Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 417

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = 2x^3 - 6ax + b $ , $ a > 0 $ , maka ....
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $
(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $
(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $
(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ dan turunannya $ f^\prime (x) $
-). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum atau minimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan selalu naik jika setiap $ x $ berlaku $ f^\prime (x) > 0 $
-). Cek jenis stasioner untuk $ x_1 $ yang memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $ :
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 $ , maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 $ , maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 $ , maka jenisnya maksimum.
*). Bentuk akar : $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ y = 2x^3 - 6ax + b $
$ y^\prime = 6x^2 - 6a $
$ y^{\prime \prime } = 12x $
-). Syarat stasioner : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 6x^2 - 6a & = 0 \\ x^2 & = a \\ x & = \pm \sqrt{a} \end{align} $
artinya $ y $ stasioner saat $ x = \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $ atau $ x = - \sqrt{a} = - a^\frac{1}{2} $
-). Cek Turunan kedua :
$ \begin{align} x = \sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = 12\sqrt{a} > 0 \, (\text{min}) \\ x = -\sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = -12\sqrt{a} < 0 \, (\text{max}) \end{align} $
artinya $ y $ minimum saat $ x = \sqrt{a} $ dan maksimum saat $ x = -\sqrt{a} $

Kita cek setiap pernyataan :
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $ ?
minimum saat $ x = \sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{min} & = 2(\sqrt{a})^3 - 6a.\sqrt{a} + b \\ & = 2a^\frac{3}{2} - 6a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = 2a^\frac{3}{2} - 6a^\frac{3}{2} + b \\ & = -4 a^\frac{3}{2} + b \\ & = b -4 a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (1) SALAH.

(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $ ?
Pernyataan (2) SALAH.

(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $ ?
minimum saat $ x = -\sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{max} & = 2(-\sqrt{a})^3 - 6a.(-\sqrt{a}) + b \\ & = -2 a^\frac{3}{2} + 6a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = -2 a^\frac{3}{2} + 6a^\frac{3}{2} + b \\ & = 4 a^\frac{3}{2} + b \\ & = b + 4 a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (3) SALAH.

(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $ ?
Syarat naik : $ y^\prime > 0 $
$ 6x^2 - 6a > 0 \rightarrow x = \pm \sqrt{a} $
 
Naik pada interval $ x < -\sqrt{a} $ atau $ x > \sqrt{a} $
atau dapat ditulis : $ \left( -\infty , -\sqrt{a} \right) $ atau $ \left( \sqrt{a} , \infty \right) $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan (4) saja yang BENAR. Jawabannya D
Jadi, pernyataan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 417

Soal yang Akan Dibahas
Jika diberikan $ a+\sqrt{3}b-2c=1 $ , $ 3b^2+c^2=2a^2 $ , dan $ a^2+4ac=5c^2 $ , maka nilai $ b $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{5} \, $ C). $ \frac{2\sqrt{3}}{5} \, $ D). $ \frac{\sqrt{3}}{6} \, $ E). $ \frac{5\sqrt{3}}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa dengan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui sistem persamaan :
$ a+\sqrt{3}b-2c=1 \rightarrow a- 2c = 1 - \sqrt{3}b $ ...(i)
$ 3b^2+c^2=2a^2 \rightarrow 2a^2 - c^2 = 3b^2 $ .....(ii)
$ a^2+4ac=5c^2 \rightarrow 4ac = 5c^2 - a^2 $ ......(iii)
*). kuadratkan pers(i) :
$\begin{align} (a- 2c)^2 & = (1 - \sqrt{3}b)^2 \\ a^2 + 4c^2 - 4ac & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \, \, \, \, \, \text{.....(iv)} \end{align} $
*). Substitusi pers(iii) ke pers(iv) :
$\begin{align} a^2 + 4c^2 - 4ac & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ a^2 + 4c^2 - (5c^2 - a^2) & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ a^2 + 4c^2 - 5c^2 + a^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ 2a^2 - c^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \, \, \, \, \, \text{.....(v)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke pers(v) :
$\begin{align} 2a^2 - c^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ 3b^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ 2\sqrt{3}b & = 1 \\ b & = \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ b & = \frac{1}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \frac{\sqrt{3}}{6} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Soal dan Pembahasan Simak UI 2018 Matematika Ipa Kode 417


Nomor 1
DIketahui suku banyak $ f(x) $ dibagi $ 2x^2 - x - 1 $ bersisa $ 4ax-b $ dan dibagi $ 2x^2 + 3x + 1 $ bersisa $ -2bx+a-11$. Jika $ f(x-2) $ habis dibagi oleh $ x-3 $, maka $ a + 2b + 6 = .... $
A). $ 18 \, $ B). $ 17 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 12 $
Nomor 2
Himpunan penyelesaian $ 16 - x^2 \leq |x+4| $ adalah ....
A). $ \{ x \in R : -4 \leq x \leq 4 \} \, $
B). $ \{ x \in R : -4 \leq x \leq 3 \} \, $
C). $ \{ x \in R : x \leq -4 \text{ atau } x \geq 4 \} \, $
D). $ \{ x \in R : 0 \leq x \leq 3 \} \, $
E). $ \{ x \in R : x \leq -4 \text{ atau } x \geq 3 \} $
Nomor 3
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $ 2\sin ^2 x - \cos x = 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \pi \, $ D). $ \frac{4}{3}\pi \, $ E). $ 2\pi $
Nomor 4
$ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^3 - 64}{ \sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}} = ... $
A). $ 18 \, $ B). $ 48 \, $ C). $ 128 \, $ D). $ 248 \, $ E). $ 768 \, $
Nomor 5
Jika $ f(x) $ fungsi kontinu di interval $ [1,30] $ dan $ \int \limits_6^{30} f(x) dx = 30 $ , maka $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 27 \, $

Nomor 6
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 cm. M adalah titik tengah AB. Luas irisan bidang yang melalui FDM dengan kubus ABCD.EFGH adalah ..... cm$^2$
A). $ 2 \, $ B). $ 2,5 \, $ C). $ 2\sqrt{2} \, $ D). $ 2\sqrt{6} \, $ E). $ 5 $
Nomor 7
DIberikan kubus ABCD.EFGH. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP:PG=5:2$ . Jika $ \alpha $ adalah sudut terbesar yang terbentuk antara rusuk CG dan bidang PBD, maka $ \sin \alpha = .... $
A). $ -\frac{7\sqrt{11}}{33} \, $ B). $ -\frac{7\sqrt{11}}{44} \, $ C). $ \frac{7\sqrt{11}}{33} \, $ D). $ \frac{7\sqrt{11}}{44} \, $ E). $ \frac{7\sqrt{11}}{55} $
Nomor 8
Jika $ 3^x + 5^y = 18 $, maka nilai maksimum $ 3^x.5^y $ adalah ....
A). $ 72 \, $ B). $ 80 \, $ C). $ 81 \, $ D). $ 86 \, $ E). $ 88 $
Nomor 9
Diketahui $ sx-y=0 $ adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya berada di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu X. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu X dan titik pusatnya dilalui garis $ x = -2 $ , maka nilai $ 3s $ adalah ....
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
Nomor 10
Jika kurva $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $ selalu berada di atas sumbu X, bilangan bulat terkecil $ a - 2 $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

Nomor 11
Jika diberikan $ a+\sqrt{3}b-2c=1 $ , $ 3b^2+c^2=2a^2 $ , dan $ a^2+4ac=5c^2 $ , maka nilai $ b $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{5} \, $ C). $ \frac{2\sqrt{3}}{5} \, $ D). $ \frac{\sqrt{3}}{6} \, $ E). $ \frac{5\sqrt{3}}{6} $
Nomor 12
Diketahui sebuah barisan $ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16} , .... $ Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{12}} \, $ C). $ \frac{3}{2^{11}} \, $ D). $ \frac{3}{2^{12}} \, $ E). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} $
Nomor 13
Gunakan petunjuk C.
Jika vektor $ \vec{u} = (2, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (4, 10, -8) $, maka ....
(1). $ \vec{u} + k\vec{v} $ tegak lurus $ \vec{u} $ bila $ k = \frac{17}{18} $
(2). sudut antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah tumpul
(3). $ || \text{proy}_\vec{u} \vec{v} || = 6 $
(4). jarak antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ sama dengan $ || \vec{u} + \vec{v} || $
Nomor 14
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = 2x^3 - 6ax + b $ , $ a > 0 $ , maka ....
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $
(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $
(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $
(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $
Nomor 15
Gunakan petunjuk C.
$ \frac{2\tan x}{1 + \tan ^2 x} = .... $
(1). $ \cot 2x \, $
(2). $ 2\sin x \cos x \, $
(3). $ \tan x \sec x \, $
(4). $ \sin 2x \, $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 416

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ S_n \, $ adalah jumlah sampai suku ke-$n$ dari barisan geometri, $ S_1 + S_6 = 1024 $ , dan $ S_3 \times S_4 = 1023 $ , maka $ \frac{S_{11}}{S_8} = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 254 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus $ U_n $ dan $ S_n $ barisan geometri :
$ U_n = ar^{n-1} $
$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio
$ S_1 = U_1 = a $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ S_1 + S_6 = 1024 $ , dan $ S_3 \times S_4 = 1023 $
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama : $ S_1 + S_6 = 1024 $
$\begin{align} S_1 + S_6 & = 1024 \\ a + \frac{a(r^6-1)}{r-1} & = 1024 \\ a \left( 1 + \frac{(r^6-1)}{r-1} \right) & = 1024 \\ a \left( \frac{r-1}{r-1} + \frac{r^6-1}{r-1} \right) & = 1024 \\ a \left( \frac{r^6 + r-2}{r-1} \right) & = 1024 \\ \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} & = a \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). persamaan kedua : $ S_3 \times S_4 = 1023 $
dan substitusikan $ a = \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} $ ke pers(ii)
$\begin{align} S_3 \times S_4 & = 1023 \\ \frac{a(r^3-1)}{r-1} \times \frac{a(r^4-1)}{r-1} & = 1023 \\ a^2 . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \left( \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} \right)^2 . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \frac{1024^2(r-1)^2}{(r^6 + r - 2)^2} . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \frac{1024^2(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} & = 1023 \\ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} & = \frac{1023}{1024^2} \end{align} $
*). Kita peroleh bentuk persamaan terakhir yaitu :
$ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} = \frac{1023}{1024^2} $
Nah dari persamaan terakhir ini kita akan menentukan nilai $ r $, hanya saja sulit untuk dikerjakan.
*). Pertanyaan akhirnya :
$ \begin{align} \frac{S_{11}}{S_8} & = \frac{\frac{a(r^{11} - 1)}{r-1} }{\frac{a(r^{8} - 1)}{r-1} } = \frac{r^{11} - 1}{r^8 -1} \end{align} $

Catatan :
-). Karena kita belum bisa menemukan nilai $ r $, maka soal ini belum bisa terjawab.
-). Jika dari pembaca telah menemukan cara menentukan $ r $ atau ide lainnya, mohon untuk share di kolom komentar ya untuk bisa menyelesaikan soal ini.
-). Mudah-mudahan soalnya tidak salah ya karena soal di tahun 2018 ini ada juga soal yang salah pertanyaannya, coba ikuti link berikut ini :
"Pembahasan barisan simak ui 2018 matipa kode 414"

Lanjutan pembahasan soal ini:
*). Persamaan ini $ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} = \frac{1023}{1024^2} $ tidak memiliki penyelesaian bilangan bulat. Sehingga secara normal pada saat test sulit bagi kita untuk mengerjakan soal ini. Untuk menyelesaikannya kita bisa menggunakan metode coba-coba atau menggunakan software atau pendekatan lainnya. Dengan metode coba-coba, kita mulai dari $ r =2 $, $ r = 3 $, dan $ r = 4 $. Ternyataan persamaan tersebut memiliki penyelesaian antara $ 3 < r < 4 $. Sehingga kita coba pilih nilai $ r $ pembulatan keatas yaitu $ r = 4 $ dan pembulatan ke bawahnya yaitu $ r = 3 $.

*). Menentukan hasil akhir untuk $ r = 4 $:
$ \begin{align} \frac{S_{11}}{S_8} & = \frac{\frac{a(r^{11} - 1)}{r-1} }{\frac{a(r^{8} - 1)}{r-1} } = \frac{r^{11} - 1}{r^8 -1} \\ & = \frac{4^{11} - 1}{4^8 -1} \\ & = 64, 0009613 \end{align} $
Kita bulatkan menjadi 64.

*). Menentukan hasil akhir untuk $ r = 3 $:
$ \begin{align} \frac{S_{11}}{S_8} & = \frac{\frac{a(r^{11} - 1)}{r-1} }{\frac{a(r^{8} - 1)}{r-1} } = \frac{r^{11} - 1}{r^8 -1} \\ & = \frac{3^{11} - 1}{3^8 -1} \\ & = 27,0039634 \end{align} $
Kita bulatkan menjadi 27.

dioption yang ada yaitu 64.
Jadi, nilai dari $ \frac{S_{11}}{S_8} = 64 $ (hasil pembulatan).

Saran:
-). Jika menemukan bentuk soal seperti ini ketika test, sebaiknya dilewatkan saja karena membutuhkan waktu yang cukup banyak untuk menyelesaikannya. Terlebih lagi melibatkan bentuk pangkat yang angkanya cukup besar.

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)