Pembahasan Statistika UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gaji karyawan suatu perusahaan digolongkan menurut golongan I, II, dan III, dengan jumlah karyawan berturut-turut 6, 8 dan 4 orang. Gaji karyawan golongan I adalah 2 juta kurangnya dari gaji karyawan golongan II, sedangkan gaji karyawan golongan III adalah 3 juta lebihnya dari gaji karyawan golongan II. Jika gaji rata-rata semua karyawan adalah 6 juta, maka gaji rata-rata gabungan golongan I dan III adalah ... juta.
A). $ 5 \, $ B). $ 5,4 \, $ C). $ 5,5 \, $ D). $ 5,8 $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus rata-rata $ (\overline{X} ) $ :
$ \overline{X} = \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan besar gaji masing-masing golongan untuk setiap orangnya :
Golongan I sebesar $ a $, Golongan II sebesar $ b $ , dan Golongan III sebesar $ c $.
*). Menyusun persamaan :
-). golongan I adalah 2 juta kurangnya dari gaji karyawan golongan II
$ a = b - 2 \, $ ....(i)
-). golongan III adalah 3 juta lebihnya dari gaji karyawan golongan II
$ c = b + 3 \, $ ....(ii)
-). gaji rata-rata semua karyawan adalah 6 juta
$ \begin{align} \frac{\text{total gaji}}{\text{total orang}} & = 6 \\ \frac{6a + 8b + 4c}{6 + 8 + 4} & = 6 \\ \frac{6a + 8b + 4c}{18} & = 6 \\ 6a + 8b + 4c & = 108 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 3a + 4b + 2c & = 54 \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \\ \end{align} $
*). Substitusi pers(i) dan (ii) ke (iii) :
$ \begin{align} 3a + 4b + 2c & = 54 \\ 3(b-2) + 4b + 2(b+3) & = 54 \\ 3b - 6 + 4b + 2b + 6 & = 54 \\ 9b & = 54 \\ b & = 6 \end{align} $
Sehingga nilai yang lainnya :
$ a = b - 2 = 6 - 2 = 4 $
$ c = b + 3 = 6 + 3 = 9 $
*). Menentukan rata-rata gaji golongan I dan III
$ \begin{align} \overline{X}_{\text{I dan II}} & = \frac{\text{total gaji I + total gaji III}}{\text{total orang I + III}} \\ & = \frac{6a + 4c}{6+4} = \frac{6.4 + 4.9}{10} \\ & = \frac{24 + 36}{10} = \frac{60}{10} = 6 \end{align} $
Jadi, rata-rata gaji golongan I dan III adalah 6 juta $ . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Bentuk Akar UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Bentuk sederhana dari $ 78 \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) $ adalah ...
A). $ 234 \, $ B). $ 312 \, $ C). $ 468 $ D). $ 546 $ E). $ 624 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a}.\sqrt{b} = \sqrt{a.b} $
$ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2.b} $
*). Sifat bentuk akar dalam akar :
$ \sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $
$ \sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} $
dengan $ a \geq b $
Contoh :
$ \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(5+2) + 2\sqrt{5.2}} = \sqrt{5} + \sqrt{2} $
$ \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(5+2) - 2\sqrt{5.2}} = \sqrt{5} - \sqrt{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} & 78 \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) \\ & = 78 \left( \sqrt{17+2.6\sqrt{2}} + \sqrt{17-2.6\sqrt{2}} \right) \\ & = 78 \left( \sqrt{17+2 \sqrt{6^2.2}} + \sqrt{17-2\sqrt{6^2.2}} \right) \\ & = 78 \left( \sqrt{17+2 \sqrt{72}} + \sqrt{17-2\sqrt{72}} \right) \\ & = 78 \left( \sqrt{(9+8)+2 \sqrt{9.8}} + \sqrt{(9+8)-2\sqrt{9.8}} \right) \\ & = 78 \left( (\sqrt{9} + \sqrt{8}) + (\sqrt{9} - \sqrt{8}) \right) \\ & = 78 \left( (3 + \sqrt{8}) + (3 - \sqrt{8}) \right) \\ & = 78 \left( 6 \right) = 468 \end{align} $
Jadi, nilai $ 78\left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) = 468 . \, \heartsuit $

Pembahasan Bentuk Akar UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Bentuk sederhana dari $ 78 \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) $ adalah ...
A). $ 234 \, $ B). $ 312 \, $ C). $ 468 $ D). $ 546 $ E). $ 624 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat eksponen dan bentuk akar :
$ a^2 = b \rightarrow a = b^\frac{1}{2} = \sqrt{b} $
$ (\sqrt{a})^2 = a $
$ (a+ b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ \sqrt{a}.\sqrt{b} = \sqrt{a.b} $
$ (a + b\sqrt{c})(a - b\sqrt{c}) = a^2 - b^2.c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hasil $ \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) $ :
misalkan $ t = \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) $
$ \begin{align} t^2 & = \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right)^2 \\ & = \sqrt{17+12\sqrt{2}} ^2 + \sqrt{17-12\sqrt{2}} ^2 + 2 \sqrt{17+12\sqrt{2}} . \sqrt{17-12\sqrt{2}} \\ & = 17+12\sqrt{2} + 17-12\sqrt{2} + 2 \sqrt{(17+12\sqrt{2}).(17-12\sqrt{2})} \\ & = 34 + 2 \sqrt{17^2 - 12^2.2} \\ & = 34 + 2 \sqrt{289 - 288} \\ & = 34 + 2 \sqrt{1} \\ & = 34 + 2 .1 \\ t^2 & = 36 \\ t & = \sqrt{36} \\ t & = 6 \end{align} $
sehingga nilai $ \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) = t = 6 $
*). Hasil akhirnya :
$ \begin{align} 78 \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) & = 78 \times 6 = 468 \end{align} $
Jadi, nilai $ 78\left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) = 468 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah tim sepak bola terdiri dari 15 orang termasuk Adi dan Bagus. Peluang tim yang dapat dibentuk jika Adi dan Bagus harus masuk tim adalah ...
A). $ \frac{3}{13} \, $ B). $ \frac{3}{11} \, $ C). $ \frac{3}{7} \, $ D). $ \frac{10}{21} \, $ E). $ \frac{11}{21} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Peluang kejadian A $ P(A) $ :
$ \, \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (ruang sampel)
*). Rumus kombinasi : $ C^n_r = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $
dengan $ n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1 $
Contoh $ 3! = 3.2.1 = 6 $ dan $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 $
*). Kombinasi digunakan untuk kejadian yang tidak memperhatikan urutan.
Misalkan pembentukan sebuah tim, AB dengan BA tetap dihitung sama yaitu satu tim saja.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada 15 orang yang akan dipilih sebagai sebuah tim sepak bola yang terdiri dari 11 orang. Sehingga semua kejadian yang mungkin :
$ \begin{align} n(S) & = C^{15}_{11} = \frac{15!}{(15-11)!.11!} = \frac{15!}{4!.11!} \\ & = \frac{15.14.13.12}{4.3.2.1} = 15 \times 7 \times 13 \end{align} $
*). Menentukan banyak kejadian yang diharapkan $ n(A) $ :
-). Adi dan Bagus harus selalu ikut, artinya dua orang sudah pasti terpilih atau dua orang tersebut harus ada pada setiap tim sepak bola yang terbentuk.
-). Karena dua orang sudah terpilih, maka tinggal memilih sisanya yaitu 9 orang (agar berjumlah 11 orang).
-). dari keseluruhan 15 orang, sudah terpilih 2 orang (Adi dan Bagus), sehingga tersisa 13 orang yang bisa dipilih untuk melengkapi 9 orang yang akan kita pilih.
-). Banyak caranya memilih 9 orang dari 13 orang yang tersedia :
$ \begin{align} n(S) & = C^{13}_{9} = \frac{13!}{(13-9)!.9!} = \frac{13!}{4!.9!} \\ & = \frac{13.12.11.10}{4.3.2.1} = 13 \times 11 \times 5 \end{align} $
*). Menentukan Peluangnya :
$ \begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{13 \times 11 \times 5}{15 \times 7 \times 13} = \frac{11}{21} \end{align} $
Jadi, peluangnnya adalah $ \frac{11}{21} . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Fungsi Invers UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $ untuk $ x \neq 2 $. Jika $ f^{-1}(4) = 1 $ , maka nilai $ f(3) = ...$
A). $ -10 \, $ B). $ -8 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi Invers :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1} (B) $
atau
$ f^{-1} (P) = Q \rightarrow P = f(Q) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ f^{-1}(4) = 1 $ :
$ \begin{align} f^{-1}(4) & = 1 \\ 4 & = f(1) \\ 4 & = \frac{a.1+1}{2-1} \\ 4 & = \frac{a+1}{1} \\ 4 & = a + 1 \\ 3 & = a \end{align} $
sehingga $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} = \frac{3x+1}{2-x} $
*). Menetukan nilai $ f(3) $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{3x+1}{2-x} \\ f(3) & = \frac{3.3+1}{2-3} \\ & = \frac{10}{-1} = -10 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(3) = -10 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Fungsi Invers UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $ untuk $ x \neq 2 $. Jika $ f^{-1}(4) = 1 $ , maka nilai $ f(3) = ...$
A). $ -10 \, $ B). $ -8 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Invers fungsi pecahan :
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{-dx + b}{cx - a} $
atau
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{dx - b}{-cx + a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan invers fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $
$ \begin{align} f(x) & = \frac{ax+1}{2-x} \\ f(x) & = \frac{ax+1}{-x+2} \\ f^{-1} (x) & = \frac{2x - 1}{x + a} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ f^{-1}(4) = 1 $ :
$ \begin{align} f^{-1}(4) & = 1 \\ \frac{2.4 - 1}{4 + a} & = 1 \\ \frac{7}{4 + a} & = 1 \\ 4 + a & = 7 \\ a & = 3 \end{align} $
sehingga $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} = \frac{3x+1}{2-x} $
*). Menetukan nilai $ f(3) $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{3x+1}{2-x} \\ f(3) & = \frac{3.3+1}{2-3} \\ & = \frac{10}{-1} = -10 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(3) = -10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Invers UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $ untuk $ x \neq 2 $. Jika $ f^{-1}(4) = 1 $ , maka nilai $ f(3) = ...$
A). $ -10 \, $ B). $ -8 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
(ubah $ x $ dalam bentuk $ y $ )

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan invers fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $
$ \begin{align} f(x) & = \frac{ax+1}{2-x} \\ y & = \frac{ax+1}{2-x} \\ y(2-x) & = ax + 1 \\ 2y - xy & = ax + 1 \\ ax + xy & = 2y - 1 \\ x(y + a) & = 2y - 1 \\ x & = \frac{2y - 1}{y + a} \\ f^{-1} (x) & = \frac{2x - 1}{x + a} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ f^{-1}(4) = 1 $ :
$ \begin{align} f^{-1}(4) & = 1 \\ \frac{2.4 - 1}{4 + a} & = 1 \\ \frac{7}{4 + a} & = 1 \\ 4 + a & = 7 \\ a & = 3 \end{align} $
sehingga $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} = \frac{3x+1}{2-x} $
*). Menetukan nilai $ f(3) $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{3x+1}{2-x} \\ f(3) & = \frac{3.3+1}{2-3} \\ & = \frac{10}{-1} = -10 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(3) = -10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan lingkaran dengan titik pusat berada pada kurva $ x = y^2 $ dan menyinggung sumbu Y adalah ...
A). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^2 = 0 $
B). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by - b^2 = 0 $
C). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^4 = 0 $
D). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by - b^4 = 0 $
E). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^2 + b^4 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $ (a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Lingkaran berpusat $ ( a,b) $ menyinggung sumbu Y, maka jari-jarinya $ r = a $ . Begitu juga sebaliknya, jika menyinggung sumbu X maka jari-jarinya $ r = b $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan pusat lingkarannya $ (a,b) $. Karena lingkaran menyinggung sumbu Y, maka jari-jarinya $ r = a $.
*). Substitusi pusat $ (a,b) $ ke kurva $ x = y^2 $ :
$ \begin{align} (x,y) = (a,b) \rightarrow a & = b^2 \end{align} $
Sehingga jari-jarinya :
$ r = a = b^2 $
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $ (a,b) $ dan $ r = b^2 $ :
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-b^2)^2 + (y-b)^2 & = (b^2)^2 \\ x^2 - 2b^2x + b^4 + y^2 - 2by + b^2 & = b^4 \\ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^2 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaannya $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^2 = 0 . \, \heartsuit $