Pembahasan Fungsi Turun UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ f $ , dengan $ f(x) = \sqrt[3]{x^3+m^3x^6} $ turun pada $ (-\infty , -1] $ , dengan $ 8m^3 + 8 = ... $
A). $ 16 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat fungsi $ y = f(x) $ turun yaitu $ f^\prime (x) < 0 $
*). Pertidaksamaan $ g(x) < 0 $ memiliki penyelesaian $ x \leq a $ , artinya $ x = a $ memenuhi $ g(a) = 0 $.
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[f(x)]^{n-1}. f^\prime (x) $
*). Bentuk interval :
$ (a,b) \, $ artinya $ a < x < b $
$ (a,b] \, $ artinya $ a < x \leq b $
$ [a,b) \, $ artinya $ a \leq x < b $
$ [a,b] \, $ artinya $ a \leq x \leq b $
*). Sifat eksponen :
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $ dan $ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = \sqrt[3]{x^3+m^3x^6} $ :
$\begin{align} f(x) & = \sqrt[3]{x^3+m^3x^6} \\ f(x) & = (x^3+m^3x^6)^\frac{1}{3} \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{3}.(x^3+m^3x^6)^{\frac{1}{3} - 1} . (3x^2 + 6m^3x^5) \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{3}.(x^3+m^3x^6)^{-\frac{2}{3} } . (3x^2 + 6m^3x^5) \\ f^\prime (x) & = \frac{3x^2 + 6m^3x^5}{3(x^3+m^3x^6)^{\frac{2}{3} }} \end{align} $
Syarat fungsi $ f(x) $ turun yaitu $ f^\prime (x) < 0 $ .
*). Pada soal diketahui $ f(x) $ turun pada interval $ (-\infty , -1] $ atau bisa ditulis $ x \leq -1 $. Artinya $ x \leq -1 $ adalah penyelesaian dari $ f^\prime (x) < 0 $ sehingga terpenuhi $ f^\prime (-1) = 0 $.
*). Menentukan nilai $ m $ dengan $ f^\prime (-1) = 0 $ :
$\begin{align} f^\prime (x) & = \frac{3x^2 + 6m^3x^5}{3(x^3+m^3x^6)^{\frac{2}{3} }} \\ f^\prime (-1) & = 0 \\ \frac{3.(-1)^2 + 6m^3.(-1)^5}{3((-1)^3+m^3.(-1)^6)^{\frac{2}{3} }} & = 0 \\ \frac{3 + 6m^3.(-1) }{3(-1+m^3.1)^{\frac{2}{3} }} & = 0 \\ \frac{3 - 6m^3}{3(-1+m^3 )^{\frac{2}{3} }} & = 0 \\ 3 - 6m^3 & = 0 \times 3(-1+m^3 )^{\frac{2}{3} } \\ 3 - 6m^3 & = 0 \\ 6m^3 & = 3 \\ m^3 & = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ m^3 = \frac{1}{2} $
*). Menentukan nilai $ 8m^3 + 8 $ :
$\begin{align} 8m^3 + 8 & = 8. \frac{1}{2} + 8 = 4 + 8 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ 8m^3 + 8 = 12 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Limit UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ m $ adalah sisa pembagian polinomial $ h(x)=x^3-x^2+2x+2 $ oleh $ x -1 $. Nilai $ k $ yang memenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{mx^3-kx+5}{kx^3+3x^2-7} - k \right) = 0 $ adalah ...
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sisa pembagian pada suku banyak :
Suku banyak $ f(x) $ dibagi $ x-a $ memiliki sisa $ = f(a) $
(substitusikan akar dari pembaginya).
*). Konsep limit menuju tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^3 + bx^2 + cx + d}{px^3+qx^2 + rx + t} = \frac{a}{p} $
(ambil koefisien pangkat tertingginya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ h(x)=x^3-x^2+2x+2 $ dibagi oleh $ x -1 $ bersisa $ m $ :
$\begin{align} \text{sisa} & = h(1) \\ m & = 1^3-1^2+2.1+2 \\ m & = 1 - 1 + 2 + 2 \\ m & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ k $ dengan $ m = 4 $ :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{mx^3-kx+5}{kx^3+3x^2-7} - k \right) & = 0 \\ \frac{m}{k} - k & = 0 \\ \frac{4}{k} - k & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali } k) \\ 4 - k^2 & = 0 \\ k^2 & = 4 \\ k & = \pm 2 \end{align} $
yang ada dioptionnya $ k = 2 $.
Jadi, nilai $ k = 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Deret UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah $ \frac{9}{4} $. Suku pertama dan rasio deret tersebut masing-masing $ a $ dan $ -\frac{1}{a} $ , dengan $ a > 0 $. Jika $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$ pada deret tersebut, maka $ 3U_6 - U_5 = ...$
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{27} \, $ C). $ -\frac{2}{27} \, $ D). $ \frac{1}{27} \, $ E). $ -\frac{1}{27} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ \, \, \, \, \, U_n = ar^{n-1} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio.
*). Jumlah deret geometri tak hingga :
$ s_\infty = \frac{a}{1-r} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ u_1 = a, \, r = -\frac{1}{a} $ , dan $ S_\infty = \frac{9}{4} $ :
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} S_\infty & = \frac{9}{4} \\ \frac{u_1}{1-r} & = \frac{9}{4} \\ \frac{a}{1-(-\frac{1}{a}) } & = \frac{9}{4} \\ \frac{a}{1+\frac{1}{a} } & = \frac{9}{4} \\ \frac{a}{ \frac{a + 1}{a} } & = \frac{9}{4} \\ a . \frac{a}{ a+ 1} & = \frac{9}{4} \\ \frac{a^2}{ a+ 1} & = \frac{9}{4} \\ 4a^2 & = 9a + 9 \\ 4a^2 - 9a - 9 & = 0 \\ (4a+3)(a-3) & = 0 \\ (4a+3) = 0 \vee (a-3) & = 0 \\ a = -\frac{3}{4} \vee a & = 3 \end{align} $
Karena $ a > 0 $ , maka $ a = 3 $ yang memenuhi.
sehingga $ r = -\frac{1}{a} = -\frac{1}{3} $
*). Menentukan nilai $ 3U_6 - U_5 $ :
$\begin{align} 3U_6 - U_5 & = 3ar^5 - ar^4 \\ & = ar^4 ( 3r - 1) \\ & = 3.(-\frac{1}{3})^4 \left( 3.(-\frac{1}{3}) - 1 \right) \\ & = 3. \frac{1}{81} . (-1-1) \\ & = \frac{1}{27} . (-2) = -\frac{2}{27} \end{align} $
Jadi, nilai $ 3U_6 - U_5 = -\frac{2}{27} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)