dunia informa

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan ke-6 adalah 27. Suku ke-2 adalah ....
A).

$3 \,$ B).

$5 \,$ C).

$7 \,$ D).

$9 \,$ E).

$12 \,$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). RUmus Suku ke-

$n$ Barisan Geometri :

$U_n = ar^{n-1}$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Menentukan nilai

$r$ :

$\begin{align} \frac{U_9}{U_6} & = 27 \\ \frac{ar^8}{ar^5} & = 27 \\ r^3 & = 3^3 \\ r & = 3 \end{align}$
*). Menentkan nilai

$a$ :

$\begin{align} U_5 & = 243 \\ ar^4 & = 243 \\ a.3^4 & = 243 \\ a & = \frac{243}{3^4} = 3 \end{align}$
*). Menentukan nilai suku kedua

$(U_2)$ :

$\begin{align} U_2 & = ar = 3. 3= 9 \end{align}$
Jadi, nilai

$U_2 = 9 . \, \heartsuit$

Pembahasan Turunan Aljabar UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Jika

$y = \left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^\frac{3}{2}$ , maka

$\frac{dy}{dx} \,$ adalah
A).

$-1$
B).

$-\frac{3}{2}\sqrt[3]{a^2 - x^2}$
C).

$-\sqrt{\frac{a^2}{x^2} - 1}$
D).

$-\sqrt{\sqrt[3]{\frac{a^2}{x^2}} - 1}$
E).

$-\sqrt{\sqrt[3]{\frac{a^2}{x^2} - 1 }}$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Turunan Fungsi :

$y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n. [f(x)]^{n-1} . f^\prime (x)$

$y = x^n \rightarrow y^\prime = n. x^{n-1}$
*). Sifat-sifat Eksponen :
1).

$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \,$
2).

$\frac{a^n}{a^n} = (\frac{a}{b})^n$
3).

$a^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a}$
4).

$a^\frac{1}{2} = \sqrt{a}$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Simbol

$\frac{dy}{dx} \,$ artinya turunan fungsi

$y = f(x)$ terhadap

$x$ (variabel

$x$ yang diturunkan sehingga aljabar yang lainnya dianggap sebagai konstanta).
*). Menyelesaikan soal :

$\begin{align} y & = \left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^\frac{3}{2} = [f(x)]^\frac{3}{2} \\ f(x) & = a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \rightarrow f^\prime (x) = -\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} \\ y & = [f(x)]^\frac{3}{2} \\ y^\prime & = \frac{2}{3} [f(x)]^{\frac{3}{2} - 1} . f^\prime (x) \\ y^\prime & = \frac{3}{2} . \left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2} } . -\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} \\ & = \frac{3}{2} .-\frac{2}{3} . \left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2} } . \frac{1}{x^\frac{1}{3}} \\ & = - \left( \frac{\left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2} } }{ x^\frac{1}{3}} \right) = - \left( \frac{\left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2} } }{ (x^\frac{1}{3})^{2 . \frac{1}{2} }} \right) \\ & = - \left( \frac{\left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2} } }{ (x^\frac{2}{3})^ \frac{1}{2} } \right) = - \left( \frac{ a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} }{ x^\frac{2}{3} } \right)^\frac{1}{2} \\ & = - \left( \frac{ a^\frac{2}{3} }{ x^\frac{2}{3} } - \frac{ x^\frac{2}{3} }{ x^\frac{2}{3} } \right)^\frac{1}{2} = - \left( \frac{ a^\frac{2}{3} }{ x^\frac{2}{3} } - 1 \right)^\frac{1}{2} \\ & = - \left( \left( \frac{ a^2 }{ x^2 } \right)^\frac{1}{3} - 1 \right)^\frac{1}{2} = - \sqrt{ \sqrt[3]{ \frac{ a^2 }{ x^2 } } - 1 } \end{align}$
Jadi, bentuk

$f^\prime (x) = - \left[ 1 + \left( f(x) \right)^2 \right] . \, \heartsuit$

Pembahasan Turunan Trigonometri UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Jika

$f(x) = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$ dengan

$\cos x + \sin x \neq 0$ , maka

$f^\prime (x) = ....$
A).

$1 - (f(x))^2 \,$
B).

$-1 + (f(x))^2 \,$
C).

$-(1 + (f(x))^2) \,$
D).

$1 + (f(x))^2 \,$
E).

$(f(x))^2$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Turunan Fungsi Trigonometri :

$y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x$

$y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x$
*). Turunan Bentuk Pecahan :

$^\prime y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime V - U V ^\prime }{V^2}$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :

$\begin{align} f(x) & = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{U}{V} \\ U & = \cos x - \sin x \rightarrow U^\prime = -\sin x - \cos x \\ V & = \cos x + \sin x \rightarrow U^\prime = -\sin x + \cos x \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime V - U V ^\prime }{V^2} \\ & = \frac{(-\sin x - \cos x)(\cos x + \sin x) -(\cos x - \sin x)(-\sin x + \cos x) }{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = \frac{-(\sin x + \cos x)(\cos x + \sin x) -(\cos x - \sin x)(\cos x -\sin x ) }{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = \frac{-(\sin x + \cos x)^2 -(\cos x - \sin x)^2 }{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = - \left[ \frac{(\sin x + \cos x)^2 + (\cos x - \sin x)^2 }{(\cos x + \sin x)^2} \right] \\ & = - \left[ \frac{(\sin x + \cos x)^2 }{(\cos x + \sin x)^2} + \frac{(\cos x - \sin x)^2 }{(\cos x + \sin x)^2} \right] \\ & = - \left[ 1 + \left( \frac{(\cos x - \sin x) }{(\cos x + \sin x) } \right)^2 \right] \\ & = - \left[ 1 + \left( f(x) \right)^2 \right] \end{align}$
Jadi, bentuk

$f^\prime (x) = - \left[ 1 + \left( f(x) \right)^2 \right] . \, \heartsuit$

Cara 2 Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x\cos x} \right) = ....$
A).

$-1 \,$ B).

$-\frac{1}{2} \,$ C).

$0$ D).

$\frac{1}{2}$ E).

$1$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Rumus Singkat Limit Trigonometri :

$1 - \cos A = \frac{1}{2} A^2$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometri :

$\begin{align} \cos x - 1 & = - ( 1 - \cos x ) \\ & = - \frac{1}{2}x^2 \end{align}$
*). Menyelesaikan soal :

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x\cos x} \right) & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{\cos x }{x\cos x} - \frac{1}{x\cos x} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{\cos x - 1 }{x\cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{- \frac{1}{2}x^2}{x\cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{- \frac{1}{2}x }{\cos x} \\ & = \frac{- \frac{1}{2} . 0 }{\cos 0 } = \frac{0}{1} = 0 \end{align}$
Jadi, hasil limitnya adalah

$0 . \, \heartsuit$

Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x\cos x} \right) = ....$
A).

$-1 \,$ B).

$-\frac{1}{2} \,$ C).

$0$ D).

$\frac{1}{2}$ E).

$1$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Sifat Limit Trigonometri :

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$
*). Rumus Trigonometri :

$\cos x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometri :

$\begin{align} \cos x - 1 & = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x) - 1 \\ & = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x \\ & = - 2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x \end{align}$
*). Menyelesaikan soal :

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x\cos x} \right) & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{\cos x }{x\cos x} - \frac{1}{x\cos x} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{\cos x - 1 }{x\cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{- 2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{x\cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, -2 \times \frac{\sin \frac{1}{2} x }{x } \times \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{\cos x} \\ & = -2 \times \frac{\frac{1}{2} }{1 } \times \frac{ \sin ( \frac{1}{2} . 0 ) }{\cos 0} \\ & = -2 \times \frac{1}{2} \times \frac{ 0 }{1} \\ & = -2 \times \frac{1}{2} \times 0 = 0 \end{align}$
Jadi, hasil limitnya adalah

$0 . \, \heartsuit$

Soal dan Pembahasan UM UGM 2006 Matematika Dasar

Nomor 1

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x\cos x} \right) = ....$
A).

$-1 \,$ B).

$-\frac{1}{2} \,$ C).

$0$ D).

$\frac{1}{2}$ E).

$1$

Nomor 2

Jika

$f(x) = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$ dengan

$\cos x + \sin x \neq 0$ , maka

$f^\prime (x) = ....$
A).

$1 - (f(x))^2 \,$
B).

$-1 + (f(x))^2 \,$
C).

$-(1 + (f(x))^2) \,$
D).

$1 + (f(x))^2 \,$
E).

$(f(x))^2$

Nomor 3

Jika

$y = \left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^\frac{3}{2}$ , maka

$\frac{dy}{dx} \,$ adalah
A).

$-1$
B).

$-\frac{3}{2}\sqrt[3]{a^2 - x^2}$
C).

$-\sqrt{\frac{a^2}{x^2} - 1}$
D).

$-\sqrt{\sqrt[3]{\frac{a^2}{x^2}} - 1}$
E).

$-\sqrt{\sqrt[3]{\frac{a^2}{x^2} - 1 }}$

Nomor 4

Suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan ke-6 adalah 27. Suku ke-2 adalah ....
A).

$3 \,$ B).

$5 \,$ C).

$7 \,$ D).

$9 \,$ E).

$12 \,$

Nomor 5

Jika fungsi

$y = x^3 - 3x + 3$ didefinisikan pada

$-\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$ , maka nilai terbesar dari

$y$ adalah .....
A).

$3 \,$ B).

$4\frac{1}{8} \,$ C).

$5 \,$ D).

$11\frac{1}{8} \,$ E).

$15\frac{1}{8} \,$

Nomor 6

Nilai

$a$ agar persamaan kuadrat

$x^2 - 8x + 2a = 0$ mempunyai dua akar yang berlainan dan positif adalah ....
A).

$a > 0 \,$ B).

$a < 8 \,$
C).

$0 < a < 8 \,$ D).

$a > 8 \,$
E).

$a < 0 \,$

Nomor 7

Diberikan segiempat ABCD seperti pada gambar

Luas segiempat ABCD adalah ....
A).

$60 + \frac{65}{2}\sqrt{3} \, cm^2 \,$
B).

$30 + 136\sqrt{3} \, cm^2 \,$
C).

$30 + 65\sqrt{3} \, cm^2 \,$
D).

$30 + \frac{65}{2}\sqrt{3} \, cm^2 \,$
E).

$10 + 130\sqrt{3} \, cm^2 \,$

Nomor 8

Jika

$\{ x \in R | a < x < b \}$ adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

$(x-2)^2 + \sqrt{(x-1)^2} < 6$ , maka nilai

$a + b$ adalah ....
A).

$4 \,$ B).

$2 \,$ C).

$1 \,$ D).

$-2 \,$ E).

$-4 \,$

Nomor 9

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{2x-1} - \frac{x^2}{2x+1} \right) = ....$
A).

$2 \,$ B).

$1 \,$ C).

$\frac{1}{2} \,$ D).

$\frac{1}{4} \,$ E).

$0$

Nomor 10

Nilai maksimum dari

$2x + y$ yang memenuhi

$x - y + 3 \geq 0$ ,

$3x + 2y - 6 \leq 0$ ,

$x \geq 0$ ,

$y \geq 0$ adalah ....
A).

$0 \,$ B).

$3 \,$ C).

$4 \,$ D).

$5 \,$ E).

$6$

Nomor 11

Sumbangan rata-rata warga untuk korban bencana alam adalah Rp40.000,-. Jika sumbangan dari seorang warga bernama Ali digabungkan dalam kelompok warga tersebut, maka sumbangan rata-rata 26 warga sekarang menjadi Rp41.000,-. Hal ini berarti sumbangan Ali sebesar ....
A). Rp 40.000 ,-
B). Rp 57.000 ,-
C). Rp 65.000 ,-
D). Rp 66.000 ,-
E). Rp 92.000 ,-

Nomor 12

DIketahui deret geometri dengan

$U_n = ({}^x \log 3)^n$ ,

$x > 0$ ,

$x \neq 1$ . Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada, maka

$x$ harus memenuhi syarat ....
A).

$x \leq \frac{1}{3} \,$ atau

$x \geq 3$
B).

$\frac{1}{3} < x < 3 \,$
C).

$x > 3 \,$ atau

$0 < x < \frac{1}{3}$
D).

$x \geq 3 \,$ atau

$0 < x \leq \frac{1}{3}$
E).

$x < \frac{1}{3} \,$ atau

$x > 3$

Nomor 13

Diketahui deret aritmetika dengan beda 1. Jika jumlah pangkat tiga dari tiga suku pertamanya adalah 18 lebih besar dari 3 kali pangkat tiga dari suku ke-2, maka jumlah tiga suku pertamanya adalah ....
A).

$6 \,$ B).

$9 \,$ C).

$12 \,$ D).

$15 \,$ E).

$18$

Nomor 14

Apabila

$x$ dan

$y$ memenuhi persamaan matriks

$\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right]$
maka

$x + y = ....$
A).

$1 \,$ B).

$2 \,$ C).

$3 \,$ D).

$4 \,$ E).

$5 \,$

Nomor 15

Diketahui kejadian A dan kejadian B adalah dua kejadian yang saling bebas. Jika diketahui

$P(A) = \frac{1}{3}$ dan

$P(A^c \cup B^c) = \frac{7}{9}$ , maka

$P(A^c \cap B^c ) = ....$
A).

$0 \,$ B).

$\frac{2}{9} \,$ C).

$\frac{2}{3} \,$ D).

$\frac{7}{9} \,$ E).

$1 \,$

Nomor 16

Bentuk sederhana dari

$\sqrt{ 7 + \sqrt{48}} \,$ adalah ....
A).

$\sqrt{8} + \sqrt{7} \,$
B).

$\sqrt{7} + \sqrt{6} \,$
C).

$\sqrt{6} + 1 \,$
D).

$\sqrt{5} + \sqrt{2} \,$
E).

$\sqrt{4} + \sqrt{3} \,$

Nomor 17

Diberikan

$a$ dan

$b$ bilangan real dengan

$a > 1$ dan

$b > 1$ . Jika

$ab = a^b$ dan

$\frac{a}{b} = a ^{3b}$ , maka nilai

$a$ adalah ....
A).

$0 \,$ B).

$1 \,$ C).

$3 \,$ D).

$4 \,$ E).

$5$

Nomor 18

Bentuk sederhana dari

$\frac{\left( x^{-4}y^\frac{2}{3} \right)^{-\frac{1}{2}} \left( x^{-\frac{7}{3}} y^{-1} \right)^\frac{1}{2} }{\left( x^\frac{1}{2} y^3\right)^{-\frac{1}{6}} \left(x^{-\frac{1}{4}} y^{-1} \right)^\frac{1}{3} }$
adalah ....
A).

$y \,$ B).

$x \,$ C).

$xy \,$ D).

$\frac{x}{y} \,$ E).

$\frac{y}{x} \,$

Nomor 19

Persamaan garis yang melalui titik potong garis

$4x + 7y - 15 = 0$ dan

$14y=9x-4$ serta tegak lurus pada garis

$21x+5y = 3$ adalah ....
A).

$21x - 5y = 3$
B).

$11x - 21y = 5$
C).

$5x - 21y = -11$
D).

$5x + 21y = -11$
E).

$5x - 21y = 11$

Nomor 20

Jika

$x$ memenuhi

${}^2 \log \, {}^3 \log (x+2) = 1$ dan

$y$ memenuhi

$({}^a \log (3y-1))({}^2 \log a ) = 3$ , maka nilai

$x + y$ adalah ....
A).

$16 \,$ B).

$13 \,$ C).

$10 \,$ D).

$9 \,$ E).

$4$

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Jika

$x_1$ dan

$x_2$ akar-akar persamaan

$x^2 - 2x + k = 0$ dan

$2x_1, x_2, x_2^2 - 1$ adalah 3 suku berturutan suatu deret aritmetika dengan beda positif, maka

$x_1^2 + x_2^2 = ....$
A).

$4 \,$ B).

$6 \,$ C).

$8 \,$ D).

$10 \,$ E).

$12$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Misalkan ada persamaan kuadrat

$ax^2 + bx + c = 0$ memiliki akar-akar

$x_1$ dan

$x_2$ , maka operasi penjumlahan akar-akarnya adalah

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}$
*). Ciri-ciri barisan aritmetika : Memiliki selisih sama.
Misalkan ada barisan

$x, y, z$ maka :

$y - x = z - y$
Beda barisannya :

$b = U_2 - U_1$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Penjumlahan akar pada

$x^2 - 2x + k = 0$ :

$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-(-2)}{1} \\ x_1 + x_2 & = 2 \\ x_1 & = 2 - x_2 \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align}$
*). Barisan aritmetika :

$2x_1, x_2, x_2^2 - 1$
Selisih sama dengan beda

$= x_2 - 2x_1$

$\begin{align} x_2 - 2x_1 & = (x_2^2 - 1 ) - x_2 \\ x_2^2 - 2x_2 + 2x_1 - 1 & = 0 \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align}$
*). Substitusi (i) ke (ii) :

$\begin{align} x_2^2 - 2x_2 + 2x_1 - 1 & = 0 \\ x_2^2 - 2x_2 + 2(2 - x_2) - 1 & = 0 \\ x_2^2 - 4x_2 + 3 & = 0 \\ (x_2 - 1)(x_2 - 3) & = 0 \\ x_2 = 1 \vee x_2 & = 3 \end{align}$
*). Menentukan barisannya dan bedanya :
-).

$x_2 = 1 \rightarrow x_1 = 2 - x_2 = 2 - 1 = 1$
Beda

$= x_2 - 2x_1 = 1 - 2.1 = -1$
(tidak memenuhi karena bedanya harus positif)
-).

$x_2 = 3 \rightarrow x_1 = 2 - x_2 = 2 - 3 = -1$
Beda

$= x_2 - 2x_1 = 3 - 2.(-1) = 5$
(memenuhi karena bedanya harus positif)
Sehingga nilai :

$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \end{align}$
Jadi, nilai

$x_1^2 + x_2^2 = 10 . \, \heartsuit$

Pembahasan Deret Log UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Jika dalam suatu deret berlaku

${}^3 \log x + {}^3 \log ^2 x + {}^3 \log ^3 x + .... = 1$
maka nilai

$x$ adalah ....
A).

$\frac{1}{3} \,$ B).

$\frac{\sqrt{3}}{3} \,$ C).

$\sqrt{3} \,$ D).

$\frac{2}{9} \,$ E).

$\frac{1}{9} \,$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Jumlah deret geometri tak hingga :

$S_\infty = \frac{a}{1 - r}$
*). Definisi logaritma :

${}^a \log b = c \rightarrow b = a^c$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Menentukan suku pertama (

$a$ ) dan rasio (

$r$ ) :

$\begin{align} {}^3 \log x & + {}^3 \log ^2 x + {}^3 \log ^3 x + .... \\ a & = {}^3 \log x \\ r & = \frac{U_2}{U_1} = \frac{{}^3 \log ^2 x}{{}^3 \log x} = {}^3 \log x \end{align}$
*). Menentukan nilai

$x$ :

$\begin{align} {}^3 \log x + {}^3 \log ^2 x + ... & = 1 \\ S_\infty & = 1 \\ \frac{a}{1 - r} & = 1 \\ \frac{{}^3 \log x}{1 - {}^3 \log x} & = 1 \\ {}^3 \log x & = 1 - {}^3 \log x \\ 2{}^3 \log x & = 1 \\ {}^3 \log x & = \frac{1}{2} \\ x & = 3^\frac{1}{2} = \sqrt{3} \end{align}$
Jadi, nilai

$x = \sqrt{3} . \, \heartsuit$

Pembahasan Peluang UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Dua orang pergi nonton sepak bola ke suatu stadion. Stadion itu mempunyai 3 pintu dan mereka masuk lewat pintu yang sama tetapi keluar lewat pintu yang berlainan. Banyaknya cara mereka masuk dan keluar pintu stadion adalah ....
A).

$60 \,$ B).

$24 \,$ C).

$20 \,$ D).

$18 \,$ E).

$9$

$\spadesuit$ Konsep Dasar Kaidah pencacahan (untuk aturan perkalian)
*). Misalkan kejadian pertama ada

$p$ cara dan kejadian kedua ada

$q$ cara, maka total cara adalah

$p \times q$ cara

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Ada dua orang dan tiga pintu
*). Masuk lewat pintu yang sama:
cara masuk = 3 cara
(kedua orang bisa masuk lewat pintu I, atau pintu II, atau pintu III)
*). Keluar lewat pintu berlainan :
-). Misalkan orang pertama keluar dengan 3 pilihan pintu, maka orang kedua tersisa 2 pilihan pintu sehingga cara keluar sebanyak

$3 . 2 = 6$ cara.
*). Total cara masuk dan keluar :

$\begin{align} = 3 \times 6 = 18 \end{align}$
Jadi, banyak cara masuk dan keluar adalah

$18 \text{ cara } . \, \heartsuit$

Pembahasan Integral UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Perhatikan gambar di atas. Jika

$P\left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right)$ maka luas daerah terarsir adalah ....
A).

$\frac{1}{6} \,$ B).

$\frac{1}{3} \,$ C).

$\frac{5}{8} \,$ D).

$\frac{2}{3} \,$ E).

$\frac{3}{4}$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Rumus Dasar Integral :

$\int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c$ dan

$\int k \, dx = kx + c$
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi

$f(x)$ dan

$g(x)$ pada interval

$a \leq x \leq b$ seperti gambar berikut ini :

gambar 1.
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas

$= \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx$
(kurva atas kurang kurva bawah)
*). Persamaan garis melalui

$(x_1,y_1)$ dan

$(x_2,y_2)$ :

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x - x_1}{x_2-x_1}$
*). Persamaan garis memotong sumbu X di

$( b, 0 )$ dan sumbu Y di

$( 0,a)$ :

$ax + by = a.b$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :

*). Persamaan garis I melalui titi

$(x_1,y_1) = (0,0)$ dan

$(x_2 , y_2) = \left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right)$ :

$\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x - x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-0}{\frac{1}{2} - 0} & = \frac{x - 0 }{\frac{3}{2} - 0 } \\ 2y & = \frac{2x}{3} \\ y & = \frac{1}{3} x \end{align}$
*). Persamaan garis II memotong sumbu X dan sumbu Y :

$\begin{align} 2x + 2y & = 4 \rightarrow x + y = 2 \rightarrow y = 2 - x \end{align}$
*). Titik potong garis II dan parabola :

$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = 2 - x \\ x^2 + x - 2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 1 \end{align}$
*). Menghitung Luas Daerah Arsiran :

$\begin{align} L & = \text{ Luas A } + \text{ Luas B} \\ & = \int \limits_0^1 ( x^2 - \frac{1}{3}x) dx + \int \limits_1^\frac{3}{2} (2-x) - \frac{1}{3}x \, dx \\ & = \int \limits_0^1 ( x^2 - \frac{1}{3}x) dx + \int \limits_1^\frac{3}{2}( 2 - \frac{4}{3}x) \, dx \\ & = ( \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{6}x^2)_0^1 + ( 2x - \frac{2}{3}x^2)_1^\frac{3}{2} \\ & = ( \frac{1}{3} .1^3 - \frac{1}{6}.1^2 ) + \left[ ( 2.\frac{3}{2} - \frac{2}{3}(\frac{3}{2})^2) - ( 2.1 - \frac{2}{3}.1^2) \right] \\ & = ( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} ) + \left[ ( 3 - \frac{3}{2}) - ( 2 - \frac{2}{3} ) \right] \\ & = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + 1 - \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \\ & = \frac{2 - 1 + 6 - 9 + 4 }{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{align}$
Jadi, luas daerah arsirannya adalah

$\frac{1}{3} . \, \heartsuit$

Pembahasan Terapan Turunan UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Jumlah tiga buah bilangan adalah 135. Diketahui bilangan ke-2 sama dengan dua kali bilangan ke-1. Agar hasil kali ketiga bilangan maksimum, maka selisih bilangan ke-1 dan bilangan ke-3 adalah ....
A).

$95 \,$ B).

$55 \,$ C).

$35 \,$ D).

$15 \,$ E).

$5$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Fungsi

$y = f(x)$ akan mencapai maksimum pada saat

$x$ memenuhi

$f^\prime (x) = 0$ . (Turunan pertama fungsi = 0 ).

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Meisalkan Ketiga bilangannya :

$a, b, c$
-). Jumlah =

$135 \rightarrow a + b + c = 135 \,$ ....(i)
-). Bilangan kedua = 2 kali bilangan ke-1 :

$b = 2a \,$ ....(ii)
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :

$\begin{align} a + b + c & = 135 \\ a + 2a + c & = 135 \\ c & = 135 - 3a \end{align}$
*). Hasil kali ketiga bilangan maksimum :

$\begin{align} a.b.c & = a. 2a . (135 - 3a ) \\ f(a) & = 270a^2 - 6a^3 \\ f^\prime (a) & = 540a - 18 a^2 \\ \text{Syarat } f^\prime (a) & = 0 \\ 540a - 18 a^2 & = 0 \\ 18a ( 30 - a) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = 30 \end{align}$
Artinya perkalian

$a.b.c$ akan maksimum saat

$a = 30$
Nilai

$b = 2a = 2.30 = 60$
Nilai

$c = 135 - 3a = 135 - 3.30 = 45$
Sehingga selisih

$a$ dan

$c$ yaitu :

$c - a = 45 - 30 = 15$
Jadi, selisih

$c$ dan

$a$ adalah

$15 . \, \heartsuit$

Pembahasan Hiperbola UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Suatu hiperbola mempunyai titik fokus pada sumbu Y. Hiperbola tersebut simetri terhadap sumbu X. Diketahui jarak kedua titik fokus adalah 10 satuan dan jarak kedua titik puncak adalah 8 satuan. Hiperbola tersebut mempunyai persamaan ....
A).

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \,$
B).

$-\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 \,$
C).

$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \,$
D).

$-\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \,$
E).

$-\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1 \,$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Persamaan hiperbola yang searah sumbu Y (simetris sumbu X) adalah :

$\, \, \, \, \, -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$
Keterangan :
-).

$a$ adalah jarak titik puncak ke titik pusat hiperbola, sehingga jarak kedua puncak sama dengan

$2a$
-).

$c$ adalah jarak titik fokus ke titik pusat hiperbola, sehingga jarak kedua fokus sama dengan

$2c$
-). Nilai

$b$ diperoleh dari :

$b^2 = c^2 - a^2$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Menentukan nilai

$a , c,$ dan

$b$ :
-). Jarak kedua fokus

$= 10$ sehingga

$2c = 10 \rightarrow c = 5$
-). Jarak kedua titik puncak

$= 8$ sehingga

$2a = 8 \rightarrow a = 4$
-). Nilai

$b$ :

$b^2 = c^2 - a^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
*). Menyusun persamaan hiperbola :

$\begin{align} -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} & = 1 \end{align}$
Jadi, persamaan parabolanya

$-\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 . \, \heartsuit$

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui segitiga PQR siku-siku di P. Jika

$\sin Q \sin R = \frac{3}{10}$ dan

$\sin (Q- R) = \frac{5}{2}a$ , maka nilai

$a = ....$
A).

$\frac{2}{7} \,$ B).

$\frac{1}{3} \,$ C).

$\frac{1}{5} \,$ D).

$\frac{8}{25} \,$ E).

$\frac{4}{25} \,$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Rumus trigonometri :

$\cos (A + B ) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

$\cos (A - B ) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri segitiga siku-siku :

$\sin x = \frac{depan}{miring} \,$ dan

$\cos x = \frac{samping}{miring}$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Segitiga PQR siku-siku di P sehingga :

$\begin{align} P + Q + R & = 180^\circ \\ 90^\circ + Q + R & = 180^\circ \\ Q + R & = 90^\circ \\ \cos (Q + R) & = \cos 90^\circ \\ \cos Q \cos R - \sin Q \sin R & = 0 \\ \cos Q \cos R & = \sin Q \sin R \\ \cos Q \cos R & = \frac{3}{10} \end{align}$
*). Dari

$\sin (Q - R) = \frac{5a}{2} = \frac{de}{mi}$
Sehingga :

$samping = \sqrt{mi^2 - de^2} = \sqrt{2^2 - (5a)^2 } = \sqrt{4 - 25a^2}$
Nilai

$\cos (Q-R) = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{4 - 25a^2}}{2}$
*). Menentukan nilai

$a$ :

$\begin{align} \cos (Q-R) & = \frac{\sqrt{4 - 25a^2}}{2} \\ \cos Q \cos R + \sin Q \sin R & = \frac{\sqrt{4 - 25a^2}}{2} \\ \frac{3}{10} + \frac{3}{10} & = \frac{\sqrt{4 - 25a^2}}{2} \\ \frac{6}{10} & = \frac{\sqrt{4 - 25a^2}}{2} \\ \frac{3}{5} & = \frac{\sqrt{4 - 25a^2}}{2} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \frac{9}{25} & = \frac{ 4 - 25a^2 }{4} \\ 25( 4 - 25a^2) & = 36 \\ 100 - 625a^2 & = 36 \\ 625a^2 & = 64 \\ a^2 & = \frac{64}{625} \\ a & = \sqrt{ \frac{64}{625} } = \frac{8}{25} \end{align}$
Jadi, nilai

$a = \frac{8}{25} . \, \heartsuit$

Pembahasan Vektor UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui vektor-vektor

$\vec{a} = (2,2,z)$ ,

$\vec{b}= (-8,y,-5 )$ dan

$\vec{d} = (2x,22-z,8)$ . Jika vektor

$\vec{ a }$ tegak lurus dengan vektor

$\vec{b }$ dan vektor

$\vec{ c }$ sejajar dengan

$\vec{ d}$ , maka

$y + z = ....$
A).

$5 \,$ B).

$-1 \,$ C).

$2 \,$ D).

$1 \,$ E).

$-5$

$\spadesuit$ Konsep Dasar vektor
*). Mislkan terdapat vektor

$\vec{a} = (a_1,a_2,a_3) \,$ dan

$\vec{b} = (b_1,b_2,b_3)$
-). Perkalian dot :

$\vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3$
-). syarat vektor

$\vec{a }$ tegak lurus

$\vec{b}$ :

$\vec{a} . \vec{b} = 0$
-). syarat vektor

$\vec{a }$ sejajar

$\vec{b}$ :

$\vec{a} = n .\vec{b}$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). vektor

$\vec{a }$ tegak lurus

$\vec{b}$

$\begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = 0 \\ -8.2 + 2.y + (-5). z & = 0 \\ 2y - 5z & = 16 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align}$
*). vektor

$\vec{c }$ sejajar

$\vec{d}$

$\begin{align} \vec{c} & = n .\vec{d} \\ \left( \begin{matrix} x \\ 4y \\ 4 \end{matrix} \right) & = n.\left( \begin{matrix} 2x \\ 22-z \\ 8 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ 4y \\ 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2nx \\ n(22-z) \\ 8n \end{matrix} \right) \\ 4 & = 8n \rightarrow n = \frac{1}{2} \end{align}$
Sehingga :

$4y = n (22-z) \rightarrow 4y = \frac{1}{2}(22-z)$

$\rightarrow 8y = 22- z \rightarrow z = 22 - 8y$
*). Substitusi

$z = 22 - 8y$ ke pers(i) :

$\begin{align} 2y - 5z & = 16 \\ 2y - 5( 22 - 8y) & = 16 \\ 2y -110 + 40y & = 16 \\ 42y & = 126 \\ y & = 3 \end{align}$
Nilai

$z = 22 - 8y = 22 - 8.3 = 22 - 24 = -2$
Nilai

$y + z = 3 + (-2) = 1$
Jadi, nilai

$y + z = 1 . \, \heartsuit$

Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Alas bidang empat D.ABC berbentuk segitiga siku-siku dama kaki dengan

$\angle BAC = 90^\circ$ . Proyeksi D pada segitiga ABC adalah E sehingga E merupakan titik tengah BC. Jika

$AB = AC = p$ dan

$DE = 2p$ , maka

$AD = ....$
A).

$\frac{3}{2}p\sqrt{2} \,$ B).

$\frac{3}{2}p\sqrt{3} \,$ C).

$3p \,$ D).

$p\sqrt{6} \,$ E).

$p\sqrt{5}$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Proyeksi titik ke bidang menghasilkan titik pada bidang tersebut dimana titik awal dan proyeksi membentuk garis yang tegak lurus dengan bidang proyeksinya.

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar

Panjang

$BC = p\sqrt{2}$
Panjang

$BE = \frac{1}{2}p\sqrt{2}$
*). Karena titik E adalah hasil proyeksi titik D pada bidang ABC, maka garis DE tegak lurus dengan bidang ABC, artinya garis DE tegak lurus dengan semua garis yang ada pada bidang ABC.
*). Segitiga ABE siku-siku di E sehingga :

$\begin{align} AE & = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{p^2 - (\frac{1}{2}p\sqrt{2})^2} = \sqrt{\frac{2p^2}{4}} = \frac{1}{2}p\sqrt{2} \end{align}$
*). Segitiga ADE siku-siku di E :

$\begin{align} AD & = \sqrt{AE^2+DE^2} = \sqrt{(\frac{1}{2}p\sqrt{2})^2 + (2p)^2} \\ & = \sqrt{\frac{2p^2}{4} + 4p^2} = \sqrt{\frac{18p^2}{4} } \\ & = \sqrt{\frac{9p^2}{4} \times 2 } = \frac{3}{2}p\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, panjang

$AD = \frac{3}{2}p\sqrt{2} . \, \heartsuit$

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Semua nilai

$x$ yang memenuhi

$x|x-2| < x - 2$ adalah ....
A).

$x < -1\,$ atau

$1 < x < 2$
B).

$x < -2$
C).

$-2 < x < -1$
D).

$x < -1$
E).

$-2 < x < 1 \,$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Definisi Harga Mutlak :

$\, \, \, \, |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right.$
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
2). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya (+ atau

$-$ ),
3). Arsir daerah yang dimaksud :
Jika

$> 0$ , maka arsir yang positif,
Jika

$< 0$ , maka arsir yang negatif.

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Dari definisi harga mutlak :

$| x - 2 | = \left\{ \begin{array}{cc} x - 2 & , \text{ untuk } x \geq 2 \\ -(x - 2) & , \text{ untuk } x < 2 \end{array} \right.$
*). Menyelesaikan soal berdasarkan definisi mutlak :
-). Untuk

$x \geq 2$ , maka

$| x - 2 | = x - 2$

$\begin{align} x|x-2| & < x - 2 \\ x(x - 2) & < x - 2 \\ x^2 - 2x & < x - 2 \\ x^2 - 3x + 2 & < 0 \\ (x - 1)(x - 2) & < 0 \\ x = 1 \vee x & = 2 \end{align}$
garis bilangannya :

penyelesaian :

$\{ 1 < x < 2 \}$
Karena syaratnya

$x \geq 2$ , maka pada kasus pertama ini tidak nilai

$x$ yang memenuhi.

-). Untuk

$x < 2$ , maka

$| x - 2 | = -(x - 2) = 2 - x$

$\begin{align} x|x-2| & < x - 2 \\ x(2 - x) & < x - 2 \\ -x^2 + 2x & < x - 2 \\ -x^2 + x + 2 & < 0 \\ (-x - 1)(x -2) & < 0 \\ x = -1 \vee x & = 2 \end{align}$
garis bilangannya :

penyelesaian :

$\{ x < - 1 \vee x > 2 \}$
Karena syaratnya

$x < 2$ , maka Solusinya adalah irisan dari

$\{ x < - 1 \vee x > 2 \}$ dan

$\{ x < 2 \}$ dimana hasilnya adalah

$HP = \{ x < -1 \}$
Jadi, solusinya adalah

$\{ x < -1 \} . \, \heartsuit$

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Suku banyak berderajat tiga

$P(x) = x^3 + 2x^2 + mx + n$ dibagi dengan

$x^2 - 4x + 3$ mempunyai sisa

$3x + 2$ , maka nilai

$n = ....$
A).

$-20 \,$ B).

$-16 \,$ C).

$10 \,$ D).

$16 \,$ E).

$20$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Konsep dasar pembagian pada suku banyak :

$\, \, \, \, \, P(x) = g(x).H(x) + S(x)$
Keterangan :

$P(x) = \,$ Suku banyak yang mau dibagi,

$g(x) = \,$ pembaginya,

$H(x) = \,$ Hasil bagi,

$S(x) = \,$ sisa pembagian.

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Dari soal kita peroleh dan substitusi akar-akar pembaginya :

$\begin{align} P(x) & = g(x).H(x) + S(x) \\ x^3 + 2x^2 + mx + n & = (x^2 - 4x + 3).H(x) + (3x + 2) \\ x^3 + 2x^2 + mx + n & = (x-1)(x-3).H(x) + (3x + 2) \\ \text{Substitusi } x & = 1 \\ 1^3 + 2.1^2 + m.1 + n & = (1-1)(1-3).H(1) + (3.1 + 2) \\ 1 + 2 + m + n & = 0 + (5) \\ m + n & = 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ 3^3 + 2.3^2 + m.3 + n & = (3-1)(3-3).H(3) + (3.3 + 2) \\ \text{Substitusi } x & = 3 \\ 27 + 18 + 3m + n & = 0 + (11) \\ 45 + 3m + n & = 11 \\ 3m + n & = -34 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align}$
*). ELiminasi pers(i) dan pers(ii) :

$\begin{array}{cc} m + n = 2 & \\ 3m + n = -34 & - \\ \hline -2m = 36 & \\ m = -18 & \end{array}$
Pers(i):

$m + n = 2 \rightarrow -18 + n = 2 \rightarrow n = 20$
Jadi, nilai

$n = 20 . \, \heartsuit$

Pembahasan Logaritma UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Jika

$\frac{1}{{}^2 \log p + {}^4 \log q } = 4$ , maka

$p^2 q = ....$
A).

$\frac{3}{2} \,$ B).

$\sqrt{2} \,$ C).

$\frac{1}{2} \,$ D).

$\sqrt{3} \,$ E).

$4 \,$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
1).

${}^a \log b = {}^{a^n} \log b^n$
2).

${}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (b.c)$
*). Definisi logaritma :

${}^a \log b = c \rightarrow a^c = b$
*). Sifat-sifat eksponen :

$(a^m)^n = a^{m.n} \,$ dan

$a^\frac{1}{2} = \sqrt{a}$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :

$\begin{align} \frac{1}{{}^2 \log p + {}^4 \log q } & = 4 \\ \frac{1}{{}^{2^2} \log p^2 + {}^4 \log q } & = 4 \\ \frac{1}{{}^4 \log p^2 + {}^4 \log q } & = 4 \\ \frac{1}{{}^4 \log (p^2 .q) } & = 4 \\ {}^4 \log (p^2 .q) & = \frac{1}{4} \\ p^2 .q & = 4^ \frac{1}{4} \\ p^2q = (2^2)^ \frac{1}{4} = ( 2)^ \frac{1}{2} & = \sqrt{2} \end{align}$
Jadi, nilai

$p^2q = \sqrt{2} . \, \heartsuit$

Pembahasan Barisan GeoArit UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri dan jumlahnya

$-48$ . Jika bilangan ke-2 dan ke-3 ditukar letaknya menghasilkan sebuah barisan aritmetika, maka nilai bilangan ke-2 dari barisan semula adalah ....
A).

$-32 \,$ B).

$-28 \,$ C).

$28 \,$ D).

$32 \,$ E).

$36$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan Geometri : Perbandingan sama,
*). Ciri-ciri barisan aritmetika : Selisih sama.

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Misalkan barisan awalnya :

$a, b, c$
-). Jumlah =

$- 48 \rightarrow a + b + c = -48 \,$ ....(i)
-). Perbandingan sama :

$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} \rightarrow b^2 = ac \,$ ....(ii)
*). Bilangan kedua dan ketiga ditukar :

$a, c, b \,$ membentuk barisan aritmetika.
-). Selisih sama :

$c - a = b - c \rightarrow 2c = a + b \,$ ....(iii)
*). Substitusi pers(iii) ke pers(i) :

$\begin{align} a + b + c & = -48 \\ 2c + c & = -48 \\ 3c & = -48 \\ c & = -16 \end{align}$
Pers(iii):

$2c = a + b \rightarrow 2.(-16) = a + b \rightarrow a = -b - 32$
Pers(ii):

$b^2 = ac \rightarrow b^2 = -16a$
*). Substitusi pers(iii) ke pers(ii) :

$\begin{align} b^2 & = -16a \\ b^2 & = -16(-b - 32) \\ b^2 & = 16b + 16 \times 32 \\ b^2 - 16b - 16 \times 32 & = 0 \\ (b + 16)(b - 32) & = 0 \\ b = -16 \vee b & = 32 \end{align}$
Jadi, bilangan ke-2 barisan geometrinya adalah

$32 . \, \heartsuit$
(pilih yang ada dioption)

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Suatu barisan geometri mempunyai rasio positif. Jika suku ke-3 bernilai

$2p$ dan suku ke-2 dikurangi suku ke-4 sama dengan

$p\sqrt{2}$ , maka rasio barisan tersebut adalah ....
A).

$\sqrt{2} \,$ B).

$2\sqrt{2} \,$ C).

$\frac{1}{2}\sqrt{2} \,$ D).

$2 \,$ E).

$\frac{1}{2} \,$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-

$n$ barisan geometri :

$U_n = ar^{n-1}$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Persamaan pertama :

$U_3 = 2p \rightarrow ar^2 = 2p \rightarrow a = \frac{2p}{r^2} \,$ ....(i)
*). Persamaan kedua :

$\begin{align} U_2 - U_4 & = p\sqrt{2} \\ ar - ar^3 & = p\sqrt{2} \\ ar( 1 - r^2) & = p\sqrt{2} \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align}$
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :

$\begin{align} ar( 1 - r^2) & = p\sqrt{2} \\ \frac{2p}{r^2}. r( 1 - r^2) & = p\sqrt{2} \\ \frac{2p}{r }( 1 - r^2) & = p\sqrt{2} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi } p) \\ \frac{2}{r }( 1 - r^2) & = \sqrt{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali } r) \\ 2( 1 - r^2) & = \sqrt{2}r \\ 2 - 2r^2 & = \sqrt{2}r \\ 2r^2 + \sqrt{2}r - 2 & = 0 \\ (2r - \sqrt{2} )( r + \sqrt{2} ) & = 0 \\ (2r - \sqrt{2} )& = 0 \rightarrow r = \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ ( r + \sqrt{2} ) & = 0 \rightarrow r = -\sqrt{2} \end{align}$
Karena rasio positif, maka

$r = \frac{1}{2}\sqrt{2} \,$ yang memenuhi.
Jadi, rasio barisannya adalah

$\frac{1}{2}\sqrt{2} . \, \heartsuit$

Catatan : Jika sulit dalam memfaktorkan langsung, teman-teman bisa menggunakan rumus ABC yaitu

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Pembahasan Limit UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^3 - 2x^2} - x - 1 \right) = ....$
A).

$\frac{5}{3} \,$ B).

$\frac{2}{3} \,$ C).

$-\frac{1}{3} \,$ D).

$-\frac{2}{3} \,$ E).

$-\frac{5}{3}$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Rumus Limit tak hingga :

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{ax^n + bx^{n-1}+ ...}- \sqrt[n]{ax^n + px^{n-1}+ ...} = \frac{b-p}{n.(a)^\frac{n-1}{n}}$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal dengan modifikasi :

$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^3 - 2x^2} - x - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^3 - 2x^2} - (x + 1) \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^3 - 2x^2} - \sqrt[3]{(x + 1)^3} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^3 - 2x^2} - \sqrt[3]{x^3 + 3x^2 + 3x + 1} \right) \\ & a = 1 , b = -2 , p = 3 \\ & = \frac{b-p}{n.(a)^\frac{n-1}{n}} = \frac{-2-3}{3.(1)^\frac{3-1}{3}} = \frac{-5}{3} \end{align}$
Jadi, hasil limitnya adalah

$- \frac{5}{3} . \, \heartsuit$

Soal dan Pembahasan UM UGM 2007 Matematika IPA

Nomor 1

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^3 - 2x^2} - x - 1 \right) = ....$
A).

$\frac{5}{3} \,$ B).

$\frac{2}{3} \,$ C).

$-\frac{1}{3} \,$ D).

$-\frac{2}{3} \,$ E).

$-\frac{5}{3}$

Nomor 2

Suatu barisan geometri mempunyai rasio positif. Jika suku ke-3 bernilai

$2p$ dan suku ke-2 dikurangi suku ke-4 sama dengan

$p\sqrt{2}$ , maka rasio barisan tersebut adalah ....
A).

$\sqrt{2} \,$ B).

$2\sqrt{2} \,$ C).

$\frac{1}{2}\sqrt{2} \,$ D).

$2 \,$ E).

$\frac{1}{2} \,$

Nomor 3

Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri dan jumlahnya

$-48$ . Jika bilangan ke-2 dan ke-3 ditukar letaknya menghasilkan sebuah barisan aritmetika, maka nilai bilangan ke-2 dari barisan semula adalah ....
A).

$-32 \,$ B).

$-28 \,$ C).

$28 \,$ D).

$32 \,$ E).

$36$

Nomor 4

Jika

$\frac{1}{{}^2 \log p + {}^4 \log q } = 4$ , maka

$p^2 q = ....$
A).

$\frac{3}{2} \,$ B).

$\sqrt{2} \,$ C).

$\frac{1}{2} \,$ D).

$\sqrt{3} \,$ E).

$4 \,$

Nomor 5

Suku banyak berderajat tiga

$P(x) = x^3 + 2x^2 + mx + n$ dibagi dengan

$x^2 - 4x + 3$ mempunyai sisa

$3x + 2$ , maka nilai

$n = ....$
A).

$-20 \,$ B).

$-16 \,$ C).

$10 \,$ D).

$16 \,$ E).

$20$

Nomor 6

Semua nilai

$x$ yang memenuhi

$x|x-2| < x - 2$ adalah ....
A).

$x < -1\,$ atau

$1 < x < 2$
B).

$x < -2$
C).

$-2 < x < -1$
D).

$x < -1$
E).

$-2 < x < 1 \,$

Nomor 7

Alas bidang empat D.ABC berbentuk segitiga siku-siku dama kaki dengan

$\angle BAC = 90^\circ$ . Proyeksi D pada segitiga ABC adalah E sehingga E merupakan titik tengah BC. Jika

$AB = AC = p$ dan

$DE = 2p$ , maka

$AD = ....$
A).

$\frac{3}{2}p\sqrt{2} \,$ B).

$\frac{3}{2}p\sqrt{3} \,$ C).

$3p \,$ D).

$p\sqrt{6} \,$ E).

$p\sqrt{5}$

Nomor 8

Diketahui vektor-vektor

$\vec{a} = (2,2,z)$ ,

$\vec{b}= (-8,y,-5 )$ dan

$\vec{d} = (2x,22-z,8)$ . Jika vektor

$\vec{ a }$ tegak lurus dengan vektor

$\vec{b }$ dan vektor

$\vec{ c }$ sejajar dengan

$\vec{ d}$ , maka

$y + z = ....$
A).

$5 \,$ B).

$-1 \,$ C).

$2 \,$ D).

$1 \,$ E).

$-5$

Nomor 9

Diketahui segitiga PQR siku-siku di P. Jika

$\sin Q \sin R = \frac{3}{10}$ dan

$\sin (Q- R) = \frac{5}{2}a$ , maka nilai

$a = ....$
A).

$\frac{2}{7} \,$ B).

$\frac{1}{3} \,$ C).

$\frac{1}{5} \,$ D).

$\frac{8}{25} \,$ E).

$\frac{4}{25} \,$

Nomor 10

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \,$
B).

$-\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 \,$
C).

$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \,$
D).

$-\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \,$
E).

$-\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1 \,$

Nomor 11

$95 \,$ B).

$55 \,$ C).

$35 \,$ D).

$15 \,$ E).

$5$

Nomor 12

Perhatikan gambar di atas. Jika

$P\left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right)$ maka luas daerah terarsir adalah ....
A).

$\frac{1}{6} \,$ B).

$\frac{1}{3} \,$ C).

$\frac{5}{8} \,$ D).

$\frac{2}{3} \,$ E).

$\frac{3}{4}$

Nomor 13

$60 \,$ B).

$24 \,$ C).

$20 \,$ D).

$18 \,$ E).

$9$

Nomor 14

Jika dalam suatu deret berlaku

${}^3 \log x + {}^3 \log ^2 x + {}^3 \log ^3 x + .... = 1$
maka nilai

$x$ adalah ....
A).

$\frac{1}{3} \,$ B).

$\frac{\sqrt{3}}{3} \,$ C).

$\sqrt{3} \,$ D).

$\frac{2}{9} \,$ E).

$\frac{1}{9} \,$

Nomor 15

Jika

$x_1$ dan

$x_2$ akar-akar persamaan

$x^2 - 2x + k = 0$ dan

$2x_1, x_2, x_2^2 - 1$ adalah 3 suku berturutan suatu deret aritmetika dengan beda positif, maka

$x_1^2 + x_2^2 = ....$
A).

$4 \,$ B).

$6 \,$ C).

$8 \,$ D).

$10 \,$ E).

$12$

Pembahasan Matriks Logaritma UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Jika matriks

$\left( \begin{matrix} {}^x \log a & \log (4a-14) \\ \log (b-4) & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \log b & 1 \\ \log a & 1 \end{matrix} \right)$ , maka

$a = ....$
A).

$1 \,$ B).

$4 \,$ C).

$6 \,$ D).

$10 \,$ E).

$10^6$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Kesamaan dua buah matriks yaitu unsur yang seletak nilainya sama.
*). Definisi logaritma :

${}^a \log b = c \rightarrow a^c = b \,$ atau

$b = a^c$
*). Persamaan logaritma :

${}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x)$
*). Bentuk

$\log x = {}^{10} \log x$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :

$\begin{align} \left( \begin{matrix} {}^x \log a & \log (4a-14) \\ \log (b-4) & 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \log b & 1 \\ \log a & 1 \end{matrix} \right) \\ {}^x \log a & = \log b \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ \log (4a - 14) & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \\ \log (b-4) & = \log a \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align}$
*). Persamaan (ii) :

$\begin{align} \log (4a - 14) & = 1 \\ {}^{10} \log (4a - 14) & = 1 \\ (4a - 14) & = 10^1 \\ 4a & = 10 + 14 \\ 4a & = 24 \\ a & = 6 \end{align}$
*). Persamaan (iii) :

$\begin{align} \log (b-4) & = \log a \\ b - 4 & = 6 \\ b & = 10 \end{align}$
*). Persamaan (i) :

$\begin{align} {}^x \log a & = \log b \\ {}^x \log 6 & = {}^{10} \log 10 \\ {}^x \log 6 & = 1 \\ x^1 & = 6 \\ x & = 6 \end{align}$
Jadi, nilai

$x = 6 . \, \heartsuit$

Pembahasan Turunan Kuadrat UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Akar-akar persamaan

$x^2 - (a+3)x + 4a = 0$ adalah

$\alpha$ dan

$\beta$ . Nilai minimum dari

$\alpha ^2 + \beta ^2 + 4\alpha \beta \,$ dicapai untuk

$a = ....$
A).

$-7 \,$ B).

$-2 \,$ C).

$2 \,$ D).

$3 \,$ E).

$7$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Fungsi

$f(x)$ mencapai minimum pada saat

$f^\prime (x) = 0$
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat :

$ax^2 + bx + c = 0$

$\alpha + \beta = \frac{-b}{a} \,$ dan

$\alpha . \beta = \frac{c}{a}$

$\alpha ^2 + \beta ^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha . \beta$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). PK :

$x^2 - (a+3)x + 4a = 0 \,$ dengan akar-akar

$\alpha$ dan

$\beta$

$\begin{align} \alpha + \beta & = \frac{-b}{a} = \frac{-[-(a+3)]}{1} = a + 3 \\ \alpha . \beta & = \frac{c}{a} = \frac{4a}{1} = 4a \end{align}$
*). Misalkan fungsinya :

$f(a) = \alpha ^2 + \beta ^2 + 4\alpha \beta$
*). Menentukan fungsi

$f(a)$ :

$\begin{align} f(a) & = \alpha ^2 + \beta ^2 + 4\alpha \beta \\ & = [(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha . \beta] + 4\alpha \beta \\ & = (\alpha + \beta)^2 + 2\alpha . \beta \\ & = (a+3)^2 + 2. (4a) \\ & = (a^2 + 6a + 9) + 8a \\ f(a) & = a^2 + 14a + 9 \\ f^\prime (a) & = 2a + 14 \end{align}$
*). Menentukan nilai

$a$ dengan syarat

$f^\prime (a) = 0$ :

$\begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ 2a + 14 & = 0 \\ 2a & = -14 \\ a & = -7 \end{align}$
Jadi, nilai

$a = -7 . \, \heartsuit$

Pembahasan Persamaan Matriks UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Jika

$\left( \begin{matrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)$
maka

$p + q + r + s = ....$
A).

$-5 \,$ B).

$-4 \,$ C).

$3 \,$ D).

$4 \,$ E).

$5 \,$

$\spadesuit$ Konsep Dasar Pada Matriks
*). Perkalian matriks , caranya :
Perkalian = baris kali kolom.
*). bentuk persamaan :

$A + B = C \rightarrow B = C - A$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :

$\begin{align} \left( \begin{matrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1+2+0 & -1+0+0 \\ -3-1+4 & 3+0+2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 0 & -4 \end{matrix} \right) \end{align}$
Artinya nilai

$p = -2, q = 1 , r = 0$ dan

$s = -4$ .
Sehingga nilai :

$p+q+r+s = -2 + 1 + 0 + (-4) = -5$
Jadi, nilai

$p+q+r+s = -5 . \, \heartsuit$

Pages - Menu