Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 417

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = 2x^3 - 6ax + b $ , $ a > 0 $ , maka ....
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $
(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $
(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $
(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ dan turunannya $ f^\prime (x) $
-). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum atau minimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan selalu naik jika setiap $ x $ berlaku $ f^\prime (x) > 0 $
-). Cek jenis stasioner untuk $ x_1 $ yang memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $ :
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 $ , maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 $ , maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 $ , maka jenisnya maksimum.
*). Bentuk akar : $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ y = 2x^3 - 6ax + b $
$ y^\prime = 6x^2 - 6a $
$ y^{\prime \prime } = 12x $
-). Syarat stasioner : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 6x^2 - 6a & = 0 \\ x^2 & = a \\ x & = \pm \sqrt{a} \end{align} $
artinya $ y $ stasioner saat $ x = \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $ atau $ x = - \sqrt{a} = - a^\frac{1}{2} $
-). Cek Turunan kedua :
$ \begin{align} x = \sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = 12\sqrt{a} > 0 \, (\text{min}) \\ x = -\sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = -12\sqrt{a} < 0 \, (\text{max}) \end{align} $
artinya $ y $ minimum saat $ x = \sqrt{a} $ dan maksimum saat $ x = -\sqrt{a} $

Kita cek setiap pernyataan :
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $ ?
minimum saat $ x = \sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{min} & = 2(\sqrt{a})^3 - 6a.\sqrt{a} + b \\ & = 2a^\frac{3}{2} - 6a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = 2a^\frac{3}{2} - 6a^\frac{3}{2} + b \\ & = -4 a^\frac{3}{2} + b \\ & = b -4 a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (1) SALAH.

(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $ ?
Pernyataan (2) SALAH.

(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $ ?
minimum saat $ x = -\sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{max} & = 2(-\sqrt{a})^3 - 6a.(-\sqrt{a}) + b \\ & = -2 a^\frac{3}{2} + 6a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = -2 a^\frac{3}{2} + 6a^\frac{3}{2} + b \\ & = 4 a^\frac{3}{2} + b \\ & = b + 4 a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (3) SALAH.

(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $ ?
Syarat naik : $ y^\prime > 0 $
$ 6x^2 - 6a > 0 \rightarrow x = \pm \sqrt{a} $
 

Naik pada interval $ x < -\sqrt{a} $ atau $ x > \sqrt{a} $
atau dapat ditulis : $ \left( -\infty , -\sqrt{a} \right) $ atau $ \left( \sqrt{a} , \infty \right) $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan (4) saja yang BENAR. Jawabannya D
Jadi, pernyataan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 417

Soal yang Akan Dibahas
Jika diberikan $ a+\sqrt{3}b-2c=1 $ , $ 3b^2+c^2=2a^2 $ , dan $ a^2+4ac=5c^2 $ , maka nilai $ b $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{5} \, $ C). $ \frac{2\sqrt{3}}{5} \, $ D). $ \frac{\sqrt{3}}{6} \, $ E). $ \frac{5\sqrt{3}}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa dengan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui sistem persamaan :
$ a+\sqrt{3}b-2c=1 \rightarrow a- 2c = 1 - \sqrt{3}b $ ...(i)
$ 3b^2+c^2=2a^2 \rightarrow 2a^2 - c^2 = 3b^2 $ .....(ii)
$ a^2+4ac=5c^2 \rightarrow 4ac = 5c^2 - a^2 $ ......(iii)
*). kuadratkan pers(i) :
$\begin{align} (a- 2c)^2 & = (1 - \sqrt{3}b)^2 \\ a^2 + 4c^2 - 4ac & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \, \, \, \, \, \text{.....(iv)} \end{align} $
*). Substitusi pers(iii) ke pers(iv) :
$\begin{align} a^2 + 4c^2 - 4ac & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ a^2 + 4c^2 - (5c^2 - a^2) & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ a^2 + 4c^2 - 5c^2 + a^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ 2a^2 - c^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \, \, \, \, \, \text{.....(v)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke pers(v) :
$\begin{align} 2a^2 - c^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ 3b^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ 2\sqrt{3}b & = 1 \\ b & = \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ b & = \frac{1}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \frac{\sqrt{3}}{6} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan Simak UI 2018 Matematika Ipa Kode 417


Nomor 1
DIketahui suku banyak $ f(x) $ dibagi $ 2x^2 - x - 1 $ bersisa $ 4ax-b $ dan dibagi $ 2x^2 + 3x + 1 $ bersisa $ -2bx+a-11$. Jika $ f(x-2) $ habis dibagi oleh $ x-3 $, maka $ a + 2b + 6 = .... $
A). $ 18 \, $ B). $ 17 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 12 $
Nomor 2
Himpunan penyelesaian $ 16 - x^2 \leq |x+4| $ adalah ....
A). $ \{ x \in R : -4 \leq x \leq 4 \} \, $
B). $ \{ x \in R : -4 \leq x \leq 3 \} \, $
C). $ \{ x \in R : x \leq -4 \text{ atau } x \geq 4 \} \, $
D). $ \{ x \in R : 0 \leq x \leq 3 \} \, $
E). $ \{ x \in R : x \leq -4 \text{ atau } x \geq 3 \} $
Nomor 3
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $ 2\sin ^2 x - \cos x = 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \pi \, $ D). $ \frac{4}{3}\pi \, $ E). $ 2\pi $
Nomor 4
$ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^3 - 64}{ \sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}} = ... $
A). $ 18 \, $ B). $ 48 \, $ C). $ 128 \, $ D). $ 248 \, $ E). $ 768 \, $
Nomor 5
Jika $ f(x) $ fungsi kontinu di interval $ [1,30] $ dan $ \int \limits_6^{30} f(x) dx = 30 $ , maka $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 27 \, $

Nomor 6
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 cm. M adalah titik tengah AB. Luas irisan bidang yang melalui FDM dengan kubus ABCD.EFGH adalah ..... cm$^2$
A). $ 2 \, $ B). $ 2,5 \, $ C). $ 2\sqrt{2} \, $ D). $ 2\sqrt{6} \, $ E). $ 5 $
Nomor 7
DIberikan kubus ABCD.EFGH. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP:PG=5:2$ . Jika $ \alpha $ adalah sudut terbesar yang terbentuk antara rusuk CG dan bidang PBD, maka $ \sin \alpha = .... $
A). $ -\frac{7\sqrt{11}}{33} \, $ B). $ -\frac{7\sqrt{11}}{44} \, $ C). $ \frac{7\sqrt{11}}{33} \, $ D). $ \frac{7\sqrt{11}}{44} \, $ E). $ \frac{7\sqrt{11}}{55} $
Nomor 8
Jika $ 3^x + 5^y = 18 $, maka nilai maksimum $ 3^x.5^y $ adalah ....
A). $ 72 \, $ B). $ 80 \, $ C). $ 81 \, $ D). $ 86 \, $ E). $ 88 $
Nomor 9
Diketahui $ sx-y=0 $ adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya berada di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu X. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu X dan titik pusatnya dilalui garis $ x = -2 $ , maka nilai $ 3s $ adalah ....
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
Nomor 10
Jika kurva $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $ selalu berada di atas sumbu X, bilangan bulat terkecil $ a - 2 $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

Nomor 11
Jika diberikan $ a+\sqrt{3}b-2c=1 $ , $ 3b^2+c^2=2a^2 $ , dan $ a^2+4ac=5c^2 $ , maka nilai $ b $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{5} \, $ C). $ \frac{2\sqrt{3}}{5} \, $ D). $ \frac{\sqrt{3}}{6} \, $ E). $ \frac{5\sqrt{3}}{6} $
Nomor 12
Diketahui sebuah barisan $ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16} , .... $ Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{12}} \, $ C). $ \frac{3}{2^{11}} \, $ D). $ \frac{3}{2^{12}} \, $ E). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} $
Nomor 13
Gunakan petunjuk C.
Jika vektor $ \vec{u} = (2, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (4, 10, -8) $, maka ....
(1). $ \vec{u} + k\vec{v} $ tegak lurus $ \vec{u} $ bila $ k = \frac{17}{18} $
(2). sudut antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah tumpul
(3). $ || \text{proy}_\vec{u} \vec{v} || = 6 $
(4). jarak antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ sama dengan $ || \vec{u} + \vec{v} || $
Nomor 14
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = 2x^3 - 6ax + b $ , $ a > 0 $ , maka ....
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $
(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $
(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $
(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $
Nomor 15
Gunakan petunjuk C.
$ \frac{2\tan x}{1 + \tan ^2 x} = .... $
(1). $ \cot 2x \, $
(2). $ 2\sin x \cos x \, $
(3). $ \tan x \sec x \, $
(4). $ \sin 2x \, $

Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 416

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ S_n \, $ adalah jumlah sampai suku ke-$n$ dari barisan geometri, $ S_1 + S_6 = 1024 $ , dan $ S_3 \times S_4 = 1023 $ , maka $ \frac{S_{11}}{S_8} = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 254 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus $ U_n $ dan $ S_n $ barisan geometri :
$ U_n = ar^{n-1} $
$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio
$ S_1 = U_1 = a $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ S_1 + S_6 = 1024 $ , dan $ S_3 \times S_4 = 1023 $
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama : $ S_1 + S_6 = 1024 $
$\begin{align} S_1 + S_6 & = 1024 \\ a + \frac{a(r^6-1)}{r-1} & = 1024 \\ a \left( 1 + \frac{(r^6-1)}{r-1} \right) & = 1024 \\ a \left( \frac{r-1}{r-1} + \frac{r^6-1}{r-1} \right) & = 1024 \\ a \left( \frac{r^6 + r-2}{r-1} \right) & = 1024 \\ \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} & = a \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). persamaan kedua : $ S_3 \times S_4 = 1023 $
dan substitusikan $ a = \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} $ ke pers(ii)
$\begin{align} S_3 \times S_4 & = 1023 \\ \frac{a(r^3-1)}{r-1} \times \frac{a(r^4-1)}{r-1} & = 1023 \\ a^2 . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \left( \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} \right)^2 . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \frac{1024^2(r-1)^2}{(r^6 + r - 2)^2} . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \frac{1024^2(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} & = 1023 \\ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} & = \frac{1023}{1024^2} \end{align} $
*). Kita peroleh bentuk persamaan terakhir yaitu :
$ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} = \frac{1023}{1024^2} $
Nah dari persamaan terakhir ini kita akan menentukan nilai $ r $, hanya saja sulit untuk dikerjakan.
*). Pertanyaan akhirnya :
$ \begin{align} \frac{S_{11}}{S_8} & = \frac{\frac{a(r^{11} - 1)}{r-1} }{\frac{a(r^{8} - 1)}{r-1} } = \frac{r^{11} - 1}{r^8 -1} \end{align} $

Catatan :
-). Karena kita belum bisa menemukan nilai $ r $, maka soal ini belum bisa terjawab.
-). Jika dari pembaca telah menemukan cara menentukan $ r $ atau ide lainnya, mohon untuk share di kolom komentar ya untuk bisa menyelesaikan soal ini.
-). Mudah-mudahan soalnya tidak salah ya karena soal di tahun 2018 ini ada juga soal yang salah pertanyaannya, coba ikuti link berikut ini :
"Pembahasan barisan simak ui 2018 matipa kode 414"