dunia informa

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 satuan. Titik K adalah titik tengah CD. Jika

$\alpha$ adalah sudut antara AK dan BH, maka

$\cos \alpha = ....$
A).

$\frac{1}{3}\sqrt{3} \,$ B).

$\frac{1}{5}\sqrt{5} \,$ C).

$\frac{1}{15}\sqrt{15} \,$ D).

$\frac{1}{5}\sqrt{15} \,$ E).

$\frac{1}{3}\sqrt{15} \,$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Aturan Cosinus pada segitiga

Pada segitiga ABC di atas berlaku aturan cosinus :

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \,$ atau

$\cos A =\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
*). Dua buah garis membentuk sudut jika kedua garis berpotongan.

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar

*). Garis AK kita geser ke bidang BMNC sehingga berimpit dengan BO dimana

$BO = AK$ .
*). Sudut antara AK dan BH adalah sudut HBO.
*). Panjang

$BH = 2\sqrt{3} \,$ (diagonal ruang kubus)
Perhatikan segitiga BCO siku-siku di C :

$BO = \sqrt{BC^2 + CO^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
Perhatikan segitiga HDO siku-siku di D :

$HO = \sqrt{HD^2 + DO^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$
*). Aturan Cosinus pada segitiga HBO :

$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{HB^2 + BO^2 - HO^2}{2 . HB.BO} \\ & = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{13})^2}{2.2\sqrt{3}.\sqrt{5}} \\ & = \frac{12 + 5 - 13}{4\sqrt{15}} = \frac{4}{4\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{1}{15}\sqrt{15} \end{align}$
Jadi, nilai

$\cos \alpha = \frac{1}{15}\sqrt{15} . \, \heartsuit$

dunia informa

Pages - Menu

Kode 249 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016