Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Semua nilai $a$ agar $\sqrt{2x^2-x+14} \geq \sqrt{x^2-kx+10}$ benar untuk semua bilangan real $x$ adalah ...
$\spadesuit \, $ syarat definit positif : $a > 0 \, $ dan $ D < 0 $
$ax^2+bx+c > 0 \, $ akan terpenuhi untuk semua $x$ jika memenuhi syarat definit positif.
$\spadesuit \, $ Soal : $\sqrt{2x^2-x+14} \geq \sqrt{x^2-ax+10}$
syarat akar :
(i). $2x^2-x+14 \geq 0 $
$a=2>0 \, $ dan $D=b^2-4ac=(-1)^2-4.2.14<0 \, $ . Karena $a > 0 \, $ dan $ D < 0 $ , maka $2x^2-x+14$ definit positif.
(ii). $x^2-kx+10 \geq 0 \, $ harus definit positif
$a=1 > 0 \, $ (benar)
$D<0 \Leftrightarrow (-k)^2-4.1.10 <0 \Leftrightarrow k^2-40 < 0 \Leftrightarrow k=\pm 2\sqrt{10}$
um_ugm6_mat_ipa-2014.png
$HP_1=\{ -2\sqrt{10} < k < 2\sqrt{10} \}$ .
$\spadesuit \, $ Kuadratkan kedua ruas :
$\begin{align*} \left( \sqrt{2x^2-x+14} \right)^2 & \geq \left( \sqrt{x^2-kx+10} \right)^2 \\ 2x^2-x+14 & \geq x^2-ax+10 \\ x^2+(k-1)x + 4 & \geq 0 \, \text{Definit positif}\\ a & = 1 > 0 \, \text{(benar)} \\ D \leq 0 \Leftrightarrow (k-1)^2 - 4.1.4 \leq 0 \\ (k+3)(k-5) & \leq 0 \\ k=-3 \, \text{atau} \, k=5 \end{align*}$
um_ugm7_mat_ipa-2014.png
$HP_2=\{ -3 \leq k \leq 5 \}$ .
$\spadesuit \, $ Sehingga penyelesaiannya :
$HP=Hp_1 \cap HP_2 = \{ -3 \leq k \leq 5 \} . \, \heartsuit $
Nomor 12
Jika $P(x)=x^5+ax^4+x^2+bx+2$ dibagi $h(x)=x^3+2x^2-x-2$ memberikan sisa $r(x)=x^2-3x+4$ maka $a+b=...$
Salah satu akar ($x$ yang menyebabkan $h(x)$ sama dengan nol) dari $h(x)=x^3+2x^2-x-2$ adalah $x=1$
$\clubsuit \, $ Teorema pembagian:
$P(x)$ = (pembagi).(hasil bagi) + (sisa)
$P(x)=h(x) . g(x) + r(x)$
$x^5+ax^4+x^2+bx+2=(x^3+2x^2-x-2) . g(x) + (x^2-3x+4)$ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=1$ ke persamaan (i) :
$\begin{align*} 1^5+a.1^4+1^2+b.1+2 &= (1^3+2.1^2-1-2) . g(1) + (1^2-3.1+4) \\ a+b+4&= 0 . g(1) + 2 \\ a+b &=-2 \end{align*}$
Jadi, nilai $ a+b=-2 \, \heartsuit $
Nomor 13
Jika $a$ memenuhi persamaan ${}^{2}\log 2x+{}^{3}\log 3x = {}^{4}\log 4x^2 $ mak ${}^{a}\log 3 =...$
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat logaritma :
${}^{a}\log {b}=\frac{1}{{}^{b}\log {a}} \, $ , $ {}^{a}\log {bc}={}^{a}\log {b}+{}^{a}\log {c} \, $ , dan
${}^{a^m}\log {b^n} = \frac{n}{m}. {}^{a}\log {b}$
$\spadesuit \, $ Manyederhanakan soal :
$\begin{align*} {}^{2}\log 2x+{}^{3}\log 3x &= {}^{4}\log 4x^2 \\ {}^{2}\log {2} + {}^{2}\log {x}+{}^{3}\log {3}+{}^{3}\log {x} &= {}^{4}\log {4}+{}^{4}\log {x^2} \\ 1 + {}^{2}\log {x}+1+{}^{3}\log {x} &= 1+{}^{2^2}\log {x^2} \\ 1 + {}^{2}\log {x}+{}^{3}\log {x} &= \frac{2}{2} .{}^{2}\log {x} \\ {}^{3}\log {x} & = -1 \\ {}^{x}\log {3} &= \frac{1}{-1} = -1 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Solusinya adalah $x=a$ , sehingga ;
${}^{x}\log {3} = -1 \Leftrightarrow {}^{a}\log {3} = -1 .$
Jadi, nilai $ {}^{a}\log {3} = -1 \, \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui $f(x)=\sqrt{1+x}$ . Nilai $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f\left( 3+2h^2 \right) - f\left( 3-3h^2 \right)}{h^2}$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Menurunkan fungsi $f(x)$ :
$f(x)=\sqrt{1+x} \Rightarrow f^\prime (x) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} $
$y=f\left( g(x) \right) \Rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . f^\prime \left( g(x) \right) $
$\clubsuit \, $ Cek nilai limit :
$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f\left( 3+2h^2 \right) - f\left( 3-3h^2 \right)}{h^2} = \frac{0}{0}$
$\clubsuit \, $ Metode L$^\prime$Hospital (cara turunan) :
$\begin{align*} &\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f\left( 3+2h^2 \right) - f\left( 3-3h^2 \right)}{h^2} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{4\not{h}.f^\prime \left( 3+2h^2 \right) - (-6\not{h}).f^\prime \left( 3-3h^2 \right)}{2\not{h}} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{4f^\prime \left( 3+2h^2 \right) + 6f^\prime \left( 3-3h^2 \right)}{2} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{10f^\prime \left( 3+2h^2 \right) }{2} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} 5f^\prime \left( 3+2h^2 \right) \\ &= 5f^\prime \left( 3+2.0^2 \right) = 5f^\prime (3) = 5. \frac{1}{2\sqrt{1+3}} = \frac{5}{4} \end{align*}$
Jadi, nilai $ \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f\left( 3+2h^2 \right) - f\left( 3-3h^2 \right)}{h^2}=\frac{5}{4} . \, \heartsuit $
Nomor 15
Diketahui jumlahan empat suku pertama suatu barisan aritmatika sama dengan jumlahan tiga suku selanjutnya. Jika jumlah 10 suku pertamanya adalah 270 , maka suku pertama barisan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan aritmatika : $U_n=a+(n-1)b \, $ dan $ \, S_n=\frac{n}{2}\left( 2a+ (n-1)b \right) $
$\spadesuit \, $ Jumlah 4 suku pertama sama dengan jumlah 3 suku berikutnya:
$\begin{align*} U_1+U_2+U_3+U_4&=U_5+U_6+U_7 \\ a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) &= (a+4b)+(a+5b)+(a+6b) \\ a&=9b \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Jumlah 10 suku pertama adalah 270:
$\begin{align*} S_{10}&=270\\ \frac{10}{2}\left( 2a+ 9b \right) &= 270 \\ 2a+9b&=54 \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii):
$\begin{align*} 2a+9b&=54 \Leftrightarrow 2a + a = 54 \Leftrightarrow a=18 \end{align*}$
Jadi, Suku pertamanya adalah 18. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2014 nomor 6 sampai 10




Nomor 6
Diketahui matriks $A$ berukuran 3 x 3 dan memenuhi $A\left( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\right) $ dan $A\left( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}\right) \, \, \, $. Jika $x=\left( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 10 \end{matrix}\right)$ , maka $Ax= ...$
Untuk penyelesaian soal ini, kita tidak mencari matriks $A$ , melainkan memodifikasi setiap persamaan dengan mengalikan bilangan tertentu , misalkan $m$ dan $n$ . Ini dilakukan karena akan lebih sulit dan ribet untuk menemukan matriks $A$ secara langsung.
$\spadesuit \, $ kalikan $m$ dan $n$ pada persamaan:
$mA\left( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) = m\left( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\right) \Leftrightarrow A\left( \begin{matrix}m \\ 2m \\ m \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}2m \\ 2m \\ 2m \end{matrix}\right)$ ...pers(i)
$nA\left( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\right) = n\left( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}\right) \Leftrightarrow A\left( \begin{matrix}n \\ 2n \\ 3n \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}2n \\ 4n \\ 2n \end{matrix}\right)$ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Jumlahkan persamaan (i) dan (ii) dan gunakan
sifat $AB+AC=A(B+C)$
$A\left( \begin{matrix}m \\ 2m \\ m \end{matrix}\right) + A\left( \begin{matrix}n \\ 2n \\ 3n \end{matrix}\right) =\left( \begin{matrix}2m \\ 2m \\ 2m \end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix}2n \\ 4n \\ 2n \end{matrix}\right) \\ \Leftrightarrow A\left( \begin{matrix}m+n \\ 2m+2n \\ m+3n \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}2m+2n \\ 2m+4n \\ 2m+2n \end{matrix}\right) \text{...pers(iii)}$
$\spadesuit \, $ Bentuk terakhir harus sama dengan yang ditanyakan :
$A\left( \begin{matrix}m+n \\ 2m+2n \\ m+3n \end{matrix}\right) = A\left( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 10 \end{matrix}\right) \, $ sehingga $\left( \begin{matrix}m+n \\ 2m+2n \\ m+3n \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 10 \end{matrix}\right)$
Diperoleh $m+n=2$ dan $m+3n=10$ , jika diselesaikan maka solusinya $m=-2$ dan $n=4$ .
$\spadesuit \, $ Substitusikan $m=-2$ dan $n=4$ ke persamaan (iii) :
$A\left( \begin{matrix}-2+4 \\ 2.(-2)+2.4 \\ -2+3.4 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}2.(-2)+2.4 \\ 2.(-2)+4.4 \\ 2.(-2)+2.4 \end{matrix}\right) \Leftrightarrow A\left( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 10 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}4 \\ 12 \\ 4 \end{matrix}\right) $
Jadi, $A\left( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 10 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}4 \\ 12 \\ 4 \end{matrix}\right) . \heartsuit $
Nomor 7
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle A=\alpha$ , $\angle B= 90^o$ , dan $\angle C = \gamma$. Jika $cos\alpha = x$ , maka $cos(\alpha +2\gamma )=...$
$\clubsuit \, A$ , $B$, dan $C$ adalah sudut-sudut segitiga :
$\begin{align*} A+B+C&=180^o \\ \alpha + 90^o + \gamma &= 180^o \\ \gamma &= 90^o - \alpha \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan bentuk $\alpha +2\gamma$ :
$\alpha +2\gamma=\alpha + 2(90^o - \alpha) \Leftrightarrow \alpha +2\gamma= 180^o-\alpha \, \text{...pers(ii)} $
$\clubsuit \, $ Ingat $cos(180^o-\theta)=-cos\theta$
$\begin{align*} \alpha +2\gamma&= 180^o-\alpha \\ cos(\alpha +2\gamma)&=cos(180^o-\alpha) \\ &=-cos(\alpha)\\ &=-x \end{align*}$
Jadi, $cos(\alpha +2\gamma)=-x . \, \heartsuit $
Nomor 8
Jika garis $y=mx+k$ menyinggung lingkaran $x^2+y^2-10x+6y+24=0$ di titik (8,-4) , maka nilai $m+k$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Substitusikan titik (8, -4) ke persamaan garis:
$y=mx+k \Leftrightarrow -4=m.8+k \Leftrightarrow k=-8m-4 \, $ ...pers(i)
$\spadesuit \, $ Menentukan unsur-unsur lingkaran:
$x^2+y^2-10x+6y+24=0 \Rightarrow A=-10 , B=6 , C=24$
Pusat : $(a,b)=\left( \frac{-A}{2}, \frac{-B}{2} \right) = \left( \frac{-(-10)}{2}, \frac{-6}{2} \right)=(5,-3)$
Jari-jari: $r=\sqrt{a^2+b^2-C}=\sqrt{5^2+(-3)^2-24} = \sqrt{10}$
Gambar:
um_ugm3_mat_ipa-2014.png
Dari gambar terlihat bahwa panjang jari-jari sama dengan jarak pusat lingkaran ke garis $mx-y+k=0$
$\spadesuit \, $ Menghitung jarak pusat lingkaran ke garis:
$\text{Jarak} =\left| \frac{m.5-(-3)+k}{\sqrt{m^2+(-1)^2}} \right| = \left| \frac{5m+k+3}{\sqrt{m^2+1}} \right|$
$\spadesuit \, $ Jarak sama dengan jari-jari dan gunakan pers(i):
$\begin{align*} \text{jarak}&=\text{jari-jari}\\ \left| \frac{5m+k+3}{\sqrt{m^2+1}} \right| &= \sqrt{10} \\ \left| \frac{5m+(-8m-4)+3}{\sqrt{m^2+1}} \right| &= \sqrt{10} \\ \left| \frac{-3m-1}{\sqrt{m^2+1}} \right| &= \sqrt{10} \\ \left| \frac{-3m-1}{\sqrt{m^2+1}} \right|^2 &= \sqrt{10}^2 \, \text{(kedua ruas dikuadratkan)} \\ \frac{(-3m-1)^2}{(\sqrt{m^2+1})^2} &= 10 \\ \frac{9m^2+6m+1}{m^2+1} &= 10 \\ 9m^2+6m+1&=10m^2+10 \\ m^2-6m+9&=0\\ (m-3)^2&=0 \\ m&=3 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $k$ dari pers(i):
$k=-8m-4=-8(3)-4=-28$
Sehingga, $m+k=3+(-28)=-25.\heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar :
Persamaan garis singgung lingkaran $ x^2+y^2+Ax+By+C=0 $ di titik singgung $ ( x_1, y_1) $ yaitu :
$ x_1.x+y_1.y+\frac{A}{2}(x+x_1)+\frac{B}{2}(y+y_1) + C =0 $.
$\spadesuit \, $ Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (8, -4)$ :
$\spadesuit \, $ Menyusun PGS lingkarannya :
$\begin{align} x^2+y^2-10x+6y+24 & =0 \\ x_1.x+y_1.y-\frac{10}{2}(x+x_1)+\frac{6}{2}(y+y_1) + 24 &=0 \\ 8x - 4y-5(x+8)+3(y-4) + 24 &=0 \\ 8x - 4y-5 x - 40+3y -12 + 24 &=0 \\ 3x - y -28 &=0 \\ y = 3x -& 28 \end{align}$
Bentuk $ y = 3x - 28 $ sama dengan $ y=mx+k $ yang artinya nilai $ m = 3 $ dan $ k = -28 $.
Sehingga, $m+k=3+(-28)=-25.\heartsuit $

Nomor 9
Sebuah prisma $ABCD.EFGH$ memiliki alas berbentuk persegi. Titik $T$ adalah titik tengah diagonal $HF$ . Jika $\angle EAT=\frac{\pi }{6}$ dan volume prisma tersebut $4\sqrt{6}$ , maka tinggi prisma adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan panjang = lebar = $x$ dan tinggi = $t$ :
um_ugm4_mat_ipa-2014.png
$\clubsuit \, $ Segitiga AEI :
$ EG=x\sqrt{2} \Leftrightarrow EI=\frac{1}{2}EG=\frac{1}{2}x\sqrt{2} $
$ tan(A)=\frac{EI}{EA} \Leftrightarrow tan 30^o=\frac{\frac{1}{2}x\sqrt{2}}{t} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{1}{2}x\sqrt{2}}{t} \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}x\sqrt{6} $
$\clubsuit \, $ Menghitung tinggi ($t$) :
$\begin{align*} \text{Volume}&=\text{Luas alas} \times \text{tinggi} \\ 4\sqrt{6}&=x^2.t\\ 4\sqrt{6}&=x^2.\frac{1}{2}x\sqrt{6}\\ x^3&=8 \Leftrightarrow x=2 \end{align*}$
Jadi, tinggi : $t=\frac{1}{2}.2.\sqrt{6}=\sqrt{6} \, \heartsuit $
Nomor 10
Diketahui vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut sebesar $\theta$ . Jika panjang proyeksi vektor $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ sama dengan $2sin\theta$ dan panjang vektor $\vec{b}$ adalah 1, maka $tan2\theta =...$
um_ugm5_mat_ipa-2014.png
$\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}| cos\theta \, $ dan $|\vec{b}|=1$ .
Panjang proyeksi vektor $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ adalah $|\vec{c}| = 2sin\theta$ dengan rumus $|\vec{c}| = \frac{\vec{b}.\vec{a}}{ |\vec{a}| }$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $tan \theta $ dan $tan 2 \theta $
$\begin{align*} |\vec{c}| &= \frac{\vec{b}.\vec{a}}{ |\vec{a}| } \\ 2sin\theta &= \frac{ |\vec{b}| . |\vec{a}| cos\theta}{ | \vec{a} | }\\ 2sin\theta &=1.cos\theta\\ \frac{sin\theta}{cos\theta} &= \frac{1}{2} \Leftrightarrow tan\theta = \frac{1}{2} \end{align*}$
$\begin{align*} tan2\theta &= \frac{2tan\theta}{1-(tan\theta)^2}\\ &= \frac{2 \frac{1}{2}}{1-\left( \frac{1}{2} \right)^2}=\frac{4}{3} \end{align*}$
Jadi, $tan2\theta=\frac{4}{3} . \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15



Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2014 nomor 1 sampai 5


Nomor 1
Tiga pria dan empat wanita akan duduk dalam satu baris. Banyak cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan adalah ...
$\clubsuit \, $ Agar berjenis kelamin sama tidak berdampingan, maka susunan yang mungkin:
WPWPWPW
pada posisi pertama ada 4 pilihan wanita
pada posisi ketiga ada 3 pilihan wanita
pada posisi kelima ada 2 pilihan wanita
pada posisi ketujuh ada 1 pilihan wanita
pada posisi kedua ada 3 pilihan pria
pada posisi keempat ada 2 pilihan pria
pada posisi keenam ada 1 pilihan pria
dengan banyak cara :
4332211
$= 4.3.3.2.2.1.1 = 144 \, \,$ cara.
Jadi, total cara ada 144 susunan. $\heartsuit $
Nomor 2
Untuk setiap bilangan asli $n$ didefinisikan matriks $A_n = \left( \begin{matrix} n & 2n \\ 3n & 4n \end{matrix} \right) $ Jika $\text{det}(A_1+A_2+...+A_k)=-4050$ , maka $\text{det}(A_{2k})=...$
$A_n = \left( \begin{matrix} n & 2n \\ 3n & 4n \end{matrix} \right) \, $ , Misalkan :$p=1+2+3+...+k$
$\begin{align*} A_1+A_2+...+A_k&= \left( \begin{matrix} 1 & 2.1 \\ 3.1 & 4.1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 & 2.2 \\ 3.2 & 4.2 \end{matrix} \right) + ... + \left( \begin{matrix} k & 2.k \\ 3.k & 4.k \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} (1+2+...+k) & 2(1+2+...+k) \\ 3(1+2+...+k) & 4(1+2+...+k) \end{matrix} \right)\\ &=\left( \begin{matrix} p & 2p \\ 3p & 4p \end{matrix} \right) \\ \text{det}(A_1+A_2+...+A_k)&=\text{det}\left( \begin{matrix} p & 2p \\ 3p & 4p \end{matrix} \right)=4p^2-6p^2=-2p^2\\ \text{det}(A_1+A_2+...+A_k)&=-4050\\ -2p^2&=-4050\\ p&=45 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $k$ :
$p=45 \, $ dan $S_n=\frac{n}{2}\left( u_1+u_n \right)$
$\begin{align*} p&=45 \\ 1+2+3+...+k &= 45\\ \frac{k}{2}\left( 1+k \right)&=45\\ k^2+k-9&=0\\ (k-9)(k+10)&=0\\ k=9 \, &\text{atau} \, k=-10\\ \text{yang memenuhi adalah } \, x&=9 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\text{det}(A_{2k})$ :
$A_{2k}=A_{2.9}=A_18=\left( \begin{matrix} 18 & 2.18 \\ 3.18 & 4.18 \end{matrix} \right)$
$\text{det}(A_{2k})=\text{det}(A_{18})=\text{det}\left( \begin{matrix} 18 & 2.18 \\ 3.18 & 4.18 \end{matrix} \right)=-648$
Jadi determinan matriks $A_{2k}$ adalah -648 . $\heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persamaan $x^2+px+q=0$ mempunyai akar-akar positif $x_1$ dan $x_2$ . Jika $x_1$ , $6$, $x_2$ adalah tiga suku pertama barisan geometri dan $x_1$ , $x_2$ , $14$ tiga suku pertama barisan aritmatika, maka $p+q=...$
$x^2+px+q=0 \,$ memiliki akar-akar positif $x_1$ dan $x_2$
$x_1+x_2=\frac{-b}{a} \Rightarrow x_1+x_2=\frac{-p}{1}=-p \,$ pers(i)
$x_1.x_2=\frac{c}{a} \Rightarrow x_1.x_2=\frac{q}{1}=q \, $ pers(ii)
$\clubsuit \, x_1 , 6, x_2 \, $ barisan geometri (rasionya sama) :
$\frac{6}{x_1}=\frac{x_2}{6} \Leftrightarrow x_1.x_2=36 \, \text{pers (iii)} \Leftrightarrow q=36$
$\clubsuit \, x_1 , x_2 , 14 \, $ barisan aritmatika (bedanya sama) :
$x_2-x_1=14-x_2 \Leftrightarrow x_1=2x_2-14 \, \text{pers (iv)}$
$\clubsuit \, $ Substitusikan pers(iv) ke pers(iii) :
$\begin{align*} x_1.x_2&=36 \\ (2x_2-14)x_2&=36 \\ x_2^2-7x_2-18&=0\\ (x_2-9)(x_2+2)&=0\\ x_2=9 \, &\text{atau} \, x_2=-2\\ \text{yang memenuhi adalah } \, x_2&=9 \end{align*}$
pers(iv) : $x_1=2x_2-14 \Leftrightarrow x_1=2.9-14 \Leftrightarrow x_1=4 $
pers(i) : $x_1+x_2=-p \Leftrightarrow 4 + 9 =-p \Leftrightarrow p=-13$
Jadi, nilai $p+q=-13+36=23 . \heartsuit $
Nomor 4
Jika $f(x)=(sinx+cosx)(cos2x+sin2x)$ dan $f^\prime (x)=2cos3x + g(x)$ maka $g(x)=...$
$\spadesuit \, $ Rumus perkalian:
$sinxcosy=\frac{1}{2}(sin(x+y)+sin(x-y)) , cosxsiny=\frac{1}{2}(sin(x+y)-sin(x-y)), \\ sinxsiny=-\frac{1}{2}(cos(x+y)-cos(x-y)) , cosxcosy=\frac{1}{2}(cos(x+y)+cos(x-y)) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan fungsi $f(x)$:
$\begin{align*} f(x)&=(sinx+cosx)(cos2x+sin2x)\\ &=cos2xsinx+sin2xsinx+cos2xcosx+sin2xcox \\ &=\frac{1}{2}(sin3x-sinx) -\frac{1}{2}(cos3x-cosx)\\ &\, +\frac{1}{2}(cos3x+cosx)+\frac{1}{2}(sin3x+sinx)\\ f(x)&=sin3x+cosx\\ f^\prime (x)&=3cos3x-sinx \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $g(x)$:
$\begin{align*} f^\prime (x)&=2cos3x + g(x)\\ g(x)&=f^\prime (x)-2cos3x\\ g(x)&=(3cos3x-sinx)-2cos3x\\ g(x)&=cos3x-sinx \end{align*}$
Jadi, Nilai $ g(x)=cos3x-sinx \, \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui $D_1$ adalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh parabola $y=\frac{9}{4}x^2$ , parabola $y=x^2$ , dan garis $x=2$ , dan $D_2$ daerah yang dibatasi oleh garis $x=2$ , garis $y=9$ , dan parabola $y=x^2$ . Jika luas $D_1=a$ , maka luas $D_2$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Luas $D_1$ : $(L_{D_1} = a)$
$\begin{align*} L_{D_1} &= \int_0^2\left( \frac{9}{4}x^2 - x^2 \right) \\ &= \int_0^2\left( \frac{5}{4}x^2 \right) =\frac{10}{3} \\ L_{D_1} &= a \Leftrightarrow a = \frac{10}{3}\\ \end{align*}$ um_ugm_mat_ipa-2014.png
$\clubsuit \, $ Luas $D_2$ :
$\begin{align*} L_{D_2} &= \int_2^3\left( 9 - x^2 \right)=\frac{8}{3} \end{align*}$ um_ugm2_mat_ipa-2014.png
Sehingga $L_{D_2}=\frac{8}{3} . \frac{10}{10} = \frac{8}{10} . \frac{10}{3} = \frac{8}{10} a .$
Jadi, $L_{D_2}=\frac{8}{10} a \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15