Hallow sobat, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja.
Pada kali ini saya akan sharing pembmahasan soal SIMAK UI Matematika IPA KA1 tahun 2014. Bagaimana menurut teman-teman soal matematika IPA KA1 tahun 2014 ini, menantangkan ? Yah, itu benar, sangat menantang. Sampai-sampai sulit untuk dikerjakan. Untuk soal nomor 1 sampai nomor 5, ada satu soal yang belum ketemu jawabannya yaitu nomor 1, padahal soalnya menurut saya relatif mudah yaitu penerapan Persamaan kuadrat baru. Mohon teman-teman Cek ya, mungkin ada salah dalah perhitungan atau konsepnya. Sementara untuk nomor 3, kelihatannya sulit karena menggunakan konsep logaritma dan bentuk mutlak. dan harus teliti karena melibatkan syarat logaritma.
Soal nomor 2 matematika ipa KA1, menurut saya juga menantang, karena melibatkan fungsi, polinomial , dan analisis aljabar. pokoknya keren menurut saya. Semoga penjelasan kami bisa dimengerti dengan baik dan kalau ada alternatif penyelesaian, mohon di share ya, terima kasih. Nah untuk soal nomor 4, sebenarnya lebih mudah karena menggunakan konsep barisan dan deret aritmatika, hanya saja harus melibatkan turunan untuk menentukan nilai maksimumnya. Dan yang terakhir pada pmbahasan nomor 5, kami langsung memilih nilai vektor $ \vec{a} $ dari opsinya dan mengalikan dengan vektor $ \vec{d} $ yang hasilnya harus nol.
Untuk pembahasan lengkap soal simak ui matematika IPA KA1 tahun 2014, langsung saja bisa dilihat berikut ini untuk nomor 1 sampai nomor 5. selamat belajar.
Nomor 1
Jika $m$ dan $n$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2+x-2=0$ , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $m^3-n^2$ dan $n^3-m^2$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar
$2x^2+x-2=0 \rightarrow a= 2 , \, b=1, \, c=-2 \, \, $ dengan akar-akar $ m $ dan $ n $
$m+n = \frac{-b}{a} = \frac{-1}{2} , \, \, mn = \frac{c}{a} = \frac{-2}{2} = - 1 $
* $m^2+n^2 = (m+n)^2 - 2mn = (-\frac{1}{2})^2 - 2. (-1) = \frac{9}{4} $
* $ m^3 + n^3 = (m^2+n^2)(m+n) - mn(m+n) $
$ = \frac{9}{4}.(\frac{-1}{2}) - (-1). (\frac{-1}{2}) = -\frac{13}{8} $
* $ m^5 + n^5 = (m^3+n^3).(m^2+n^2)-(mn)^2(m+n) $
$ = (\frac{-13}{8}).(\frac{9}{4}) - (-1)^2.(\frac{-1}{2}) = -\frac{101}{32} $
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan kuadrat dengan akar-akar $ m^3-n^2 $ dan $ n^3-m^2 $
Rumus dasar : $ x^2 - (HJ)x + HK = 0 $
$\begin{align} HJ & = (m^3-n^2) + (n^3-m^2) \\ & = (m^3+n^3) - (m^2+n^2) \\ & = -\frac{13}{8} - \frac{9}{4} \\ & = - \frac{31}{8} \end{align}$
$\begin{align} HK & = (m^3-n^2).(n^3-m^2) \\ & = (mn)^3 + (mn)^2 - (m^5+n^5) \\ & = (-1)^3 + (-1)^2 - ( -\frac{101}{32} ) \\ & = \frac{101}{32} \end{align}$
Sehingga PK nya adalah
$ x^2 - (HJ)x + HK = 0 \rightarrow x^2 - (- \frac{31}{8})x + \frac{101}{32} = 0 $
$ \rightarrow 32x^2 + 124x + 101 = 0 $
Jadi, PK nya adalah $ 32x^2 + 124x + 101 = 0 . \heartsuit $
$2x^2+x-2=0 \rightarrow a= 2 , \, b=1, \, c=-2 \, \, $ dengan akar-akar $ m $ dan $ n $
$m+n = \frac{-b}{a} = \frac{-1}{2} , \, \, mn = \frac{c}{a} = \frac{-2}{2} = - 1 $
* $m^2+n^2 = (m+n)^2 - 2mn = (-\frac{1}{2})^2 - 2. (-1) = \frac{9}{4} $
* $ m^3 + n^3 = (m^2+n^2)(m+n) - mn(m+n) $
$ = \frac{9}{4}.(\frac{-1}{2}) - (-1). (\frac{-1}{2}) = -\frac{13}{8} $
* $ m^5 + n^5 = (m^3+n^3).(m^2+n^2)-(mn)^2(m+n) $
$ = (\frac{-13}{8}).(\frac{9}{4}) - (-1)^2.(\frac{-1}{2}) = -\frac{101}{32} $
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan kuadrat dengan akar-akar $ m^3-n^2 $ dan $ n^3-m^2 $
Rumus dasar : $ x^2 - (HJ)x + HK = 0 $
$\begin{align} HJ & = (m^3-n^2) + (n^3-m^2) \\ & = (m^3+n^3) - (m^2+n^2) \\ & = -\frac{13}{8} - \frac{9}{4} \\ & = - \frac{31}{8} \end{align}$
$\begin{align} HK & = (m^3-n^2).(n^3-m^2) \\ & = (mn)^3 + (mn)^2 - (m^5+n^5) \\ & = (-1)^3 + (-1)^2 - ( -\frac{101}{32} ) \\ & = \frac{101}{32} \end{align}$
Sehingga PK nya adalah
$ x^2 - (HJ)x + HK = 0 \rightarrow x^2 - (- \frac{31}{8})x + \frac{101}{32} = 0 $
$ \rightarrow 32x^2 + 124x + 101 = 0 $
Jadi, PK nya adalah $ 32x^2 + 124x + 101 = 0 . \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui $p(x)$ dan $g(x)$ adalah dua suku banyak yang berbeda, dengan $p(10)=m$ dan $g(10)=n$. Jika
$p(x)h(x)=\left( \frac{p(x)}{g(x)}-1 \right) \left( p(x) + g(x) \right) , \, h(10)=-\frac{16}{15}$, maka nilai maksimum dari $|m+n|=...$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x = 10 $
$\begin{align} p(x)h(x) & =\left( \frac{p(x)}{g(x)}-1 \right) \left( p(x) + g(x) \right) \\ p(10)h(10) & = \left( \frac{p(10)}{g(10)}-1 \right) \left( p(10) + g(10) \right) \\ m . \left( -\frac{16}{15} \right) & = \left( \frac{m}{n}-1 \right) \left( m + n \right) \\ m . \left( -\frac{16}{15} \right) & = \left( \frac{m-n}{n} \right) \left( m + n \right) \\ m . \left( -\frac{16}{15} \right) & = \left( \frac{(m-n)(m+n)}{n} \right) \\ -\frac{16}{15} & = \left( \frac{(m-n)(m+n)}{n.m} \right) \\ \frac{16}{15} & = \left( \frac{(n-m)(n+m)}{n.m} \right) \\ \frac{2 \times 8}{5 \times 3 } & = \left( \frac{(n-m)(n+m)}{n.m} \right) \end{align}$
Diperoleh : $ n = 5 , \, $ dan $ \, m = 3 $ atau $ n = -5 , \, $ dan $ \, m = -3 $
Sehingga : nilai $ | m + n | = | 3 + 5 | = 8 $ atau $ | m + n | = | -3 + -5 | = |-8| = 8 $
Jadi, nilai maksimum $ | m + n | = 8. \heartsuit $
$\begin{align} p(x)h(x) & =\left( \frac{p(x)}{g(x)}-1 \right) \left( p(x) + g(x) \right) \\ p(10)h(10) & = \left( \frac{p(10)}{g(10)}-1 \right) \left( p(10) + g(10) \right) \\ m . \left( -\frac{16}{15} \right) & = \left( \frac{m}{n}-1 \right) \left( m + n \right) \\ m . \left( -\frac{16}{15} \right) & = \left( \frac{m-n}{n} \right) \left( m + n \right) \\ m . \left( -\frac{16}{15} \right) & = \left( \frac{(m-n)(m+n)}{n} \right) \\ -\frac{16}{15} & = \left( \frac{(m-n)(m+n)}{n.m} \right) \\ \frac{16}{15} & = \left( \frac{(n-m)(n+m)}{n.m} \right) \\ \frac{2 \times 8}{5 \times 3 } & = \left( \frac{(n-m)(n+m)}{n.m} \right) \end{align}$
Diperoleh : $ n = 5 , \, $ dan $ \, m = 3 $ atau $ n = -5 , \, $ dan $ \, m = -3 $
Sehingga : nilai $ | m + n | = | 3 + 5 | = 8 $ atau $ | m + n | = | -3 + -5 | = |-8| = 8 $
Jadi, nilai maksimum $ | m + n | = 8. \heartsuit $
Nomor 3
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \log |x+1| \geq \log 3 + \log |2x-1|$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Syarat logaritma : ${}^a \log b = c \, $ syaratnya $ b > 0 $
$ \log |x+1| \geq \log 3 + \log |2x-1| $
Syarat logaritmanya :
$ |x+1| > 0 \rightarrow x \neq -1 $
$ |2x-1| > 0 \rightarrow x \neq \frac{1}{2} $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar pertidaksamaan
${}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) \geq g(x) \, $ dengan $ a > 1 $
$ |f(x)| \geq |g(x)| \rightarrow [f(x)+g(x)][f(x)-g(x)] \geq 0 $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} \log |x+1| & \geq \log 3 + \log |2x-1| \\ \log |x+1| & \geq \log 3|2x-1| \\ \log |x+1| & \geq \log |6x-3| \\ |x+1| & \geq |6x-3| \\ [(x+1)+(6x-3)]&[(x+1)-(6x-3)] \geq 0 \\ (7x-2)(-5x+4) & \geq 0 \\ x = \frac{2}{7} & \vee x = \frac{4}{5} \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5} , \, x \neq \frac{1}{2} \, \} . \heartsuit $
$ \log |x+1| \geq \log 3 + \log |2x-1| $
Syarat logaritmanya :
$ |x+1| > 0 \rightarrow x \neq -1 $
$ |2x-1| > 0 \rightarrow x \neq \frac{1}{2} $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar pertidaksamaan
${}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) \geq g(x) \, $ dengan $ a > 1 $
$ |f(x)| \geq |g(x)| \rightarrow [f(x)+g(x)][f(x)-g(x)] \geq 0 $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} \log |x+1| & \geq \log 3 + \log |2x-1| \\ \log |x+1| & \geq \log 3|2x-1| \\ \log |x+1| & \geq \log |6x-3| \\ |x+1| & \geq |6x-3| \\ [(x+1)+(6x-3)]&[(x+1)-(6x-3)] \geq 0 \\ (7x-2)(-5x+4) & \geq 0 \\ x = \frac{2}{7} & \vee x = \frac{4}{5} \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5} , \, x \neq \frac{1}{2} \, \} . \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui suatu barisan aritmatika $\{a_n\}$ memiliki suku awal $a>0$ dan $2a_{10}=5a_{15}$. Nilai $n$ yang memenuhi agar jumlah
$n$ suku pertama dari barisan tersebut maksimum adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan aritmatika : $ U_n = a + (n-1)b \, $ dan $ S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
$\{a_n\} \, $ barisan aritmatika, sehingga : $ a_n = a + (n-1)b \, $ dengan $ a > 0 $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan yang diketahui
$\begin{align} 2a_{10} & =5a_{15} \\ 2(a + 9b) & =5(a+14b) \\ -3a & = 52b \\ a & = -\frac{52b}{3} \, \, \text{dengan} \, b < 0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $ S_n $ dengan $ a = -\frac{52b}{3} $
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ & = \frac{n}{2}(2.(-\frac{52b}{3}) +(n-1)b) \\ & = \frac{n}{2}( -\frac{104b}{3} + nb - b ) \\ & = \frac{n}{2}( -\frac{107b}{3} + nb ) \\ S_n & = \frac{b}{2}n^2 - \frac{107b}{6} n \\ S_n^\prime & = bn - \frac{107b}{6} \, \, \text{(turunannya)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Untuk menentukan $ S_n $ maksimum, maka turunan = 0
$\begin{align} S_n^\prime & = 0 \\ bn - \frac{107b}{6} & = 0 \\ n & = \frac{107}{6} = 17, 8333 \end{align}$
Karena $ n $ bulat, maka $ n $ yang menyebabkan maksimum adalah nilai $ n $ yang terdekat dengan 17,8333 (selisih terkecil) yaitu untuk $ n = 18 $ .
Jadi, nilai $ n = 18 . \heartsuit $
$\{a_n\} \, $ barisan aritmatika, sehingga : $ a_n = a + (n-1)b \, $ dengan $ a > 0 $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan yang diketahui
$\begin{align} 2a_{10} & =5a_{15} \\ 2(a + 9b) & =5(a+14b) \\ -3a & = 52b \\ a & = -\frac{52b}{3} \, \, \text{dengan} \, b < 0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $ S_n $ dengan $ a = -\frac{52b}{3} $
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ & = \frac{n}{2}(2.(-\frac{52b}{3}) +(n-1)b) \\ & = \frac{n}{2}( -\frac{104b}{3} + nb - b ) \\ & = \frac{n}{2}( -\frac{107b}{3} + nb ) \\ S_n & = \frac{b}{2}n^2 - \frac{107b}{6} n \\ S_n^\prime & = bn - \frac{107b}{6} \, \, \text{(turunannya)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Untuk menentukan $ S_n $ maksimum, maka turunan = 0
$\begin{align} S_n^\prime & = 0 \\ bn - \frac{107b}{6} & = 0 \\ n & = \frac{107}{6} = 17, 8333 \end{align}$
Karena $ n $ bulat, maka $ n $ yang menyebabkan maksimum adalah nilai $ n $ yang terdekat dengan 17,8333 (selisih terkecil) yaitu untuk $ n = 18 $ .
Jadi, nilai $ n = 18 . \heartsuit $
Nomor 5
Misalkan diberikan vektor $\vec{b}=(y,-2z,3x)$, dan $\vec{c}=(2z,3x,-y)$. Diketahui vektor $\vec{a}$ membentuk sudut tumpul dengan
sumbu $y$ dan $|| \vec{a} || = 2\sqrt{3}$. Jika $\vec{a}$ membentuk sudut yang sama dengan $\vec{b}$ maupun $\vec{c}$ , dan tegak lurus
dengan $\vec{d} = (1,-1,2)$ , maka $\vec{a}=...$
$\clubsuit \, $ Vektor $ \vec{a} $ tegak lurus vektor $ \vec{d} $ maka $ \vec{a}.\vec{d} = 0 $
Pilihan yang memenuhi adalah opsi E yaitu $ \vec{a}=(2 \, -2 \, -2)$, karena :
$\begin{align} \vec{a}.\vec{d} & = (2 \, -2 \, -2).(1 \, -1 \, 2) \\ & = 2+2-4 \\ & = 0 \end{align}$
Jadi, vektor $ \vec{a}=(2 \, -2 \, -2) . \heartsuit $
Pilihan yang memenuhi adalah opsi E yaitu $ \vec{a}=(2 \, -2 \, -2)$, karena :
$\begin{align} \vec{a}.\vec{d} & = (2 \, -2 \, -2).(1 \, -1 \, 2) \\ & = 2+2-4 \\ & = 0 \end{align}$
Jadi, vektor $ \vec{a}=(2 \, -2 \, -2) . \heartsuit $
Jika ada masukan, saran, kritikan, alternatif penyelesaian lain yang lebih mudah, atau apapun yang berhubungan dengan halaman ini, silahkan kirim ke email : d.4rm.408@gmail.com , atau langsung isi komentar pada kotak komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat, terima kasih.
