\circ \leq x \leq 120^\circ $ atau $ \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{2\pi}{3} $
Jadi, HP $ = \{ \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{2\pi}{3} \} . \, \heartsuit $



Kode 251 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Lingkaran $L_1 $ mempunyai jari-jari 5 dengan titik pusat (0,0), sedangkan lingkaran $L_2 $ mempunyai jari-jari 3 dengan titik pusat pada sumbu-x positif. Jika persamaan garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran ini adalah $ 4x + 3y - 25 = 0 $, maka jarak titik pusat kedua lingkaran adalah ....
A). $ 8 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Lingkaran
*). Persamaan lingkaran yang berpusat di ($a,b$) dan jari-jair $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). jarak titik ($p,q$) ke garis $ mx + ny + c = 0 $ :
Jarak $ = \left| \frac{m.p + n.q + c}{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| $
*). Nilai mutlak : $ |A|^2 = A^2 $
*). Jarak dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ :
Jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Gambar garis singgung $ 4x + 3y - 25= 0 $ :
-). Titik potong sumbu x, substitusi $ y = 0 $
$ 4x + 3y - 25= 0 \rightarrow 4x + 3.0 - 25= 0 \rightarrow 4x = 25 \rightarrow x = \frac{25}{4} $
-). Titik potong sumbu y, substitusi $ x = 0 $
$ 4x + 3y - 25= 0 \rightarrow 4.0 + 3y - 25= 0 \rightarrow 3y = 25 \rightarrow y = \frac{25}{3} $
*). ILustrasi gambar lingkaran dan garis singgung dalam :
 

Misalkan pusat lingkaran kedua (L2) adalah $(a,b) = (p,0) $ dengan $ p > \frac{25}{4} $.
*). Menentukan nilai $ p $ dengan jarak pusat lingkaran ($p,0$) ke garis $ 4x + 3y - 25= 0 $ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{mx + ny + c}{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| \\ 3 & = \left| \frac{4x + 3y - 25= 0}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \right| \\ 3 & = \left| \frac{4.p + 3.0 - 25}{\sqrt{16 + 9}} \right| \\ 3 & = \left| \frac{4p - 25}{5} \right| \\ 15 & = \left| 4p -25 \right| \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 15^2 & = \left| 4p -25 \right|^2 \\ 15^2 & = (4p -25 )^2 \\ 0 & = (4p -25 )^2 - 15 ^2 \\ 0& = (4p -25 + 15)(4p -25 - 15) \\ 0 & = (4p -10)(4p -40) \\ p & = \frac{10}{4} \vee p = 10 \end{align} $
Yang memenuhi adalah $ p = 10 $ karena $ p > \frac{25}{4} $, sehingga pusat lingkaran kedua (L2) adalah ($a,b) = (10,0$).
*). Jarak kedua pusat lingkaran yaitu $(0,0)$ dan $(10,0)$ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = \sqrt{(0-0)^2 + (10-0)^2} \\ & = \sqrt{100} = 10 \end{align} $
Jadi, jarak titik pusat kedua lingkaran adalah $ 10 . \, \heartsuit $