Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 138

Soal yang Akan Dibahas
Kurva $ y = \frac{x^2+4x+a}{x^3 + 1} $ memotong asimtot datarnya 2 kali jika .....
A). $ a < 8 \, $ B). $ a < 6 \, $ C). $ a < 4 \, $
D). $ a > 4 \, $ E). $ a > 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx^2 + ...}{dx^3 + ... } = 0 $.
(hasilnya nol karena pangkat penyebut lebih besar dari pembilang)
*). Bentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki dua akar berbeda jika $ D > 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan persamaan asimtot mendatarnya :
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x^2+4x+a}{x^3 + 1} \\ y & = 0 \end{align} $
sehingga persamaan asimtotnya yaitu $ y = 0 \, $ (sama dengan sumbu X).
*). Titik potong $ y_1 = \frac{x^2+4x+a}{x^3 + 1} $ dan $ y_2 = 0 $ yaitu :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ \frac{x^2+4x+a}{x^3 + 1} & = 0 \\ x^2+4x+a & = 0 \end{align} $
*). Agar kurva $ y = \frac{x^2+4x+a}{x^3 + 1} $ memotong $ y = 0 $ dua kali, maka terdapat dua nilai $ x $ yang berbeda, atau bisa kita katakan $ x^2 + 4x + a = 0 $ harus memiliki dua akar yang berbeda.
*). Menyelesaikan syarat dua akar $ x^2 + 4x + a = 0 $ :
$\begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ 4^2 - 4.1.a & > 0 \\ 16 - 4a & > 0 \\ - 4a & > -16 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ a & < 4 \end{align} $
Jadi, syarat nilai $ a $ adalah $ a < 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit TakHingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 138

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \left( x^3\sin \left( \frac{1}{x} \right) + x \right).\left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) = .... $
A). $ \frac{5}{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\sin ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $.
*). Bentuk pecahan : $ a.b = \frac{b}{\frac{1}{a}} $
*). Konsep limit tak hingga aljabar:
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx^2 + ...}{dx^2 + ... } = \frac{c}{d} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \left( x^3\sin \left( \frac{1}{x} \right) + x \right).\left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x^2\left( x \sin \left( \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{x} \right).\left( \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x^2\left( x \sin \left( \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{x} \right).\left( \frac{2}{x^2 - 1} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \left( x \sin \left( \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{x} \right).\left( \frac{2x^2}{x^2 - 1} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \left( x \sin \left( \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{x} \right) . \, \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \left( \frac{2x^2}{x^2 - 1} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \left( \frac{ \sin \left( \frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{x}} + \frac{1}{x} \right) . \, \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \left( \frac{2x^2}{x^2 - 1} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{ \sin y}{y} + y \right) . \, \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \left( \frac{2x^2}{x^2 - 1} \right) \\ & = ( 1 + 0 ) . \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 138

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \frac{1 - \sqrt{\cos x }}{2x \sin x} = .... $
A). $ \frac{1}{8} \, $ B). $ \frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{\sqrt{2}}{2} \, $ D). $ \frac{\sqrt{3}}{2} \, $ E). $ \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \, \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $ .
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \cos x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sehingga : $ 1 - \cos x = 2\sin ^2 \frac{1}{2} x = 2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x $
*). Merasionalkan :
$ (1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a}) = 1 - a $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \frac{1 - \sqrt{\cos x }}{2x \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \,\frac{1 - \sqrt{\cos x }}{2x \sin x} \times \frac{1 + \sqrt{\cos x }}{1 + \sqrt{\cos x }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \,\frac{1 - \cos x }{2x \sin x . (1 + \sqrt{\cos x })} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \,\frac{2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x}{2x \sin x . (1 + \sqrt{\cos x })} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \,\frac{\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x}{x \sin x . (1 + \sqrt{\cos x })} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \frac{\sin \frac{1}{2} x }{x} . \frac{\sin \frac{1}{2} x}{\sin x}. \frac{1}{1 + \sqrt{\cos x }} \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{1 + \sqrt{\cos 0 }} \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{8} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{8} . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 138

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x^3+ax^2+4x+b=(x-2)Q(x)+(4a+9b) $ dan $ Q(1) = 14 $, maka $ Q(-1)= ...... $
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan hasil pembagian suatu suku banyak (polinom), bisa menggunakan cara bersusun atau skema horner.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). pada soal diketahui persamaan :
$ x^3+ax^2+4x+b=(x-2)Q(x)+(4a+9b) \, $ ....(i).
dan $ Q(1) = 14 $
*). Kita Substitusikan $ x = 1 $ ke pers(i) :
$\begin{align} x^3+ax^2+4x+b & =(x-2)Q(x)+(4a+9b) \\ 1^3+a.1^2+4.1+b & =(1-2)Q(1)+(4a+9b) \\ 5 + a +b & = -1. 14+(4a+9b) \\ 3a + 8b & = 19 \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Kita Substitusikan $ x = 2 $ ke pers(i) :
$\begin{align} x^3+ax^2+4x+b & =(x-2)Q(x)+(4a+9b) \\ 2^3+a.2^2+4.2+b & =(2-2)Q(2)+(4a+9b) \\ 16 + 4a +b & =0.Q(2)+(4a+9b) \\ 16 + 4a +b & = 4a+9b \\ 8b & = 16 \\ b & = 2 \end{align} $
Pers(i): $ 3a + 8b = 19 \rightarrow 3a + 8.2 = 19 \rightarrow a = 1 $
*). Kita Substitusikan $ x = -1 $ ke pers(i) dengan $ a = 1 $ dan $ b = 2 $ :
$\begin{align} x^3+ax^2+4x+b & =(x-2)Q(x)+(4a+9b) \\ (-1)^3+1.(-1)^2+4.(-1)+2 & =(-1-2)Q(-1)+(4.1+9.2) \\ -1 + 1 - 4 + 2 & =-3Q(-1)+(4 + 18) \\ -2 & =-3Q(-1)+ 22 \\ 3Q(-1) & = 24 \\ Q(-1) & = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ Q(-1) = 8 . \, \heartsuit $

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 138

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan hiperbola dengan puncak $ (-7,2) $ dan $ (1,2) $ , serta salah satu asimtotnya $ 3x - 4y = -17 $ adalah ....
A). $ \frac{(x+3)^2}{9} - \frac{(y-2)^2}{16} = 1 \, $
B). $ \frac{(x+3)^2}{16} - \frac{(y-2)^2}{9} = 1 \, $
C). $ \frac{(x-3)^2}{16} - \frac{(y+2)^2}{9} = 1 \, $
D). $ \frac{(x-3)^2}{9} - \frac{(y+2)^2}{16} = 1 \, $
E). $ \frac{(x+3)^2}{16} - \frac{(y+2)^2}{9} = 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $
*). Titik pusat hiperbola adalah titik tengah antara kedua titik puncaknya.
*). Titik tengah antara $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2, y_2) $ :
Titik tengah $ = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik pusat $ (p,q) $ yang terletak antara $ (-7,2) $ dan $ (1,2) $ :
$\begin{align} (p,q) & = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \\ (p,q) & = \left( \frac{-7 + 1}{2}, \frac{2 + 2}{2} \right) \\ (p,q) & = (-3 , 2) \end{align} $
*). Mengubah persamaan asimtotnya menjadi $ y-2 = \pm \frac{b}{a} (x+3) $ :
$\begin{align} 3x - 4y & = -17 \\ 4y & = 3x + 17 \\ 4y & = 3x + 9 + 8 \\ 4y - 8 & = 3x + 9 \\ 4(y -2) & = 3(x + 3) \\ (y -2) & = \frac{3}{4}(x + 3) \end{align} $
Bentuk $ (y -2) = \frac{3}{4}(x + 3) $ sama dengan $ y-2 = \frac{b}{a} (x+3) $
Sehingga nilai $ a = 4 $ dan $ b = 3 $.
*). Menyusun persamaan hiperbolanya :
$\begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-(-3))^2}{4^2} - \frac{(y-2)^2}{3^2} & = 1 \\ \frac{(x+3)^2}{16} - \frac{(y-2)^2}{9} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaannya $ \frac{(x+3)^2}{16} - \frac{(y-2)^2}{9} = 1 . \, \heartsuit $