Pembahasan Trigonometri UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan segitiga ABC dengan $ \angle ACB = 105^\circ $, $ \angle ABC = 45^\circ $, dan $ AB = \sqrt{2}+\sqrt{6} $ cm. Panjang sisi BC sama dengan ....
A). $ \sqrt{3} \, $ cm
B). $ \sqrt{6} \, $ cm
C). $ 2 \, $ cm
D). $ 3 \, $ cm
E). $ 2\sqrt{2} \, $ cm

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus dasar trigonometri :
$ \sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
*). Aturan sinus :
$ \frac{a}{\sin A } = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan besar sudut A pada segitga ABC dengan $ \angle B = 45^\circ $ dan $ \angle C = 105^\circ $ :
$ \begin{align} \text{jumlah sudut segitiga } & = 180^\circ \\ \angle A + \angle B + \angle C & = 180^\circ \\ \angle A + 45^\circ + 105^\circ & = 180^\circ \\ \angle A + 150^\circ & = 180^\circ \\ \angle A & = 30^\circ \end{align} $
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Menentukan nilai $ \sin 105^\circ $ :
$ \begin{align} \sin 105^\circ & = \sin (60 ^\circ + 45^\circ ) \\ & = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3}. \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6} + \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) = \frac{1}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{6} ) \end{align} $
*). Menentukan BC dengan aturan sinus :
$ \begin{align} \frac{BC}{\sin \angle A} & = \frac{AB}{\sin \angle C} \\ \frac{BC}{\sin 30^\circ } & = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sin 105^\circ } \\ \frac{BC}{ \frac{1}{2} } & = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\frac{1}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{6} )} \\ \frac{BC}{ \frac{1}{2} } & = \frac{1}{\frac{1}{4}} \\ \frac{BC}{ \frac{1}{2} } & = 4 \\ BC & = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \end{align} $
Jadi, panjang BC $ = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{\tan x - \tan y}{\left(1 - \frac{x}{y}\right)(1 + \tan x. \tan y) } = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ y \, $ E). $ -y \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\tan f(x)}{f(x)} = 1 $
dengan syarat $ f(k) = 0 $
*). RUmus trigonometri :
$ \tan (x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x. \tan y} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{\tan x - \tan y}{\left(1 - \frac{x}{y}\right)(1 + \tan x. \tan y) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{\tan x - \tan y}{\left(\frac{y}{y} - \frac{x}{y}\right)(1 + \tan x. \tan y) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{\tan x - \tan y}{\left(\frac{y - x }{y} \right)(1 + \tan x. \tan y) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{1}{\left(\frac{y - x }{y} \right)} . \frac{\tan x - \tan y}{(1 + \tan x. \tan y) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{y}{y-x} . \tan (x - y) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{y}{-(x-y)} . \tan (x - y) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } -y . \frac{\tan (x - y)}{(x-y)} \\ & = -y . 1 = - y \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ -y . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Aljabar UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ \infty \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu $ \frac{0}{0} $, bisa dengan cara L'Hopital (cara turunan).
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan fungsi :
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1}. f^\prime (x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ y = \sqrt{1 + x} = (1+x)^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}} $
$ y = \sqrt[3]{1 + x} = (1+x)^\frac{1}{3} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}} $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} \, \, \, \, \, \text{(turnan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}} }{\frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}}} \\ & = \frac{\frac{1}{2}(1+0)^{-\frac{1}{2}} }{\frac{1}{3}(1+0)^{-\frac{2}{3}}} \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Aljabar UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ \infty \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu $ \frac{0}{0} $, bisa dengan cara merasionalkan.
*). Bentuk pemfaktoran :
1). $ (\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a}+1) = a - 1 $
2). $ (\sqrt[3]{a} - 1)((\sqrt[3]{a})^2 + \sqrt[3]{a} + 1) = a - 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} \times \frac{\sqrt{1 + x} + 1 }{\sqrt{1 + x} + 1 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{(1 + x) - 1 }{(\sqrt{1 + x} + 1)(\sqrt[3]{1+x} - 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x}{(\sqrt{1 + x} + 1)(\sqrt[3]{1+x} - 1)} \times \frac{((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{(\sqrt{1 + x} + 1)((1+x) - 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{(\sqrt{1 + x} + 1)x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{(\sqrt{1 + x} + 1)} \\ & = \frac{((\sqrt[3]{1 + 0})^2 + \sqrt[3]{1 + 0} + 1) }{(\sqrt{1 + 0} + 1)} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan PK UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
AKar-akar persamaan $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ diketahui saling berkebalikan dengan akar-akar persamaan $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $. Nilai $ ab = .... $
A). $ -10 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat(PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berkebalikan dengan $ ax^2 + bx + c = 0 $ adalah $ cx^2 + bx + a = 0 $
($a$ dan $ c $ ditukar posisinya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berkebalikan dari persamaan kuadrat $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ adalah
$ \begin{align} -3x^2 + ax + 2 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 3x^2 - ax - 2 & = 0 \end{align} $
*). Bentuk $ 3x^2 - ax - 2 = 0 $ sama dengan $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $, sehingga :
$ -a = -5 \rightarrow a = 5 $
$ -2 = 2b \rightarrow b = -1 $
Sehingga nilai $ ab = 5. (-1) = -5 $
Jadi, nilai $ ab = -5. \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
AKar-akar persamaan $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ diketahui saling berkebalikan dengan akar-akar persamaan $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $. Nilai $ ab = .... $
A). $ -10 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1. x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-a}{2} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{-3}{2} $
*). Karena berkebalikan, maka akar-akar dari $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $ adalah $ y_1 = \frac{1}{x_1} $ dan $ y_2 = \frac{1}{y_2} $.
-). Operasi akar-akar, dan kita gunakan persamaan kuadrat pertama :
Perkalian $ y_1.y_2 $ :
$ \begin{align} y_1.y_2 & = \frac{2b}{3} \\ \frac{1}{x_1}.\frac{1}{x_2} & = \frac{2b}{3} \\ \frac{1}{x_1.x_2} & = \frac{2b}{3} \\ \frac{1}{\frac{-3}{2}} & = \frac{2b}{3} \\ \frac{-2}{3} & = \frac{2b}{3} \\ -2 & = 2b \\ b & = -1 \end{align} $
Penjumlahan $ y_1 + y_2 $ :
$ \begin{align} y_1 + y_2 & = \frac{-(-5)}{3} \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} & = \frac{5}{3} \\ \frac{x_1 + x_2}{x_1.x_2} & = \frac{5}{3} \\ \frac{\frac{-a}{2}}{\frac{-3}{2}} & = \frac{5}{3} \\ \frac{a}{3} & = \frac{5}{3} \\ a & = 5 \end{align} $
Sehingga nilai $ ab = 5. (-1) = -5 $
Jadi, nilai $ ab = -5. \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Mutlak UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan semua nilai $ x $ yang memenuhi $ |x+8| - |3x - 4| \geq 0 $ adalah ....
A). $ \{ x| x \geq - 8 \} \, $
B). $ \{ x| x \leq \frac{4}{3} \} \, $
C). $ \{ x| -1 \leq x \leq 6 \} \, $
D). $ \{ x| -8 \leq x \leq \frac{4}{3} \} \, $
E). $ \{ x| x \leq -1 \, \text{ atau } \, x \geq 6 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= - 8 \Rightarrow |x+8| - |3x - 4| & \geq 0 \\ |-8+8| - |3.(-8) - 4| & \geq 0 \\ |0| - |-36| & \geq 0 \\ 0 - (36) & \geq 0 \\ -36 & \geq 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= -8 $ SALAH, opsi yang salah A, B, D, dan E.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisa).
Jadi, penyelesaiannya $ \{ x| -1 \leq x \leq 6 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan semua nilai $ x $ yang memenuhi $ |x+8| - |3x - 4| \geq 0 $ adalah ....
A). $ \{ x| x \geq - 8 \} \, $
B). $ \{ x| x \leq \frac{4}{3} \} \, $
C). $ \{ x| -1 \leq x \leq 6 \} \, $
D). $ \{ x| -8 \leq x \leq \frac{4}{3} \} \, $
E). $ \{ x| x \leq -1 \, \text{ atau } \, x \geq 6 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). SIfat pertidaksamaan mutlak :
$ |A| \geq |B| \rightarrow A^2 \geq B^2 $
*). Pemfaktoran : $ A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar dengan sifat pertidaksamaan mutlak :
$ \begin{align} |x+8| - |3x - 4| & \geq 0 \\ |x+8| & \geq |3x - 4| \, \, \, \, \, \, \text{(sifat mutlak)} \\ (x+8)^2 & \geq (3x - 4)^2 \\ (x+8)^2 - (3x - 4)^2 & \geq 0 \\ [(x+8)+(3x - 4) ] & [(x+8) - (3x - 4)] \geq 0 \\ [4x + 4 ][-2x + 12] & \geq 0 \\ x = -1 \vee x = 6 \end{align} $
Garis bilangan :
 

Karena yang diminta $ \geq 0 $ , maka solusinya yang positif.
Sehingga solusinya : $ -1 \leq x \leq 6 $
Jadi, nilai $ x $ adalah $ -1 \leq x \leq 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor $ \vec{u} = (2, -1, 1) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1)$. $ \vec{w} $ vektor yang panjangnya satu, tegak lurus pada $ \vec{u} $ dan tegak lurus pada $ \vec{v} $ adalah ....
A). $ ( 0,0,1) $
B). $ \left(0, \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) $
C). $ \left( 0, -\frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) $
D). $ \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) $
E). $ \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada vektor $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) $ dan $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $
-). Panjang vektro $ \vec{u} = | \vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} $
-). Perkalian silang $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ :
$ \vec{u} \times \vec{v} = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{matrix} \right| $
-). Pada perkalian silang :
Lambang $ |A| = \, $ determinan matriks A (Cara Sarrus)
*). Vektor $ \vec{w} $ yang tegak lurus $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ :
$ \vec{w} = \frac{1}{| \vec{u} \times \vec{v}| } (\vec{u} \times \vec{v}) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \vec{u} \times \vec{v} $ :
$ \begin{align} \vec{u} \times \vec{v} & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{matrix} \right| \\ & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix} \right| \\ & = (i -j + 2k) - (k -2j + i) \\ & = j + k = (0, 1, 1) \end{align} $
*). Menentukan panjang $ \vec{u} \times \vec{v} = (0,1,1) $ :
$ \begin{align} |\vec{u} \times \vec{v} | & = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \end{align} $
*). Menentukan vektor $\vec{w} $ :
$ \begin{align} \vec{w} & = \frac{1}{| \vec{u} \times \vec{v}| } (\vec{u} \times \vec{v}) \\ & = \frac{1}{\sqrt{2} } (0,1,1) \\ & = \frac{1}{2 } \sqrt{2} (0,1,1) \\ & = \left( 0,\frac{1}{2 } \sqrt{2} , \frac{1}{2 } \sqrt{2} \right) \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{w} = \left( 0,\frac{1}{2 } \sqrt{2} , \frac{1}{2 } \sqrt{2} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Pada kubus ABCD.EFGH, titik P pada AE dengan 3AP = PE, dan $ \alpha $ adalah sudut antara PH dan BC. Nilai $ \sin \alpha $ adalah ....
A). $ \frac{2}{\sqrt{10}} \, $ B). $ \frac{4}{\sqrt{41}} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ \frac{3}{4} \, $ E). $ \frac{3}{5} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dua garis akan membentu sudut jika keduanya berpotongan. Jika kedua garis belum berpotongan, geser salah satu garis sejajar dengan garis awalnya sehingga memotong garis yang lainnya.
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri :
$ \sin \alpha = \frac{depan}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar, misalkan panjang rusuk kubus = 4 :
 

-). Agar garis PH dan BC berptongan, kita geser garis BC sehingga berimpit dengan garis PQ dimana PQ tetap sejajar dengan BC. Sudut yang terbentuk antara PH dan BC adalah $ \angle HPQ = \alpha $.
-). Diketahui $ 3AP = PE \rightarrow \frac{AP}{PE} = \frac{1}{3} $
$ QH = PE = 3 $ dan $ PQ = AD = 4 $.
-). Panjang PH pada segitiga siku-siku PQH,
$ PH = \sqrt{PQ^2 + QH^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 $
*). Menentukan nilai $ \sin \alpha $ :
$ \begin{align} \sin \alpha & = \frac{QH}{PH} = \frac{3}{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \alpha = \frac{3}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sebuah lingkaran L : $ x^2 + y^2 + y - 24 = 0 $. Jika melalui titik P(1,6) dibuat garis singgung pada L, maka jarak dari P ke titik singgung tadi adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Titik pusat $ = (a,b) = \left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C $
*). Jarak dua titik $ A(x_1,y_1) $ dan $ B (x_2,y_2) $ :
jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + y - 24 = 0 $
$ A = 0 , B = 1 $ dan $ C = -24 $
-). Titik pusat $ (a,b) $ :
$ (a,b) = \left( -\frac{0}{2}, -\frac{1}{2} \right) = \left( 0, -\frac{1}{2} \right) $
-). Jari-jari $ ( r) $ :
$ r^2 = 0^2 + \left(-\frac{1}{2} \right)^2 - (-24) = \frac{1}{4} + 24 = \frac{97}{4} $
*). Ilustrasi gambar :
 

-). Dari gambar, melalui titik P dibuat garis singgung lingkaran yaitu garis $ k $ dan garis $ l $. Titik singgung garis $ k $ pada lingkaran adalah titik B. Sehingga jarak titik P ke titik singgungnya adalah jarak P ke B atau panjang PB.
*). Perhatikan segitiga PAB siku-siku di B.
-). Panjang PA = jarak P ke A :
$ \begin{align} PA^2 & = (1-0)^2 + (6 - (-\frac{1}{2}))^2 \\ & = 1 + (\frac{13}{2})^2 = 1 + \frac{169}{4} = \frac{173}{4} \end{align} $
-). Panjang AB $ = r \rightarrow AB^2 = r^2 = \frac{97}{4}$
-). Panjang PB dengan pythagoras pada segitiga PAB:
$ \begin{align} PB & = \sqrt{PA^2 - AB^2} \\ & = \sqrt{ \frac{173}{4} - \frac{97}{4} } = \sqrt{\frac{76}{4}} = \sqrt{19} \end{align} $
Jadi, jarak P ke titik singgungnya adalah $ \sqrt{19} . \, \heartsuit $
(Tidak ada jawaban).