Pembahasan PK Barisan Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ x_1 $ dan $ x_2 $ bilangan bulat yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ x^2-(2k+4)x+(3k+4)=0 $. Jika $ x_1, k , x_2 $ merupakan tiga suku pertama dari suatu deret geometri, maka rumus suku ke-$n$ deret tersebut adalah .....
A). $ 1 - (-1)^n \, $ B). $ 1 + (-1)^n \, $ C). $ -(-1)^n \, $
D). $ 2(-1)^n \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) : $ ax^2 + bx + c = 0 $
Operasi akar-akar : $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Barisan Geometri :
Ciri-ciri : Perbandingan dua suku berdekatan sama.
Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = ar^{n-1} $.
$ a = \, $ suku pertama,
$ r = \, $ rasio, $ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = .... $
*). Sifat eksponen : $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2-(2k+4)x+(3k+4)=0 $, akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $
$ x_1. x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow x_1.x_2 = \frac{3k+4}{1} = 3k+4 $
dengan $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah bilangan bulat.
*). Barisan geometri : $ x_1, k, x_2 $
Perbandingan sama :
$\begin{align} \frac{k}{x_1} & = \frac{x_2}{k} \\ k^2 & = x_1.x_2 \\ k^2 & = 3k + 4 \\ k^2 - 3k - 4 & = 0 \\ (k-4)(k+1) & = 0 \\ k=4 \vee k & = -1 \end{align} $
*). Menentukan PK dengan masing-masing nilai $ k $ :
$\begin{align} k = 4 \rightarrow x^2-(2k+4)x+(3k+4)& =0 \\ x^2-(2.4+4)x+(3.4+4) & =0 \\ x^2-12x+16 & =0 \\ \text{(akar tidak bulat)} & \\ k = -1 \rightarrow x^2-(2k+4)x+(3k+4)& =0 \\ x^2-(2.(-1)+4)x+(3.(-1)+4) & =0 \\ x^2 - 2x+ 1 & =0 \\ (x-1)(x-1) & =0 \\ x_1 = 1 \vee x_2 & = 1 \end{align} $
Sehingga barisannya :
$ x_1, k, x_2 \rightarrow 1, -1, 1 $
$ a = 1 $ dan $ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{-1}{1} = -1 $
*). Menyusun Rumus suku ke-$n$ :
$\begin{align} U_n & = ar^{n-1} \\ & = 1. (-1)^{n-1} = (-1)^{n-1} \\ & = \frac{(-1)^n}{(-1)^1} = \frac{(-1)^n}{-1} \\ & = -(-1)^n \end{align} $
Jadi, rumus $ U_n = -(-1)^n . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika suku banyak $ ax^3 + 2x^2 + 5x + b $ dibagi $ (x^2 - 1) $ menghasilkan sisa $ (6x + 5) $ , maka $ a + 3b $ sama dengan .....
A). $ 15 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema sisa :
$ f(x) \, $ dibagi $ \, (x-a)(x-b) \, $ bersisa $ px + q $
Maka berlaku :
$ f(a) = pa + q $ dan $ f(b) = pb + q $
(substitusi akar-akar pembaginya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui :
$ f(x) = ax^3 + 2x^2 + 5x + b $
Pembaginya : $ (x^2-1)= (x+1)(x-1) \rightarrow x = -1 \vee x = 1 $
Sisa : $ 6x + 5 $
*). Menyusun persamaan :
Akar-akar pembaginya adalah $ -1 $ dan $ 1 $
$\begin{align} f(-1) & = 6.(-1) + 5 \\ a(-1)^3 + 2.(-1)^2 + 5.(-1) + b & = -6 + 5 \\ -a + 2 -5 + b & = -1 \\ -a + b & = 2 \, \, \, \, \, ....\text{(i)} \\ f(1) & = 6.1 + 5 \\ a(1)^3 + 2.(1)^2 + 5.(1) + b & = 6 + 5 \\ a + 2 +5 + b & = 11 \\ a + b & = 4 \, \, \, \, \, ....\text{(ii)} \end{align} $
*).Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} -a + b = 2 & \\ \, \, a + b = 4 & + \\ \hline 2b = 6 & \\ b = 3 & \end{array} $
Pers(ii): $ a + b = 4 \rightarrow a + 3 = 4 \rightarrow a = 1 $
Sehingga nilai : $ a + 3b = 1 + 3.3 = 10 $
Jadi, nilai $ a + 3b = 10 . \, \heartsuit $

Catatan :
Jika akar-akar pembaginya tidak bisa kita peroleh, maka kita bisa menggunakan cara bagi bersusun biasa dan bisa menggunakan horner bertingkat.

Soal dan Pembahasan Simak UI 2009 Matematika Ipa Kode 914


Nomor 1
Jika suku banyak $ ax^3 + 2x^2 + 5x + b $ dibagi $ (x^2 - 1) $ menghasilkan sisa $ (6x + 5) $ , maka $ a + 3b $ sama dengan .....
A). $ 15 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 5 $
Nomor 2
Misalkan $ x_1 $ dan $ x_2 $ bilangan bulat yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ x^2-(2k+4)x+(3k+4)=0 $. Jika $ x_1, k , x_2 $ merupakan tiga suku pertama dari suatu deret geometri, maka rumus suku ke-$n$ deret tersebut adalah .....
A). $ 1 - (-1)^n \, $ B). $ 1 + (-1)^n \, $ C). $ -(-1)^n \, $
D). $ 2(-1)^n \, $ E). $ -1 $
Nomor 3
Diketahui persamaan kuadrat $ x^2 + 2px -p^2 + 7p - 6 = 0 $ . Nilai $ p $ agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar berlawanan tanda adalah .....
A). $ 1\frac{1}{2} < p < 2 \, $ atau $ p > 3 \, $ atau $ p < 1 $
B). $ 1 < p < 1\frac{1}{2} \, $ C). $ 1\frac{1}{2} < p < 3 \, $
D). $ p < 1 \, $ atau $ p > 6 $
E). $ p < 1\frac{1}{2} \, $ atau $ p > 2 $
Nomor 4
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 1} \leq \sqrt{3x^2 + x - 2 } $ adalah .....
A). $ \{ x | x \leq -1 \, \text{atau} \, x \geq \frac{1}{2} \} \, $
B). $ \{ x | x \geq 1 \, \text{atau} \, x \leq -1 \} \, $
C). $ \{ x | x \leq -1 \} \, $ D). $ \{ x | -1 \leq x \leq 1 \} \, $
E). $ \{ x | \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \} \, $
Nomor 5
Jika diketahui koordinat titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) , maka luas segitiga ABC sama dengan .....
A). $ \sqrt{14} \, $ B). $ \frac{3}{2}\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{26} \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{114} \, $

Nomor 6
Jika sudut A dan B memenuhi sistem persamaan
$ \begin{align} 2\tan A + \tan B & = 4 \\ \tan A - 3\tan B & = -\frac{17}{2} \end{align} $
maka $ \tan (2A + B) \, $ sama dengan ...
A). $ -\frac{13}{9} \, $ B). $ -\frac{11}{9} \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -\frac{7}{9} \, $ E). $ -\frac{5}{9} $
Nomor 7
Suatu barisan geometri mempunyai 3 suku pertama $ a, b, b^2 $. Jika $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ 2x^2+kx+6=0 $ , maka suku keempat dari barisan dan nilai $ k $ masing-masing adalah .....
A). 27 dan $ - 8 \, $ B). 27 dan $ 8 \, $
C). 24 dan $ -8 \, $ D). 24 dan $ -4 \, $
E). 24 dan 4
Nomor 8
Fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $ yang didefinisikan pada interval $ (0, 2\pi) $ mencapai nilai maksimum untuk $ x = .... $
A). $ \frac{\pi}{6} \, $ B). $ \frac{\pi}{4} \, $ C). $ \frac{\pi}{3} \, $ D). $ \frac{\pi}{2} \, $ E). $ \frac{3\pi}{4} $
Nomor 9
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) = ...$
A). $ \frac{5}{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{1}{2} $
Nomor 10
Jika suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ (x-1) $ , maka sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ (x-1)(x+1) $ adalah .....
A). $ \frac{-f(-1)}{2}(1+x) \, $ B). $ \frac{-f(-1)}{2}(1-x) \, $
C). $ \frac{f(-1)}{2}(1+x) \, $ D). $ \frac{f(-1)}{2}(1-x) \, $
E). $ \frac{f(-1)}{2}(x-1) $

Nomor 11
Daerah yang dibatasi oleh garis $ x = 3y $ dan kurva $ y = \sqrt{x} $ pada $ 0 \leq x \leq m $ , $ m > 0 $ terdiri dari dua bagian. Agar kedua bagian daerah tersebut mempunyai luas yang sama, maka $ m = .... $ A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 16 $
Nomor 12
Diketahui balok ABCD.EFGH dimana AB = 6 cm, BC = 8 cm, BF = 4 cm. Misalkan $ \alpha $ adalah sudut antara AH dan BD, maka $ \cos 2\alpha = .... $
A). $ \frac{61}{5\sqrt{5}} \, $ B). $ \frac{8}{5\sqrt{5}} \, $ C). $ \frac{3}{5\sqrt{5}} \, $ D). $ \frac{8}{125} \, $ E). $ \frac{3}{125} $
Nomor 13
Gunakan petunjuk C.
Akar-akar dari persamaan $ px^2-(2p+1)x+2 = 0 $ adalah $ m $ dan $ n $. Jika $ mn=1 $ , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari kebalikan $ m $ dan $ n $ adalah .....
(1). $ 2x^2 + \frac{17}{2}x + 2 = 0 \, $
(2). $ 2x^2 - \frac{17}{2}x + 2 = 0 \, $
(3). $ 4x^2 + 17x + 4 = 0 \, $
(4). $ 4x^2 - 17x + 4 = 0 \, $
Nomor 14
Gunakan petunjuk C.
Diketahui sistem persamaan berikut :
$ \begin{align} 5^{2x+y+z} & = 125 \\ 7^{3x-y+2z} & = \frac{1}{7} \\ 2^{x+2y-z} & = 64 \end{align} $
Jawaban yang sesuai adalah ....
(1). $ y - z = 3 \, $
(2). $ x = 1 \, $
(3). $ 2x + y = 3y + 2z \, $
(4). $ x + y + z = 2 \, $
Nomor 15
Gunakan petunjuk C.
Jika $ \left( \begin{matrix}\tan x & 1 \\ 1 & \tan x \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}\cos ^2 x \\ \sin x \cos x \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \frac{1}{2} $, dimana $ b = 2a $ , maka $ 0 \leq x \leq \pi $ yang memenuhi adalah ...
(1). $ \frac{\pi}{6} \, $ (2). $ \frac{\pi}{12} \, $ (3). $ \frac{5\pi}{6} \, $ (4). $ \frac{5\pi}{12} \, $

Pembahasan Aplikasi Turunan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 20.
Diberikan grafik fungsi $ f(x) = x + \frac{4}{x^2} $ , $ x \neq 0 $ , maka ...
(1). fungsi naik pada himpunan $ \{ x \in R | x < 0 \text{ atau } x > 2 \} $
(2). fungsi turun pada himpunan $ \{ x \in R | 0 < x < 2 \} $
(3). terjadi minimum lokal di titik (2,3)
(4). terjadi maksimum lokal di titik (0,0).

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat Fungsi Turun : $ f^\prime (x) < 0 $ .
*). Syarat Fungsi Naik : $ f^\prime (x) > 0 $ .
*). Syarat nilai maksimum/minimum :
$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow x_1. x_2, .... $
*). Cek di turunan kedua :
$ f^{\prime \prime } (x_1) > 0 \rightarrow \, $ jenis minimum
$ f^{\prime \prime } (x_1) = 0 \rightarrow \, $ jenis titik belok
$ f^{\prime \prime } (x_1) < 0 \rightarrow \, $ jenis maksimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan pertama :
$ \begin{align} y & = x + \frac{4}{x^2} = x + 4x^{-2} \\ y^\prime & = 1 + (-2).4x^{-3} = 1 - \frac{8}{x^3} \\ y^\prime & = \frac{x^3 - 8}{x^3} \end{align} $
*). Menentukan interval naik/turun :
$ \begin{align} y^\prime & > 0 \\ \frac{x^3 - 8}{x^3} & > 0 \\ x^3 - 8 = 0 \vee x^3 & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 0 \end{align} $
Garis bilangan :

-). Kita peroleh :
Interval naik : $ x < 0 \vee x > 2 $ (pernyataan 1 BENAR)
Interval turun : $ 0 < x < 2 $ (pernyataan 2 BENAR)
*). Menentukan Titik maksimum/minimum :
$ \begin{align} y^\prime & = 0 \\ \frac{x^3 - 8}{x^3} & = 0 \\ x^3 - 8 & = 0 \\ x & = 2 \\ f(2) & = 2 + \frac{4}{2^2} = 3 \end{align} $
-). Cek jenisnya di turunan ke dua :
$ \begin{align} y^\prime & = 1 + (-2).4x^{-3} \\ y^{\prime \prime } (x) & = (-3). (-2).4x^{-4} = \frac{24}{x^4} \\ f^{\prime \prime}(2) & = \frac{24}{2^4} = \frac{3}{2} > 0 \end{align} $
-). Karena $ f^{\prime \prime } (2) > 0 $ , maka titik (2,3) adalah minimum lokal (pernyataan 3 BENAR).
*). Dari bentuk $ f(x) = x + \frac{4}{x^2} $ , artinya $ x \neq 0 $ , sehingga titik (0,0) bukan merupakan titik maksimum lokal karena nilai $ x $ tidak boleh 0 (pernyataan 4 SALAH).
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
Jadi, jawabannya A $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Nilai dari
$ \log (\tan 2^\circ) + \log (\tan 3^\circ) + ... + \log (\tan 88^\circ) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 45 \, $ D). $ 89 \, $ E). $ 90 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ \log a + \log b = \log ab \, $ dan $ \log 1 = 0 $.
*). Sudut komplemen pada trigonometri :
$ \tan x = \cot (90^\circ - x ) = \frac{1}{\tan (90^\circ - x ) } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \log (\tan 2^\circ) + \log (\tan 3^\circ) + ... + \log (\tan 88^\circ) \\ & = \log (\tan 2^\circ. \tan 3^\circ ... \tan 45^\circ ... \tan 87^\circ \tan 88^\circ) \\ & = \log \left( \frac{1}{\tan (90^\circ -2^\circ)}. \frac{1}{\tan (90^\circ -3^\circ)} ... \tan 45^\circ ... \tan 87^\circ .\tan 88^\circ \right) \\ & = \log \left( \frac{1}{\tan 88^\circ }. \frac{1}{\tan 87^\circ } ... \tan 45^\circ ... \tan 87^\circ . \tan 88^\circ \right) \\ & = \log \left( \frac{1}{\tan 88^\circ }.\tan 88^\circ . \frac{1}{\tan 87^\circ } . \tan 87^\circ ... \tan 45^\circ \right) \\ & = \log \left( \underbrace{1.1.1...1.1}_{45 \text{kali}} . \tan 45^\circ \right) \\ & = \log \left( \underbrace{1.1.1...1.1}_{45 \text{kali}} . 1 \right) \\ & = \log 1 = 0 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Laju Perubahan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan luas sebuah segitiga sama sisi adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling segitiga adalah $ x $, maka laju perubahan luas terhadap kelilingnya sama dengan .....
A). $ \frac{\sqrt{2}}{36} x \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{36} x \, $ C). $ \frac{\sqrt{3}}{36} x^2 \, $ D). $ \frac{2\sqrt{3}}{36} x \, $ E). $ \frac{\sqrt{3}}{4} x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Laju perubahan luas adalah turunan dari rumus luasnya
*). Luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi $ a $ :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2}a.a.\sin 60^\circ = \frac{1}{4}a^2\sqrt{3} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan sisi segitiganya $ a $
-). Keliling segitiga $ = 3a $ .
$ 3a = x \rightarrow a = \frac{x}{3} $
-). Luas segitiganya (L) : $ L = \frac{1}{4}a^2\sqrt{3} $
$\begin{align} L & = \frac{1}{4}a^2\sqrt{3} \\ & = \frac{1}{4} \left( \frac{x}{3} \right)^2\sqrt{3} \\ & = \frac{1}{4} \left( \frac{x^2}{9} \right) \sqrt{3} \\ & = \frac{x^2}{36} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2 \end{align} $
*). Menentukan laju perubahan luas dengan turunan pertama luasnya :
$\begin{align} L & = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2 \\ L^\prime & = 2. \frac{\sqrt{3}}{36}x \\ & = \frac{2\sqrt{3}}{36}x \\ \end{align} $
Jadi, laju perubahan luasnya adalah $ \frac{2\sqrt{3}}{36}x . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Grafik Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan grafik di atas adalah .....
A). $ y = -2 \cos 2x \, $ B). $ y = 2 \cos \frac{3}{2}x \, $
C). $ y = -2 \cos \frac{3}{2}x \, $ D). $ y = 2 \sin \frac{3}{2}x \, $
E). $ y = -2 \sin \frac{3}{2}x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui suatu grafik, maka cara termudah untuk menentukan fungsinya adalah dengan substitusi titik yang dilalui oleh grafik ke opsionnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Grafik melalui titik $ (0,-2) $ artinya $ x = 0 $ dan $ y = -2 $ , substitusi ke fungsi pada optionnya :
A). $ y = -2 \cos 2x \rightarrow y = -2 \cos 2.0 = -2 \, $ (BENAR)
B). $ y = 2 \cos \frac{3}{2}x \rightarrow y = 2 \cos\frac{3}{2}. 0 = 2 \, $ (SALAH)
C). $ y = -2 \cos \frac{3}{2}x \rightarrow y = -2 \cos \frac{3}{2} . 0 = -2 \, $ (BENAR)
D). $ y = 2 \sin \frac{3}{2}x \rightarrow y = 2 \sin \frac{3}{2}. 0 = 0 \, $ (SALAH)
E). $ y = -2 \sin \frac{3}{2}x \rightarrow y = -2 \sin \frac{3}{2} . 0 = 0 \, $ (SALAH)
Yang tersisa opsion A dan C.
*). Grafik melalui titik $ (\pi , 0) $ artinya $ x = \pi $ dan $ y = 0 $ , substitusi ke fungsi pada option A dan C :
A). $ y = -2 \cos 2x \rightarrow y = -2 \cos 2. \pi = -2 \, $ (SALAH)
C). $ y = -2 \cos \frac{3}{2}x \rightarrow y = -2 \cos \frac{3}{2} . \pi = 0 \, $ (BENAR)
Yang tersisa opsion C, artinya fungsi $ y = -2\cos \frac{3}{2} x $ yang memenuhi.
Jadi, fungsinya adalah $ y = -2\cos \frac{3}{2} x . \, \heartsuit $

Pembahasan Grafik Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan grafik di atas adalah .....
A). $ y = -2 \cos 2x \, $ B). $ y = 2 \cos \frac{3}{2}x \, $
C). $ y = -2 \cos \frac{3}{2}x \, $ D). $ y = 2 \sin \frac{3}{2}x \, $
E). $ y = -2 \sin \frac{3}{2}x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Grafik fungsi trigonometri kosinus : $ y = a\cos kx $
-). Periode $ = \frac{2\pi}{k} $
-). 1 periode terdiri dari satu bukit dan 1 lembah.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan fungsinya : $ y = a\cos kx $
*). Grafik melalui titik $ (0,-2) $ , substitusi ke fungsinya :
$\begin{align} y & = a\cos kx \\ -2 & = a\cos k.0 \\ -2 & = a\cos 0 \\ -2 & = a. 1 \\ -2 & = a \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ y = -2\cos kx $
*). Grafik pada memotong sumbu X di $ \pi $ dimana dari $ 0 $ sampai $ \pi $ terbentuk $ \frac{3}{4} $ periode, sehingga $ \frac{3}{4} \text{periode } = \pi \rightarrow \text{periode } = \frac{4\pi}{3} $ .
*). Menentukan nilai $ k $ dengan periode $ \frac{4\pi}{3} $ .
$\begin{align} \text{periode } & = \frac{2\pi}{k} \\ \frac{4\pi}{3} & = \frac{2\pi}{k} \\ k & = \frac{3}{2} \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ y = -2\cos \frac{3}{2} x $
Jadi, fungsinya adalah $ y = -2\cos \frac{3}{2} x . \, \heartsuit $