Pembahasan Turunan Maksimum Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 3^x + 5^y = 18 $, maka nilai maksimum $ 3^x.5^y $ adalah ....
A). $ 72 \, $ B). $ 80 \, $ C). $ 81 \, $ D). $ 86 \, $ E). $ 88 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). FUngsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum untuk $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
(turunan pertamanya = 0 )

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ a = 3^x $ dan $ b = 5^y $ :
*). soalnya menjadi :
$ 3^x + 5^y = 18 \rightarrow a + b = 18 $
$ \rightarrow a = 18 - b \, $ .....(i)
-). Nilai maksimum $ 3^x.5^y $ sama saja dengan $ a.b $
misalkan $ ab = K $
*). Menyusun fungsinya :
$\begin{align} ab & = (18 - b).b \\ K & = 18b - b^2 \\ K^\prime & = 18 - 2b \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum : $ K^\prime = 0 $
$\begin{align} K^\prime & = 0 \\ 18 - 2b & = 0 \\ b & = \frac{18}{2} = 9 \end{align} $
Artinya $ ab $ maksimum saat $ b = 9 $
Nilai $ a = 18 - b = 18 - 9 = 9 $
*). Menentukan nilai maksimum $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 9.9 = 81 \end{align} $
Jadi, nilai maksiumnya adalah $ ab = 81 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Sudut Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
DIberikan kubus ABCD.EFGH. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP:PG=2:3$ . Jika $ \alpha $ adalah sudut terbesar yang terbentuk antara rusuk CG dan bidang PBD, maka $ \tan \alpha = .... $
A). $ -\frac{2\sqrt{2}}{5} \, $ B). $ -\frac{5\sqrt{2}}{4} \, $ C). $ \frac{2\sqrt{2}}{5} \, $ D). $ \frac{5\sqrt{2}}{4} \, $ E). $ \frac{\sqrt{2}}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus perbandingan dasar trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \tan x = \frac{depan}{samping} $
*). Hubungan kuadran :
$ \tan (180^\circ - x) = -\tan x $
*). Sudut berpelurus jumlahnya $ 180^\circ $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 

Misalkan panjang rusuk kubus $ = 5 $
-). Sudut terkecil yang dibentuk CG dan PBD adalah $ \angle QPC $
-). SUdut terbesar yang dibentuk CG dan PBD adalah $ \angle QPG = \alpha $
-). Panjang $ AC = 5\sqrt{2} $
-). Panjang $ QC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} . 5\sqrt{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} $
*). Perhatikan segitiga QPC :
$\begin{align} \tan \angle QPC & = \frac{QC}{CP} \\ & = \frac{\frac{5}{2}\sqrt{2}}{2} \\ & = \frac{5\sqrt{2}}{4} \end{align} $
*). Menentukan besar $ \tan \alpha $ :
$\begin{align} \angle QPG + \angle QPC & = 180^\circ \\ \angle QPG & = 180^\circ - \angle QPC \\ \angle \alpha & = 180^\circ - \angle QPC \\ \tan \angle \alpha & = \tan ( 180^\circ - \angle QPC ) \\ & = - \tan \angle QPC \\ & = - \frac{5\sqrt{2}}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan \alpha = -\frac{5\sqrt{2}}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan permukaan berbahan karton. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP : PG = 4:3 $. Jika bidang PBD membagi kubus menjadi dua bagian, perbandingan luas permukaan karton adalah ....
A). $ 23:7 \, $ B). $ 23:6 \, $ C). $ 23:5 \, $ D). $ 23:4 \, $ E). $ 23:3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas permukaan kubus $ = 6s^2 $
dengan $ s = \, $ panjang rusuk kubus.
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} .a.t $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 

Misalkan panjang rusuk kubus $ = 7 $
-). Karton digunakan untuk menutupi permukaan kubus.
-). Karena yang ditanya perbandingan luas karton, maka kita cukup menghitung luas yang tertutupi oleh karton saja.
-). Bagian kecil, luas kartonnya : $\Delta BCD, \Delta BCP, \Delta DCP $
-). Bagian besar, luas kartonnya : $ \Delta ABD, ABFE, ADHE, BPGF, DPGH $
*). Luas permukaan seluruh kubus :
$\begin{align} \text{L kubus } & = 6s^2 \\ & = 6 . 7^2 = 294 \end{align} $
*). Luas bagian kecil karton :
$\begin{align} \text{L kecil } & = L \, \Delta BCD + 2 \times L \, \Delta BCP \\ & = \frac{1}{2} . 7.7 + 2 \times \frac{1}{2} . 7.4 \\ & = \frac{49}{2} + \frac{56}{2} = \frac{105}{2} \end{align} $
*). Luas bagian besar karton :
$\begin{align} \text{L besar } & = \text{L kubus } - \text{ L kecil } \\ & = 294 - \frac{105}{2} \\ & = \frac{483}{2} \end{align} $
*). Perbandingan luas permukaan karton :
$\begin{align} \text{L besar } : \text{L kecil } & = \frac{483}{2} : \frac{105}{2} \\ & = 483 : 105 \\ & = 23 : 5 \end{align} $
Jadi, perbandingan luasnya adalah $ 23 : 5 . \, \heartsuit $