Pembahasan Soal Simak UI Matematika IPA KA1 tahun 2014 nomor 11 sampai 12


Hallow sobat, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja.

Pada kesempatan kali ini, hanya tersisa dua soal yaitu pembahasan soal simak ui matematika ipa ka1 tahun 2014 nomor 11 dan nomor 12. Eitchsss, tapi jangan salah ya friendsss, meskipun hanya dua soal menurut saya sangan sulit, bahkan untuk waktu normal pengerjaannya belum cukup untuk menyelesaiakannya. Soal nomor 11 tentang dimensi tiga, dan soal ini sangat sulit karena melibatkan bidang irisan. Dan untuk nomor 12 tentang sistem persamaan aljabar, untuk menyelesaikannya butuh ketelitian dan kesabaran yang mendalam dech. Maaf juga sobat karena pembahasanna sangat panjang untuk penyelesaian kedua soal. Mungkin teman-teman punya alternatif penyelesaian lain yang lebih singkat dan lmudah, mohon di share ya di sini. Terima kasih.

Untuk pembahasan lengkap soal simak ui matematika IPA KA1 tahun 2014, langsung saja bisa dilihat berikut ini untuk nomor 11 sampai nomor 12. selamat belajar.
Nomor 11
Diberikan kubus ABCD.EFGH. Titik R terletak pada rusuk EH sedemikian sehingga ER=3RH dan titik S berada di tengah rusuk FG. Bidang $\Omega$ melalui titik R, S, dan A. Jika U adalah titik potong antara bidang $\Omega$ dan rusuk BF, dan $\theta$ adalah sudut yang terbentuk antara garis RS dan AU, maka $\tan \theta =...$
$\spadesuit \, $ Gambar
simak_ui_3_mat_ipa_ka1_2014.png
Bidang $ \Omega $ melalui titik R, S, A. Agar bidang $ \Omega $ berpotongan dengan BF, maka bidang $ \Omega $ harus diperluas sehingga mengiris kubus dengan bidang irisan AUSR. Sudut $ \theta $ adalah perpotongan perpanjangan garis AU dan RS yang berpotongan di titik K ( $\theta = \angle AKR$ ) , untuk lebih lengkapnya perhatikan gambar di atas.
$\spadesuit \, $ Misalkan rusuk kubus panjangnya 1, dan FK = $ x $
$\Delta FKS \, $ sebangun dengan $\, \Delta EKR $
$\begin{align} \frac{FK}{EK} & = \frac{FS}{ER} \\ \frac{x}{x+1} & = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} \\ \frac{x}{x+1} & = \frac{2}{3} \\ 3x & = 2x + 2 \rightarrow x = 2 \end{align}$
sehingga : panjang FK = 2
$\Delta FKU \, $ sebangun dengan $\, \Delta KEA $
$\begin{align} \frac{FK}{EK} & = \frac{FU}{EA} \\ \frac{2}{3} & = \frac{FU}{1} \rightarrow FU = \frac{2}{3} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang AK
$\Delta ABU, \, AU = \sqrt{AB^2+BU^2} = \sqrt{1^2+(\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{3}\sqrt{10} $
$\Delta FKU, \, UK = \sqrt{FU^2+FK^2} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2+2^2} = \frac{2}{3}\sqrt{10} $
Sehingga : $ AK = AU + UK = \frac{1}{3}\sqrt{10} + \frac{2}{3}\sqrt{10} = \sqrt{10} $
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang RK
$\Delta MRS, \, RS = \sqrt{MS^2+MR^2} = \sqrt{1^2+(\frac{1}{4})^2} = \frac{1}{4}\sqrt{17} $
$\Delta FKS, \, SK = \sqrt{FK^2+FS^2} = \sqrt{2^2+(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{17} $
Sehingga : $ RK = RS + SK = \frac{1}{4}\sqrt{17} + \frac{1}{2}\sqrt{17} = \frac{3}{4}\sqrt{17} $
$\Delta REA, \, AR = \sqrt{EA^2+ER^2} = \sqrt{1^2+(\frac{3}{4})^2} = \frac{5}{4} $
$\spadesuit \, $ Aturan cosinus pada segitiga AKR
$\begin{align} AR^2 & = AK^2 + RK^2 - 2. AK.RK . \cos \theta \\ \cos \theta & = \frac{AK^2 + RK^2 - AR^2}{2. AK.RK } \\ \cos \theta & = \frac{(\sqrt{10})^2 + (\frac{3}{4}\sqrt{17})^2 - (\frac{5}{4}) }{2. \sqrt{10} .\frac{3}{4}\sqrt{17} } \\ \cos \theta & = \frac{12}{\sqrt{170}} \end{align}$
Buat segitiganya
simak_ui_4_mat_ipa_ka1_2014.png
Sehingga : nilai $ \tan \theta = \frac{\sqrt{26}}{12} $
Jadi, nilai $ \tan \theta = \frac{\sqrt{26}}{12} . \heartsuit $
Nomor 12
Gunakan Petunjuk C dalam menjawab soal nomor 12.
Misalakan $x, y, \, $ dan $z$ memenuhi sistem persamaan
$\left\{ \begin{array}{c} (-x-2y-z)(x-y+z)+2xz=-5 \\ 2x^2-z^2=4. \end{array} \right. $
Jika $x,y,z$ adalah suku-suku berurutan pada suatu deret aritmatika, maka $y=...$
1). $\frac{\sqrt{12}+\sqrt{8}}{4} \, $ 2). $\frac{\sqrt{12}+\sqrt{6}}{4} \, $ 3). $\frac{-\sqrt{12}-\sqrt{8}}{4} \, $ 4). $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2} \, $
$\left\{ \begin{array}{c} (-x-2y-z)(x-y+z)+2xz=-5 \, \, \text{...pers(i)} \\ 2x^2-z^2=4 \, \, \text{...pers(ii)}. \end{array} \right. $
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika : $ x, \, y, \, z $
Selisih sama : $ y-x = z-y \rightarrow x+z = 2y \, \, $ ...pers(iii)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iii) : $ x+z = 2y \, $ ke pers(i)
$\begin{align} (-x-2y-z)(x-y+z)+2xz & = -5 \\ [-(x+z)-2y)][(x+z)-y]+2xz & = -5 \\ [-(2y)-2y)][(2y)-y]+2xz & = -5 \\ -4y.y+2xz & = -5 \\ 4y^2 - 5 - 2xz & = 0 \, \, \text{ ...pers(iv)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Kuadratkan pers(iii)
$(x+z)^2 = (2y)^2 \rightarrow x^2+z^2 + 2xz = 4y^2 \, \, $ ...pers(v)
$\clubsuit \, $ Jumlahkan pers(iv) dan pers(v)
$ \begin{array}{cc} 4y^2 - 5 - 2xz = 0 & \\ x^2+z^2 + 2xz = 4y^2 & + \\ \hline 4y^2 + x^2 + z^2 - 5 = 4y^2 & \\ x^2 + z^2 = 5 \, \, \text{...pers(vi)} & \end{array} $
$\clubsuit \, $ Jumlahkan pers(ii) dan pers(vi)
$ \begin{array}{cc} 2x^2-z^2=4 & \\ x^2 + z^2 = 5 & + \\ \hline 3x^2 = 9 \rightarrow x^2 = 3 & \\ x = \pm \sqrt{3} & \end{array} $
pers(vi): $ x^2 + z^2 = 5 \rightarrow 3 + z^2 = 5 \rightarrow z^2 = 2 \rightarrow z = \pm \sqrt{2} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ y \, $ dari pers(iii)
$ x+z = 2y \rightarrow y = \frac{x+z}{2} $
* untuk $ x = \sqrt{3} \, $ dan $ \, z = \sqrt{2} $
$ y = \frac{x+z}{2} \rightarrow y = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{12}+\sqrt{8}}{4} $
* untuk $ x = -\sqrt{3} \, $ dan $ \, z = -\sqrt{2} $
$ y = \frac{x+z}{2} \rightarrow y = \frac{-\sqrt{3}+-\sqrt{2}}{2} = \frac{-\sqrt{12}-\sqrt{8}}{4} $
Jadi, nilai $ y \, $ adalah $ y = \frac{\sqrt{12}+\sqrt{8}}{4} \vee y = \frac{-\sqrt{12}-\sqrt{8}}{4}. \heartsuit $


Jika ada masukan, saran, kritikan, alternatif penyelesaian lain yang lebih mudah, atau apapun yang berhubungan dengan halaman ini, silahkan kirim ke email : d.4rm.408@gmail.com , atau langsung isi komentar pada kotak komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat, terima kasih.
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-12

Pembahasan Soal Simak UI Matematika IPA KA1 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Hallow sobat, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja.

Pada pembahasan kali ini, soal simak ui matematika ipa ka1 tahun 2014 nomor 6 sampai 10, hampir semua soal sangat menantang kecuali untuk nomor 9 karena hanya penerapan turunan pada fungsi perkalian. Serta nomor 8 juga lebih mudah karena penerapan limit pada bentuk tak tentu, hanya saja butuh argumen atau analisa yang lebih mendalam untuk mengarahkan ke bentuk tak tentu tersebut. Pokonya kalai menurut kami, semudah-mudahnya soal simak ui, pasti butuh konsentrasi dan analisa yang lebih untuk bisa mengerjakan soal-soalnya. hehehehe....

Nah utuk ketiga soal lainnya, menurut saya sangat sulit karena melibatkan konsep trigonometri yang dipadukan dengan logaritma dan persamaan seperti pada nomor 6 dan nomor 7. Dan untuk nomor 10, soal ini lebih gila lagi, persamaan tetapi dalam bentuk integral sehingga salah satu cara penyelesaiaanya harus menggunakan permisalan terlebih dahulu, muantap pokoknya dehh... Mohon untuk koreksi jawabannya ya sobat, agar bisa jadi lebih baik. Terima kasih.

Untuk pembahasan lengkap soal simak ui matematika IPA KA1 tahun 2014, langsung saja bisa dilihat berikut ini untuk nomor 6 sampai nomor 10. selamat belajar.
Nomor 6
Banyaknya nilai $x$ dengan $ \, 0 \leq x \leq 2.014\pi \, $ yang memenuhi $\cos ^3x+\cos ^2x-4\cos ^2\left( \frac{x}{2} \right) = 0$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep : $ \cos ^2 px = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2px $
Sehingga : $ \cos ^2 \frac{1}{2} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x $
$\spadesuit \, $ Misal : $ p = \cos x $ dengan rentang $ -1 \leq p \leq 1 $
$\begin{align} \cos ^3x+\cos ^2x-4\cos ^2\left( \frac{x}{2} \right) & = 0 \\ \cos ^3x+\cos ^2x-4\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x \right) & = 0 \\ \cos ^3x+\cos ^2x- 2 \cos x - 2 & = 0 \\ p^3 + p^2 - 2p - 2 & = 0 \end{align}$
Horner : simak_ui_2_mat_ipa_ka1_2014.png
$(p^2-2)(p+1)=0 $
Sehingga:
$p^2-2=0 \rightarrow p = \pm \sqrt{2} \, \, $ (tidak memenuhi)
$p+1 = 0 \rightarrow p = -1 \rightarrow \cos x = -1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan banyaknya solusi nilai $ x $
Konsep : $\cos f(x) = \cos \theta \Leftrightarrow f(x) = \pm \theta + k.2\pi $
Untuk $ \cos x = -1 \rightarrow \cos x = \cos \pi \, $ sehingga solusinya :
$ x = \pi + k.2\pi = (2k+1)\pi \, $ atau $ \, x = -\pi + k.2\pi = (2k-1)\pi $
Karena $ k $ bilangan bulat, maka $ x = (2k+1)\pi $ dan $ x = (2k-1)\pi $ hasilnya sama yang memenuhi $ 0 \leq x \leq 2.014\pi $ .
Misal yang dipakai $ \, x = (2k-1)\pi $
Syarat $ x $ : $ 0 \leq x \leq 2.014\pi $ , diperoleh :
$\begin{align} 0 \leq & x \leq 2.014\pi \\ 0 \leq & (2k-1)\pi \leq 2.014\pi \, \, \text{(bagi dengan } \, \pi ) \\ 0 \leq & 2k-1 \leq 2014 \, \, \text{(tambahkan 1 ) } \\ 1 \leq & 2k \leq 2015 \, \, \text{(bagi 2 ) } \\ 0,5 \leq & k \leq 1007,5 \end{align}$
Karena $ k $ bulat, maka nilai yang memenuhi adalah $ 1 \leq k \leq 1007 $ sebanyak 2007 bilangan.
$\spadesuit \, $ Alternatif lain :
Nilai $ x \, $ yang memenuhi $ \sin x = -1 \, $ adalah kelipatan dari $ \pi \, $, yaitu $ \sin k\pi = -1 \, $ dengan $ k \, $ bilangan bulat ganjil antara 0 sampai 2014 yaitu sebanyak 2007 bilangan.
Jadi, solusi $ x $ sebanyak $ k $ yaitu ada 1007 solusi. $ \heartsuit $
Nomor 7
Semua nilai $x$ yang memenuhi ${}^{\sin x} \log \left( \frac{1}{2}\sin 2x \right) =2 $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
Logaritma : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c \, $ syarat : $ a > 0, a \neq 1, b > 0 $
Trigonometri : $ \sin 2x = 2\sin x . \cos x \, $ dan $ \, \cos x = \sin (90^\circ - x ) $
Persamaan trigonometri :
$ \sin f(x) = \sin \theta \rightarrow f(x) = \theta + k.2\pi \, $ dan $ \, f(x) = (180^\circ - \theta ) + k.2\pi $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \sin x $
$\begin{align} {}^{\sin x} \log \left( \frac{1}{2}\sin 2x \right) & = 2 \\ \frac{1}{2}\sin 2x & = (\sin x ) ^ 2 \\ \frac{1}{2}( 2\sin x . \cos x ) & = (\sin x ) ^ 2 \\ \sin x \cos x & = (\sin x ) ^ 2 \\ (\sin x ) ^ 2 - \sin x \cos x & = 0 \\ \sin x ( \sin x - \cos x ) & = 0 \end{align}$
Diperoleh :
i). $ \sin x = 0 \, $ , karena syarat basis positif, maka $ \sin x = 0 \, $ tidak memenuhi.
ii). $ \sin x - \cos x = 0 \rightarrow \sin x = \cos x \rightarrow \sin x = \sin (90^\circ - x ) $
Solusi dari $ \sin x = \sin (90^\circ - x ) \, $ yaitu :
$\begin{align} *) x & = \theta + k.2\pi \\ x & = (90^\circ - x ) + k.2\pi \\ 2x & = 90^\circ + k.2\pi \\ x & = 45^\circ + k\pi \end{align}$ $\begin{align} **) x & = (180^\circ - \theta ) + k.2\pi \\ x & = (180^\circ - ( 90^\circ - x ) ) + k.2\pi \\ x & = 90^\circ + x + k.2\pi \\ 0 & = 90^\circ + k.2\pi \, \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ x = 45^\circ + k\pi = \frac{\pi}{4} + k\pi . \heartsuit $
Nomor 8
Jika $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{3}Ax^3+\frac{1}{2}Bx^2-3x}{x^3-2x^2-8x+16}=-\frac{3}{10} $, maka nilai $20A+15B=...$
$\spadesuit \, $ Menghitung nilai limitnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{3}Ax^3+\frac{1}{2}Bx^2-3x}{x^3-2x^2-8x+16} & = \frac{\frac{1}{3}A.2^3+\frac{1}{2}B.2^2-3.2}{2^3-2.2^2-8.2+16} \\ & = \frac{\frac{8}{3}A + 2B - 6 }{0} \neq \frac{-3}{10} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Agar limitnya ada (terdefinisi), maka hasil limitnya harus $ \frac{0}{0} \, $ (bentuk tak tentu), sehingga
$\begin{align} \frac{\frac{8}{3}A + 2B - 6 }{0} & = \frac{0}{0} \\ \text{Haruslah } \, \frac{8}{3}A + 2B - 6 & = 0 \\ 8A + 6B & = 18 \, \, \text{(bagi 2)} \\ 4A + 3B & = 9 \, \, \text{(kali 5)} \\ 20A + 15B & = 45 \, \, \text{(sesuai yang ditanyakan)} \end{align}$
Jadi, nilai $ 20A + 15B = 45 . \heartsuit $
Nomor 9
Misalkan $f(1)=2, f^\prime(1)=-1, g(1)=0 $ dan $g^\prime(1)=1$. Jika $F(x)=f(x) \cos (g(x))$ , maka $F^\prime(1)=...$
$\clubsuit \, $ Kosep turunan : $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime $
$ y = \cos (g(x)) \rightarrow y^\prime = - g^\prime (x) .\sin (g(x)) $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan
$\begin{align} F(x) & =f(x). \cos (g(x)) \\ U & = f(x) \rightarrow U^\prime = f^\prime (x) \\ V & = \cos (g(x)) \rightarrow V^\prime = - g^\prime (x). \sin (g(x)) \\ F^\prime (x) & = U^\prime.V + U.V^\prime \\ F^\prime (x) & = f^\prime (x).\cos (g(x)) + f(x).[- g^\prime (x) .\sin (g(x))] \\ F^\prime (x) & = f^\prime (x).\cos (g(x)) - f(x).g^\prime (x). \sin (g(x)) \\ x = 1 \rightarrow F^\prime (1) & = f^\prime (1).\cos (g(1)) - f(1).g^\prime (1). \sin (g(1)) \\ F^\prime (1) & = -1.\cos (0) - 2.1. \sin (0) \\ F^\prime (1) & = -1.1 - 2.1. 0 \\ F^\prime (1) & = -1 - 0 = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ F^\prime (1) = -1 . \heartsuit $
Nomor 10
Diberikan fungsi $f$ dan $g$ yang memenuhi sistem
$\left\{ \begin{array}{c} \int \limits_0^1 f(x)dx+\left( \int \limits_0^2 g(x)dx \right)^2=3 \\ f(x)=3x^2+4x+\int \limits_0^2 g(x)dx \end{array} \right. $
dengan $\int \limits_0^2 g(x)dx \neq 0$. Nilai $f(1)=...$
$\spadesuit \, $ Misalkan : $ a = \int \limits_0^1 f(x)dx \, $ dan $ \, b = \int \limits_0^2 g(x)dx $
Sistem persamaan menjadi :
$\left\{ \begin{array}{c} a+b^2=3 \\ f(x)=3x^2+4x+b \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Integralkan persamaan (ii)
$\begin{align} \int \limits_0^1 f(x)dx & = \int \limits_0^1 (3x^2+4x+b) dx \\ a & = (x^3+2x^2+bx)_0^1 \\ a & = b + 3 \end{align}$
Sistem persamaan baru menjadi :
$\left\{ \begin{array}{c} a+b^2=3 \\ a = b + 3 \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
$ a+b^2=3 \rightarrow (b + 3)+b^2=3 $
$ \rightarrow b(b+1) = 0 \rightarrow b =0 \vee b = -1 $
Karena $ \int \limits_0^2 g(x)dx \neq 0 \, $ atau $ \, b \neq 0 \, $ maka nilai yang memenuhi adalah $ \, b =-1 $
Pers(ii) : $ f(x)=3x^2+4x+b \rightarrow f(x)=3x^2+4x-1 $
sehingga : $ f(1)=3.1^2+4.1-1 = 3 + 4 -1 = 6 $
Jadi, nilai $ f(1) = 6. \heartsuit $


Jika ada masukan, saran, kritikan, alternatif penyelesaian lain yang lebih mudah, atau apapun yang berhubungan dengan halaman ini, silahkan kirim ke email : d.4rm.408@gmail.com , atau langsung isi komentar pada kotak komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat, terima kasih.
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-12