Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 satuan. Titik K adalah titik tengah CD. Jika $ \alpha $ adalah
sudut antara AK dan BH, maka $ \cos \alpha = .... $
A). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $ C). $ \frac{1}{15}\sqrt{15} \, $ D). $ \frac{1}{5}\sqrt{15} \, $ E). $ \frac{1}{3}\sqrt{15} \, $
A). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $ C). $ \frac{1}{15}\sqrt{15} \, $ D). $ \frac{1}{5}\sqrt{15} \, $ E). $ \frac{1}{3}\sqrt{15} \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan Cosinus pada segitiga
Pada segitiga ABC di atas berlaku aturan cosinus :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \, $ atau $ \cos A =\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $
*). Dua buah garis membentuk sudut jika kedua garis berpotongan.
*). Aturan Cosinus pada segitiga
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \, $ atau $ \cos A =\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $
*). Dua buah garis membentuk sudut jika kedua garis berpotongan.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
*). Garis AK kita geser ke bidang BMNC sehingga berimpit dengan BO dimana $ BO = AK $.
*). Sudut antara AK dan BH adalah sudut HBO.
*). Panjang $ BH = 2\sqrt{3} \, $ (diagonal ruang kubus)
Perhatikan segitiga BCO siku-siku di C :
$ BO = \sqrt{BC^2 + CO^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
Perhatikan segitiga HDO siku-siku di D :
$ HO = \sqrt{HD^2 + DO^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} $
*). Aturan Cosinus pada segitiga HBO :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{HB^2 + BO^2 - HO^2}{2 . HB.BO} \\ & = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{13})^2}{2.2\sqrt{3}.\sqrt{5}} \\ & = \frac{12 + 5 - 13}{4\sqrt{15}} = \frac{4}{4\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{1}{15}\sqrt{15} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \alpha = \frac{1}{15}\sqrt{15} . \, \heartsuit $
*). Ilustrasi gambar
*). Garis AK kita geser ke bidang BMNC sehingga berimpit dengan BO dimana $ BO = AK $.
*). Sudut antara AK dan BH adalah sudut HBO.
*). Panjang $ BH = 2\sqrt{3} \, $ (diagonal ruang kubus)
Perhatikan segitiga BCO siku-siku di C :
$ BO = \sqrt{BC^2 + CO^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
Perhatikan segitiga HDO siku-siku di D :
$ HO = \sqrt{HD^2 + DO^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} $
*). Aturan Cosinus pada segitiga HBO :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{HB^2 + BO^2 - HO^2}{2 . HB.BO} \\ & = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{13})^2}{2.2\sqrt{3}.\sqrt{5}} \\ & = \frac{12 + 5 - 13}{4\sqrt{15}} = \frac{4}{4\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{1}{15}\sqrt{15} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \alpha = \frac{1}{15}\sqrt{15} . \, \heartsuit $
